|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#77
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
ถ้าใช้สูตรสำเร็จผมทำแบบนี้ครับ จาก Wallis' product เรารู้ว่า $$ \frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2\cdot2}{1\cdot3} \right) \left( \frac{4\cdot4}{3\cdot5} \right) \left( \frac{6\cdot6}{5\cdot7} \right) \cdots \left( \frac{2n\cdot2n}{(2n-1)\cdot(2n+1)} \right) $$ $$= \lim_{n\to\infty} \frac{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n)^2}{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1))(3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n+1))} $$ $$= \lim_{n\to\infty} \frac{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n)^2}{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1))^2 (2n+1)} $$ ซึ่งก็คือสิ่งที่เราต้องการนั่นเอง แต่ถ้าจะทำอย่างที่คุณ passer-by ให้ hint ไว้ก็คงทำคล้ายๆ อย่างนี้ มั้งครับ คำถามข้อต่อไปเป็นภาคต่อของข้อ 21. ที่ผมเพิ่งทำเสร็จไปหมาดๆนี่แหละครับ 22. จงหาค่าของ $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 $$ |
#78
|
|||
|
|||
สำหรับข้อ 21 วิธีที่ผม hint ไว้ ก็คล้ายๆใน pdf file ที่คุณ Warut ให้ linkไว้นั่นแหละครับ
แต่ถ้าใครไม่อยาก derive ผ่าน integrate by part ผมแนะนำให้ลองหันมาใช้ Equivalent form of beta function ดูครับ $$ B(x,y)= 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2x-1}\theta \cos^{2y-1}\theta \,\,d\theta \quad (x,y >0) $$ และ link เข้าหา gamma function โดยใช้สูตร $$ B(x,y)=\frac{\Gamma (x) \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)} $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#79
|
||||
|
||||
มาผ่อนคลายกันบ้างนะครับ
23.จงแสดงว่าลำดับ $n\sin n$ ไม่มีขอบเขต
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#80
|
||||
|
||||
22.
$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2=\lim_{n\to\infty} \frac{n\big((2n)!\big)^2}{2^{4n}(n!)^4}}$ Stirling's Approximation: $n! \approx \sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}$ \[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {2\pi \left( {2n} \right)^{4n + 1} e^{ - 4n} } \right)}}{{2^{4n} \left( {4\pi ^2 n^{4n + 2} e^{ - 4n} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{\pi } = \frac{1}{\pi } \]
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#81
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จาก $$ \frac{\pi}{2}= \lim_{n\to\infty} \frac{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n)^2}{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1))^2 (2n+1)} $$ และ $$ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} = \frac{1}{2^{2n}} { 2n \choose n } $$ ดังนั้น $$ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{4n}}{2n+1} {{ 2n \choose n }}^{-2} =\frac{\pi}{2} $$ เนื่องจาก $$ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 \right) \left( \frac{2^{4n}}{2n+1} {{ 2n \choose n }}^{-2} \right) =1$$ ดังนั้น $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{4n}} {{ 2n \choose n }}^2 =\frac{1}{\pi} $$ |
#82
|
|||
|
|||
24. ให้ $k >1 $ เป็น fixed positive integer
หาค่า $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{k-1}}{n \choose i}{n \choose k-i}}{\displaystyle{{kn \choose k}}}$$ Note : จริงๆ ข้อนี้มีเบื้องหลังทาง combinatorics ที่ผมยังข้องใจนิดๆจนถึงวันนี้ เอาไว้มีคนมาตอบข้อนี้เมื่อไหร่ แล้วผมจะมาขยายความให้ฟังครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#83
|
|||
|
|||
เพิ่งนึกได้ว่าข้อนี้มันเกิน 1 สัปดาห์แล้ว ขอเฉลยดีกว่า
$ \frac{2^k-2}{k^k}$ สำหรับวิธีคิด ก็จะทำแบบตรงไปตรงมาเลยก็ได้ครับ หรืออาจจะ simplify $ \sum_{i=0}^k {n \choose i}{n \choose k-i} $ ก่อน ซึ่งจะได้คำตอบ $$ \sum_{i=0}^k {n \choose i}{n \choose k-i} = {2n \choose k} $$ สำหรับค่าทางขวามือ และซ้ายมือ ก็คือการเลือกของ k สิ่ง จากของ 2n สิ่ง ใน 2 รูปแบบนั่นเอง โดยแบบขวา ก็ตรงไปตรงมาครับ ส่วนแบบซ้าย ก็คือ จะแบ่งของเป็น n กับ n ก่อน แล้วเลือก i สิ่งจาก n แรก ตามมาด้วย k-i สิ่งจาก n หลัง แต่ที่ผมทิ้งท้ายไว้ในคำถามก่อนหน้า ไม่ได้เกี่ยวกับ simplify ที่ว่าหรอกครับ แต่ผมอยากให้ดูคำถาม 2 ข้อล่างนี้เทียบกันครับ 1. มีลูกอม k รส รสละ 20 ชิ้น ถ้าสุ่มเลือกออกมา k ชิ้น หาความน่าจะเป็นที่ มีเพียง 2 รสเท่านั้น 2. มีลูกอม k รส รสละเท่าๆกันอยู่หลายชิ้น ถ้าสุ่มเลือกออกมา k ชิ้น หาความน่าจะเป็นที่ มีเพียง 2 รสเท่านั้น ผมทิ้งไว้ให้คิดเล่นๆแล้วกัน โดยผมคาดว่า คนที่ลองคิดแล้ว น่าจะเข้าใจ ประเด็นของ limit ที่ผมถาม
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#84
|
||||
|
||||
ผมลองคิดแล้ว แต่ไม่เข้าใจประเด็นครับ
|
#85
|
|||
|
|||
ไม่เป็นไรครับ งั้นเดี๋ยวผมเล่าให้ที่ไปที่มา เป็นฉากๆเลยแล้วกันนะครับ
จุดเริ่มต้นของคำถามข้อนี้ ผมได้มาจาก original question ที่ถามประมาณว่า ถ้ามีลูกอม 5 รส แต่ละรสมีจำนวนชิ้นเท่าๆกัน (equal proportion) ถ้าสุ่มหยิบมา 5 ชิ้น หาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกอม 2 รสเท่านั้น ซึ่งวิธีคิดข้อนี้ เขาเฉลยมาว่า ขั้นแรก คือเลือก รส 2 รสนั้นก่อน ได้ $ {5 \choose 2}$ วิธี สมมติได้ รส A,B จากนั้นก็พิจารณาว่า 5 ชิ้นที่หยิบได้ แล้วมี 2 รสนี้เท่านั้น จะมี $ 2^5-2 $ วิธี (2 ตัวแรกมาจาก 2 รสที่ว่าครับ ส่วน 2 ตัวหลัง ก็คือตัดกรณีที่ได้รส A หมด หรือ รส B หมด ออกไป) ดังนั้น ความน่าจะเป็นข้อนี้เลยตอบ $ \frac{{5 \choose 2}(2^5-2)}{5^5}$ จากนั้น ผมก็เลยลองทำอีกแบบนึง โดยสมมติว่าแต่ละรสมีจำนวน n ชิ้นเท่าๆกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นก็คือ $$ \frac{{5 \choose 2}\sum_{i=1}^4 {n \choose i}{n \choose 5-i}}{{5n \choose 5}} $$ ซึ่งปรากฏว่า คำตอบมันไม่ตัดกันเป็นค่าคงที่ครับ แต่เมื่อ take limit $ n \rightarrow \infty $ ก็จะได้ค่าเท่ากับคำตอบข้างบน ผมก็เลยสงสัยว่า มันมีนัยแฝง อะไร ถึงมี limit มาเกี่ยวข้อง จนกระทั่งตอนนี้ ผมคาดว่า มันน่าจะเหมือนในวิชาสถิติเบื้องต้นตอนปี1 มั้งครับ ที่เราสามารถใช้การแจกแจงทวินาม มา approx. การแจกแจงแบบ hypergeometric เมื่อ n มีค่ามาก NOTE :ถ้าสังเกตดีๆ ที่ผมอธิบายมาข้างต้น เป็น special case เมื่อแทน k= 5 ในโจทย์ที่ผมให้มาครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#86
|
||||
|
||||
ผมเจอข้อแตกต่างหลายจุดเลยครับ
อย่างแรก วิธีที่เฉลยทำตรง $ 2^5 $ กับ $ 5^5 $ เค้าเลือกอย่างมีลำดับการเลือกครับ เหมือนว่าเลือกไปให้คน 5 คน ซึ่งต่างกับการสุ่มมา 5 ชิ้นอย่างที่โจทย์ว่า อีกอย่างที่เห็นคือ เค้าถือว่ารสเดียวกันทุกอันเหมือนกันครับ เพราะตรง $2^5$ อีกแล้ว แต่ถ้าคิดแบบเลือกอย่างที่คุณ passer-by คิด ก็คือถือว่าทุกอันแม้จะรสเดียวกันก็ต่างกัน เป็นจุดนี้รึเปล่าครับที่ทำให้คำตอบไม่ตรงกัน |
#87
|
|||
|
|||
ที่คุณ Onasdi พูดมา นี่ใช่เลยครับ
เฉลยที่เขาให้มา ทำเหมือนกับว่าซื้อแจกให้คน 5 คน และมองว่า รสเดียวกัน คือเหมือนกัน แต่โจทย์ก็ไม่ได้บอกว่า ซื้อแจกใครเลย งั้นตอนนี้ limit นั่นก็คงไม่เกี่ยวกับ ทวินาม กับ hypergeometric แล้วมันไปเท่ากันได้ไงล่ะเนี่ย
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#88
|
||||
|
||||
มันบังเอิญ หรือว่า มันมีเหตุผลซ่อนอยู่ ครับ? คนอื่นๆคิดยังไงกันบ้าง
|
#89
|
||||
|
||||
Hint(23) : sine
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
27 มีนาคม 2007 22:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG |
#90
|
|||
|
|||
(VERY EASY)
25. Evaluate $$ \sum_{ k=1}^{\infty} \frac{\left\lceil\ \sin(\ln k) \right\rceil - \left\lfloor\ \sin(\ln k)\right\rfloor}{2^k} $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Alternating series (and Abel's theorem) | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 17 กรกฎาคม 2012 21:05 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences | warut | งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 28 เมษายน 2007 00:28 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 22: Infinite Series | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 02 พฤศจิกายน 2006 05:35 |
Series | intarapaiboon | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 02 ตุลาคม 2005 10:58 |
|
|