|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#61
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#62
|
|||
|
|||
นี่ครับ General Case ของข้อ 20 เมื่อ k เป็น positive integer
$$ \int_0^1 \bigg \{ \frac{k}{x} \bigg \}^2 \,\, dx = k(\ln(2\pi)-\gamma +1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{k}+2k\ln k -2k-2\ln k!) $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#63
|
|||
|
|||
21. Evaluate $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \bigg(\frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{1\cdot 3\cdot5\cdots(2n-1)}\bigg)^2 \frac{1}{2n+1} $$
integrate some forms of sine function p.s ข้อ 19 ของคุณ Warut ต้องถึงขั้นใช้ general formula ของ Fibonacci sequence หรือเปล่าครับ หรือ telescopic ธรรมดาก็ออก
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#64
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#65
|
|||
|
|||
ผมพอจะรู้คำตอบข้อ 19 แล้วล่ะครับ แต่ยังไม่รู้จะ telescopic ยังไงดี
ไม่รู้ว่า 2 fact ข้างล่าง จะช่วยได้ไหม แต่ก็แปะไว้ก่อนแล้วกัน เผื่อมีใครสนใจคิดต่อ $$ F_{2n-1}F_{2n+1}= F^2_n+1 $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_{2n-1}F_{2n+1}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{F_{k}F_{k+1}} $$ p.s. HINT ในข้อ 21 ผมให้ไว้ เผื่อใครไม่อยากตอบแบบใช้สูตรสำเร็จรูปบางอย่าง (ที่ขึ้นต้นด้วย W)
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#66
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้าใช่ข้อนี้น่าจะ 0
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#67
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
18 กุมภาพันธ์ 2007 20:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#68
|
|||
|
|||
ขอถามนิดนึงนะครับ ปกติแล้ว Fibonacci numbers เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้นอันไหนครับระหว่าง
1) $F_0=1,F_1=1$ 2) $F_1=1,F_2=1$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#69
|
|||
|
|||
คำตอบน้อง Mastermander ยังไม่ถูกครับ (ผมว่าต้องจัดรูปอะไรผิดบางอย่าง เลยได้ 0) แต่ผมว่าน้องคงรู้แล้วว่า ผมหมายถึงสูตรสำเร็จรูปตัวไหน
ส่วนข้อ 19 กะแล้วว่า สูตร 2 อันที่ทิ้งไว้ ต้องไม่ช่วยอะไรแน่ๆ.....สรุปว่ามาผิดทางซะแล้วเรา
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#70
|
|||
|
|||
รู้แล้ว !
จริงๆ ผมก็ใช้ original version ของสูตรที่ 1 ตั้งแต่แรกก็จบแล้ว (โง่เองอยู่ตั้งนาน ) ข้อ 19 เพราะ $ F_k F_{k+2}= F^2_{k+1}+ (-1)^{k+1} $ ดังนั้น $$ \sum_{k=1}^{N} \frac{(-1)^{k+1}}{F_{k}F_{k+1}}=\sum_{k=1}^{N} \frac{F_k F_{k+2}- F^2_{k+1}}{F_{k}F_{k+1}} =\sum_{k=1}^{N} \bigg( \frac{F_{k+2}}{F_{k+1}}-\frac{F_{k+1}}{F_k}\bigg ) = \frac{F_{N+2}}{F_{N+1}}-1 $$ จากนั้นก็ให้ $ N \rightarrow {\infty}$ ก็จะได้ $ \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#71
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
ดังนั้น $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_{2n-1}F_{2n+1}} = \lim_{N\to\infty} \left( \frac{F_{2N+2}}{F_{2N+1}} -1 \right) = \phi-1 = \frac{1}{\phi} = \frac{\sqrt5-1}{2} $$ ส่วนสูตร (*) สามารถพิสูจน์ได้โดย induction โดยใน inductive step ให้ทำประมาณนี้ครับ $$ F_{n+1}F_{n+4} - F_{n+2}F_{n+3} = F_{n+1} (F_{n+2} + F_{n+3}) - (F_{n+1} + F_n) F_{n+3} $$ $$= F_{n+1}F_{n+2} - F_{n}F_{n+3} = (-1)^n $$ |
#72
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#73
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#74
|
||||
|
||||
$\because F_{2n-1}+F_{2n}=F_{2n+1}\rightarrow\displaystyle{\frac{1}{F_{2n-1}F_{2n+1}}=\frac{1}{F_{2n}}\left[\frac{1}{F_{2n-1}}-\frac{1}{F_{2n+1}}\right]}$
$\therefore\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n-1}F_{2n+1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{F_kF_{k+1}}}$
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#75
|
|||
|
|||
อ๋อ...อย่างนี้นี่เอง ขอบคุณครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Alternating series (and Abel's theorem) | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 17 กรกฎาคม 2012 21:05 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences | warut | งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 28 เมษายน 2007 00:28 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 22: Infinite Series | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 02 พฤศจิกายน 2006 05:35 |
Series | intarapaiboon | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 02 ตุลาคม 2005 10:58 |
|
|