|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#76
|
||||
|
||||
คุณ suthee เครื่องหมายไม่ถูกนะครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#77
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ผมทำอย่างนี้ครับ ลองดูแนวคิดตอนแรกก่อนนะครับ (รีบมาพิมพ์ก่อนที่จะไม่ว่างอีกในสองสามวันนี้อย่างที่ว่าไว้) ปกติฟังก์ชัน cot ไม่ค่อยมีสูตรให้ใช้เท่าไหร่ น่าจะลองแทน $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ ดู (คำเตือน: แนวคิดแบบนี้ใช้ไม่ได้กับทุกข้อ เป็นแค่ทางเลือกหนึ่งเท่านั้น) ถ้ายังทำต่อไปไม่ได้ก็ นี่เลยครับ จากสมการ $$ \cot x = 4\cos 2x + 2 +\sqrt{ 3 } $$ คูณตลอดด้วย $ \sin x $ (และจาก $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $) จะได้ $$ \cos x = 4\cos 2x \sin x + 2\sin x + \sqrt{ 3 }\sin x $$ จาก $ 2\cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B) $ จะได้ $$ \cos x = 2\sin 3x - 2\sin x + 2\sin x + \sqrt{ 3 }\sin x $$ $$ \frac{1}{2} \cos x = \sin 3x + \frac{\sqrt{ 3 }}{2}\sin x $$ จัดรูปไปอีกนิดนึงก็จะได้ $$ \sin\left( \frac{\pi}{6} - x \right) = \sin 3x $$ ซึ่งการแก้สมการต่อจากนี้ไปก็ไม่ยากแล้ว |
#78
|
|||
|
|||
พุทโธ่ พุทถัง เราทำอะไรไปเนี่ย เห็นเฉลยแล้วจึงรู้ว่าตัวเอง ... กว่าที่คิดไว้เสียอีก
|
#79
|
||||
|
||||
ในเมื่อไม่ใครตั้งโจทย์ งั้นผมตั้งละกัน
32. จงแก้สมการ $\cos^nx-\sin^nx=1$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#80
|
|||
|
|||
ข้อ 32 คับ
ถ้า n เป็นคู่ จะได้ว่า cosnx = 1+sinnx ณ 1 \ cosx = 1 x = 2mp $mฮI ถ้า n เป็นคี่ เห็นได้ชัดว่า ที่ค่า cos เป็นลบนั้นเป็นไปไม่ได้ และถ้าเป็นบวกทั้งคู่ก็สามารถพิสูจน์ในทำนองเดียวกับข้างต้นได้ ที่ค่า sin เป็นลบ ให้ x = -y ,$yฮR+ จะได้สมการใหม่เป็น cosny+sinny = 1 ที่ nณ3 โดย การใช้อนุพันธ์ จะได้ว่าค่าสูงสุดของ cosny+sinny =1 โดยค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อ cosy = 1 หรือ siny = 1 นั่นคือ cosx=1 หรือ sinx = -1 จะได้ x = 2mp,$\frac{3}{2}$p+2mp ที่ n = 1 แก้จากสมการ 2 สมการนี้ cosy+siny=1 ,cos2y+sin2y = 1 จะได้ cosy = 0 หรือ siny = 0 (และsiny=1 หรือ cosy=1) จะได้ x = 2mp,$\frac{3}{2}$p+2mp ดังนั้น คำตอบของสมการคือ x = 2mp,$\frac{3}{2}$p+2mp $mฮI เมื่อ n เป็นคี่ x = 2mp $mฮI เมื่อ n เป็นคู่ ผมเอาคำถามจาก solution นี้เลยนะครับ 33.จงแสดงว่า $cos^nx+sin^nx$ ฃ1 ทุกnเป็นจำนวนนับที่ณ3 โดยไม่ใช้อนุพันธ์ |
#81
|
|||
|
|||
ข้อ33$$ เพราะว่า -1\le \cos x \le 1จะได้ \cos^{n}x \le \cos^{2}x \ เมื่อ\ n \ge 3 $$
$$ ในทำนองเดียวกันจะได้ \sin^{n}x \le \sin^{2}x \ เมื่อ \ n\ge 3$$ $$ ดังนั้น \cos^{n}x +\sin^{n}x \le \cos^{2}x +\sin^{2}x=1 $$ ข้อ34 พิสูจน์ว่าสำหรับ x เป็นจำนวนจริงใดๆ cos(sinx) > sin(cosx) |
#82
|
|||
|
|||
ข้อ 34
$ \cos(\sin x)-\sin(\cos x)=\cos(\sin x)-\cos(\frac{\pi}{2}-\cos x)= -2\sin\frac{\frac{\pi}{2}-\cos x+\sin x}{2}\sin\frac{\cos x+\sin x-\frac{\pi}{2}}{2} = -2\sin X \sin Y $ เนื่องจาก $ \mid \cos x \pm \sin x \mid \leq \sqrt{2} $ ดังนั้น $ X,Y $ อยู่ใน quadrant ที่ 1 ,4 ตามลำดับ และทำให้ $ \cos(\sin x)-\sin(\cos x) > 0 $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 29 พฤษภาคม 2006 03:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#83
|
|||
|
|||
ต่อด้วย ข้อ 35 (Classical problem)
Evaluate $$ \tan^2 1^{\circ}+\tan^2 3^{\circ}+\tan^2 5^{\circ}+ \cdots +\tan^2 89^{\circ}$$ polynomial
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 31 พฤษภาคม 2006 03:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#84
|
|||
|
|||
ข้อ35 (ข้อนี้ตั้งนานแหนะครับ เพิ่งเจอโจทย์แบบนี้ครั้งแรก)
ให้ A= ${ \tan^2 1^{\circ}+\tan^2 3^{\circ}+\tan^2 5^{\circ}+ \cdots +\tan^2 89^{\circ}}$ ดังนั้น $$2A={ \tan^2 1^{\circ}+\tan^2 3^{\circ}+\cdots+\tan^2 89^{\circ}+\tan^2 91^{\circ}+ \cdots +\tan^2 179^{\circ}}$$ จัดรูปไปเรื่อยๆโดยใช้ $ \tan^2 \theta = \sec^2 \theta -1$ จะได้ 2A=$(\frac{ผลบวกของ ผลคูณ\cos ทีละ 89 ตัว}{ผลคูณของ \cos ทั้งหมด 90 ตัว})^2 - 2(\frac{ผลบวกของผลคูณ \cos ทีละ 88 ตัว}{ผลคูณของ \cos ทั้งหมด 90 ตัว})-90$ (มุมของ cos นั้น คือ1,3,...,179องศา) จากทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ และเทียบส่วนจริงจะได้ $ \cos 90\theta ={90 \choose 0}(\cos \theta)^{90}-{90 \choose 2}(\cos \theta)^{88}(\sin \theta)^2+\cdots$ ให้ $x =\cos \theta เมื่อ \theta = 1^{\circ},3^{\circ},\cdots,179^{\circ}$ จะสมการด้านบนทำให้เราทราบว่า x เป็นคำตอบของ $0={90 \choose 0}(x)^{90}-{90 \choose 2}(x)^{88}(1-x^2)+\cdots$ ซึ่งเราก็สามารถหา A ได้จากผลบวกราก-ผลคูณราก ถ้าคิดเลขไม่ผิดรู้สึกว่าคำตอบคือ 4005 นะครับ |
#85
|
|||
|
|||
คำตอบ ถูกแล้วครับ
แต่ผม Simplify ให้อีกนิดนึงแล้วกัน จาก $ \cos 90\theta=0 $ เมื่อ $ \theta= 1^{\circ} ,3^{\circ},\cdots 89^{\circ} $ จากกฎของเดอมัวร์และการเทียบส่วนจริง พบว่า $$ 0= \cos 90\theta = \sum_{k=0}^{45} {90 \choose 2k}(\cos \theta)^{90-2k}(\sin\theta)^{2k} (-1)^k $$ ถ้าหารด้วย $(\cos\theta)^{90}$ ตลอดสมการ พบว่า $$0= \sum_{k=0}^{45} {90 \choose 2k}(\tan^2\theta)^{k} (-1)^k $$ กลายเป็นพหุนามดีกรี 45 ที่มี $ \tan^2 1^{\circ} , \tan^2 3^{\circ},\cdots \tan^2 89^{\circ} $ เป็นคำตอบสมการ ดังนั้นผลรวมของราก ก็คงไม่ใช่เรื่องยากแล้วใช่ไหมครับ ซึ่งก็คือ ${90 \choose 88} (-1)^{44}=4005 $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#86
|
|||
|
|||
ถ้าไม่มีใครลงโจทย์ต่อ ขอผมลงข้อต่อไปเลยนะครับ
36. ให้ $a\in [-1,1]$ สอดคล้องกับสมการ $$3\arcsin (3a-4a^3) - \arcsin a = \frac{37 \pi}{21}$$ จงหาค่าของ $ \arcsin a $ |
#87
|
||||
|
||||
Let $\arcsin a=\theta$
$$3\arcsin(\sin3\theta)-\theta=\frac{37\pi}{21}$$ $$9\theta-\theta=\frac{37\pi}{21}$$ $$\theta=\frac{37\pi}{168}$$ 37.
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#88
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
มันไม่ง่ายอย่างนั้นนี่สิครับ ไม่เชื่อลองแทนค่ากลับไปดู แล้วลองดูครับว่า ทำไมคำตอบนี้ใช้ไม่ได้ ข้อนี้มีคำตอบ 1 คำตอบครับ แต่ไม่ใช่ $\frac{37\pi}{168}$ |
#89
|
||||
|
||||
รบกวนเฉลยหน่อยครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#90
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ติดอยู่ที่ตรงนี่ครับ ---> จำเป็นหรือไม่ที่ $ \arcsin (\sin 3\theta) = 3\theta $ เสมอ ถ้าไม่จำเป็น แล้วจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง อาจจะต้องแจงกรณีดูนะครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|