|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#76
|
||||
|
||||
ข้อ21ครับ ลองดูอีกวิธี
$a+b+c=\frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{b\sqrt{y}}{\sqrt{y}}+\frac{c\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$ จากอสมการ Cauchy-Schwarz $\frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{b\sqrt{y}}{\sqrt{y}}+\frac{c\sqrt{z}}{\sqrt{z}}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}\sqrt{x+y+z}$ แต่ $x+y+z\not=0$ $\frac{\frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{b\sqrt{y}}{\sqrt{y}}+\frac{c\sqrt{z}}{\sqrt{z}}}{\sqrt{x+y+z}}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}$ $\frac{a+b+c}{\sqrt{x+y+z}}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}$ $\therefore \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\leqslant \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}$ 03 มกราคม 2009 09:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ winlose |
#77
|
|||
|
|||
ข้อ19.ทำด้านขวาของอสมการแล้วใช้โคชี
$1+\sqrt{ab}\leqslant (\sqrt{1+\sqrt{a^2})(\sqrt{1+\sqrt{b^2})$ $1+\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{1+a}\sqrt{1+b}$ $1+\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{(1+a)(1+b)}$ ข้อ20. กระจายออกมาในด้านซ้ายของอสมการแล้วใช้โคชีได้เป็น $ad+bc+ca+db\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{d^2+c^2+a^2+b^2}$ $ad+bc+ca+db\leqslant a^2+b^2+c^2+d^2$ ข้อ21. $a+b+c = \frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z}$ $\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z}\leqslant \sqrt{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}}\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$ $(a+b+c)^2\leqslant (\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ พี่ขอโจทย์แบบเศษส่วนมาอีกนะครับผมยังไม่เข้าใจเท่าไรเลยในการจัดรูปแนวเศษส่วนแล้วใช้โคชีอะครับ แล้วพี่แนะนำเทคนิคเกี่ยวกับอันนี้ด้วยก็ดีครับ 03 มกราคม 2009 11:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คณิตศาสตร์ |
#78
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#79
|
|||
|
|||
ให้พี่ noonuii มาตรวจสอบดูล่ะกัน
|
#80
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 03 มกราคม 2009 19:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#81
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับผมสะเพร่าอีกแล้ว 555+ พี่noonuii ขอโจทย์แบบแนวเศษส่วนนะครับ
03 มกราคม 2009 20:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คณิตศาสตร์ |
#82
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
โจทย์ข้อ 21 คืออสมการต้นแบบที่เราจะนำมาใช้ แทนอสมการโคชีในรูปทั่วไป ฝึกใช้ให้คล่องแล้วจะทำโจทย์อสมการได้อีกเยอะครับ $a,b,c>0$ 22. $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\geq\dfrac{a+b+c}{2}$ 23. $2a^2+3b^2+6c^2\geq (a+b+c)^2$ 24. $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\geq\dfrac{4}{3}(a+b+c)^2$ 25. $(a+b)(a^3+b^3)\geq (a^2+b^2)^2$ 26. $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\geq a+b+c$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#83
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
บรรทัดล่างขยายไปรูปทั่วไปได้ครับผม
__________________
Contradiction is not a sign of falsity, nor the lack of contradiction a sign of truth.
Blaise Pascal |
#84
|
||||
|
||||
ข้อ 22 ครับ
จากอสมการที่เราพิสูจน์ได้ในรูปทั่วไปของข้อ 21 ครับ จะได้ $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$ $\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}$ $=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$ จบการพิสูจน์
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 04 มกราคม 2009 08:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#85
|
||||
|
||||
ช้อ 23 ครับ
จากอสมการข้อ 21 $2a^2+3b^2+6c^2$ $=\frac{a^2}{\frac{1}{2}}+\frac{b^2}{\frac{1}{3}}+\frac{c^2}{\frac{1}{6}}$ $\leq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$ $=(a+b+c)^2$ จบการพิสูจน์
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 04 มกราคม 2009 14:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#86
|
||||
|
||||
ข้อ 24 ครับ
จากอสมการข้อที่ 21 $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=\frac{(a+b)^2}{1}+\frac{(b+c)^2}{1}+\frac{(c+a)^2}{1}$ $\geq \frac{[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^2}{1+1+1}$ $=\frac{(2a+2b+2c)^2}{3}$ $=\frac{4}{3}(a+b+c)^2$ จบการพิสูจน์
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! |
#87
|
||||
|
||||
ข้อ 25 ครับ
จากอสมการข้อ 21 ครับ $a^3+b^3=\dfrac{a^4}{a}+\dfrac{b^4}{b}=\dfrac{(a^2)^2}{a}+\dfrac{(b^2)^2}{b}$ $\geqslant \dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b}$ $a^3+b^3 \geqslant \dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b}$ $(a+b)(a^3+b^3) \geqslant (a^2+b^2)^2$ จบการพิสูจน์ครับ
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! |
#88
|
||||
|
||||
ข้อ 26 ครับ
จาก $(a-b)^2 \geq 0$ $a^2-2ab+b^2 \geq 0$ $a^2+2ab+b^2 \geq 4ab$ $(a+b)^2 \geq 4ab$ $\dfrac{a+b}{2} \geq \dfrac{2ab}{a+b}$ $\therefore -\dfrac{2ab}{a+b} \geq -\dfrac{a+b}{2}$ ...(1) ในทำนองเดียวกัน $-\dfrac{2bc}{b+c} \geq -\dfrac{b+c}{2}$ ...(2) $-\dfrac{2ca}{c+a} \geq -\dfrac{c+a}{2}$ ...(3) จากอสมการข้อที่ 21 $\dfrac{(a+b)^2}{a+b}+\dfrac{(b+c)^2}{b+c}+\dfrac{(c+a)^2}{c+a}$ $\geq \dfrac{[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}$ $=2(a+b+c)$ ...(4) Then, $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}$ $=\dfrac{(a+b)^2}{a+b}+\dfrac{(b+c)^2}{b+c}+\dfrac{(c+a)^2}{c+a}$ $-\dfrac{2ab}{a+b}-\dfrac{2bc}{b+c}-\dfrac{2ca}{c+a}$ $\geq 2(a+b+c)-(a+b+c)=a+b+c$ (From(1),(2),(3) and (4)) $\therefore \dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a} \geq a+b+c$ จบการพิสูจน์
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 04 มกราคม 2009 09:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#89
|
|||
|
|||
ข้อ 23 ยังมีที่ผิดอยู่ครับ ลองกลับไปแก้อีกรอบ คิดว่าแค่พิมพ์ผิดเท่านั้น
ข้อ 26 มีวิธีที่ง่ายกว่านี้คือใช้ข้อ 22 สองครั้งครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#90
|
|||
|
|||
อสมการจะเริ่มยากขึ้นเรื่อยๆนะครับ
และอาจจะต้องใช้มากกว่า 1 อสมการในการพิสูจน์ แต่จะมีอสมการโคชีในแบบข้อ 21 เข้ามาเกี่ยวข้องด้วย $a,b,c,d>0$ 27. $\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x}}\geq\sqrt{x}+\sqrt{y}$ 28. $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{a}\geq a^2+b^2$ 29. $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$ 30. $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\geq 2$ 31. $(a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\geq abc(a+1)(b+1)(c+1)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|