|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#61
|
||||
|
||||
แหะๆ ไม่ได้ตอบนะครับ แต่รู้สึกว่าโจทย์จะทวีความยากขึ้นๆ เรื่อยๆ
คุณ zead ก็ยอดเยี่ยมไม่เบานะครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#62
|
||||
|
||||
หลังๆผมเริ่มไม่รู้เรื่องแล้วครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 22 พฤษภาคม 2006 21:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#63
|
|||
|
|||
ข้อ 23 ผมกลับไปแก้เรียบร้อยแล้วครับ หวังว่าคงไม่ผิดอีก ถ้าให้ดีก็รบกวนเจ้าของโจทย์เช็คอีกทีแล้วกันครับ
ส่วนข้อ 27 ผมว่าตรงพิสูจน์ขั้นฐาน ยังไม่เคลียร์นะครับ รบกวนคุณ zead เช็คอีกทีแล้วกัน สำหรับข้อ 27 ของผม ทำอย่างนี้ครับ เพราะ $ \cot\theta -\cot 2\theta=\frac{1}{\sin2\theta}\geq 1 $ ดังนั้น $$ \cot\frac{x}{2^n}-\cot x = (\cot\frac{x}{2^n}-\cot \frac{x}{2^{n-1}})+(\cot\frac{x}{2^{n-1}}-\cot \frac{x}{2^{n-2}})+\cdots+( \cot\frac{x}{2}-\cot x) \geq n $$ แล้วก็ข้อ 28 (ซึ่งผมคุ้นมากๆ แต่นึกไม่ออกว่ามาจากแหล่งไหน) ให้ S แทนผลบวกจากโจทย์ $ \begin{array}{lc} S = (2 \sin 2^{\circ}+178 \sin 178^{\circ})+ \cdots +(88 \sin 88^{\circ}+ 92\sin 92^{\circ})+90 \sin 90^{\circ}+180 \sin 180^{\circ} \\ \quad =180 (\sin 2^{\circ}+ \cdots +\sin 88^{\circ})+90 \\ \quad =180 \big (\frac{\cos1^{\circ}-\cos 89^{\circ}}{2\sin 1 ^{\circ}}\big )+90 \\ \quad =180 \big (\frac{\cos1^{\circ}-\sin 1^{\circ}}{2\sin 1^{\circ}}\big )+90 \\ \quad = 90 \cot 1^{\circ}\end {array} $ ดังนั้น average ของ S คือ $ \cot 1^{\circ} $ ข้อ 29 (แบบง่ายๆ กันบ้าง) Evaluate $$ \sin \frac{\pi}{2006}\sin \frac{3\pi}{2006} \sin \frac{5\pi}{2006}\cdots \sin\frac{1001\pi}{2006}$$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#64
|
|||
|
|||
ต้องขอโทษด้วยนะครับไม่ได้เข้ามาเช็คซะนาน
ผมอ่านของคุณ passer-by แล้วรู้สึกแปลกๆนะครับ ข้อ 23 จาก $$ 1 - \tan^2\theta = \frac{2\tan\theta}{\tan2\theta}$$ จึงได้ว่า $$\prod^n_{k=1}\left(1 - \tan^2\frac{2^k\pi}{2^n+1} \right)$$ ให้ $ \theta_k = \frac{2^k\pi}{2^n+1} $ $$ = \prod^n_{k=1} \left(\frac{ 2 \tan\theta_k}{\tan\theta_{k+1}} \right)$$ $$ = 2^n\prod^n_{k=1} \left(\frac{\tan\theta_k}{\tan\theta_{k+1}} \right)$$ $$ = 2^n \frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_{n+1}} $$ แต่เนื่องจาก $ \frac{2^{n+1}\pi}{2^n+1} = 2\pi - \frac{2\pi}{2^n+1} $ ดังนั้น $$ = 2^n \frac{\tan\theta_1}{\tan(2\pi - \theta_1)}$$ $$ = - 2^n$$ สวยงามมากครับข้อนี้
__________________
μαθηματικά |
#65
|
|||
|
|||
$ \sin\frac{\pi}{2006}\sin\frac{3\pi}{2006}\sin\frac{5\pi}{2006}\cdots \sin\frac{1001\pi}{2006}=\frac{\sin\frac{\pi}{2006}\sin\frac{2\pi}{2006}\sin\frac{3\pi}{2006}\cdots \sin\frac{1001\pi}{2006}\sin\frac{1002\pi}{2006}}{\sin\frac{\pi}{1003}\sin\frac{2\pi}{1003}\sin\frac{3\pi}{1003}\cdots \sin\frac{501\pi}{1003}}$ $sin\frac{\pi}{2006}sin\frac{1002\pi}{2006}=sin\frac{\pi}{2006}cos\frac{\pi}{2006}=\frac{sin\frac{\pi}{1003}}{2}$ ในทำนองเดียวกันกับคู่อื่นๆ จะตัดกันจนเหลือแค่ $\frac{1}{2^{1003}}$ ข้อ 27 ในขั้นฐานA=x/2และอสมการหลังจัดเป็นกำลังสองหรือA.M.-G.M.ครับ 23 พฤษภาคม 2006 01:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ zead |
#66
|
|||
|
|||
ข้อ 29 วิธีทำ ถูกแล้วครับ แต่สงสัยคุณ zead รีบไปนิดนึง เพราะมีคู่ให้จับ แค่ 501 คู่ครับ ดังนั้นข้อนี้ตอบ $(\frac{1}{2})^{501} $ ครับ
และก็ generalize ได้เป็น $$ \sin \frac{\pi}{4n+2}\sin \frac{3\pi}{4n+2} \sin \frac{5\pi}{4n+2}\cdots \sin\frac{(2n-1)\pi}{4n+2} = (\frac{1}{2})^n $$ สำหรับข้อต่อไป ใครอยากถามก็ตามสบายเลยคร้าบ... ส่วนข้อ 27 ผมพอจะเข้าใจ เจตนาของคุณ zead แล้วครับ ถ้าตอบแบบคุณ zead งั้นผมว่าเขียนอย่างนี้ดีไหมครับ $$ \cot\frac{x}{2}-\cot x = \cot\frac{x}{2}- \frac{\cot^2 \frac{x}{2}-1}{2\cot \frac{x}{2}} =\frac{\cot^2 \frac{x}{2}+1}{2\cot\frac{x}{2}} \geq 1 $$ p.s. เห็น solution ของคุณ Mr.High รู้งี้ไม่น่าแตก $ \tan\theta= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ เลยเรา และเพื่อความกระจ่างมากขึ้น ผมไปขยายความวิธีทำบางส่วนของผมข้างบนสำหรับข้อนี้ เท่าที่จะทำได้แล้วนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#67
|
||||
|
||||
งั้นคำถามข้อใหม่ขอเป็นข้อ 17 และ 19.1 อยู่ในหน้าสองกระทู้นี้ละกัน ผมตั้งไว้สักพักแล้วแต่ยังไม่คนตอบได้
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#68
|
|||
|
|||
ตอบข้อ 17 นะครับ
จาก $\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ จากได้ว่า $$\prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}=\prod_{k=1}^n\frac{\sin\frac{x}{2^{k-1}}}{2\sin\frac{x}{2^k}}=\frac{\sin x}{2^n\sin\frac{x}{2^n}}$$ แทน $x=\frac{\pi}{2}$ จะได้ $$\frac{1}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\prod_{k=1}^n\cos\frac{\pi}{2^{k+1}}$$ ซึ่งเมื่อ $n\to \infty$ จะได้ $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\prod_{k=2}^{\infty}\cos\frac{\pi}{2^{k}}$$ แต่ $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}\cdot\frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}\right)=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2^{n+1}}{\pi}\cdot\frac{1}{2^n}\right)=\frac{2}{\pi}$$ (แก้ให้แล้วนะครับพี่ tum ขอบคุณที่ช่วยตรวจให้ครับ) จึงได้ว่า $$\frac{2}{\pi}=\prod_{n=2}^{\infty}\cos\frac{\pi}{2^n}$$ ตามต้องการ เหลือเพียงแสดงว่า $\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}{2}$ (จำนวนเครื่องหมายรูทเท่ากับ $n$) ซึ่งแสดงได้โดยการพิจารณาสูตร $$\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\cos^2\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \quad เมื่อ\quad 0<x<\frac{\pi}{2}$$ ก็จะได้ว่า$$1=\frac{\pi}{2} \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$$ตามต้องการ ขอฝากอีกข้อนึงนะครับ 30. จงหาเซตคำตอบของสมการ $$\cot x = 4 \cos 2x +2+\sqrt{ 3 }$$ 23 พฤษภาคม 2006 23:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nithi_rung |
#69
|
|||
|
|||
ข้อ19.1
จากโจทย์นำ 2sin36ฐคูณทั้งเศษและส่วน จะได้ $\cos15^\circ+\cos87^\circ+\cos159^\circ+\cos231^\circ+\cos303^\circ$ =$\frac{2\sin36^\circ(\cos15^\circ+\cos87^\circ+\cos159^\circ+\cos231^\circ+\cos303^\circ) }{2\sin36^\circ}=\frac{\sin339^\circ+sin21^\circ}{2\sin36^\circ}=0$ ผมขอเพิ่มอีกข้อง่ายๆนะครับ ข้อ31 ในสามเหลี่ยม ABC พิสูจน์ว่า $$ \sin\frac{A}{2}\le \frac{a}{2\sqrt{bc}} $$ |
#70
|
||||
|
||||
ข้อ 17 น้องนิธิพิมพ์ผิดตรงบรรทัดที่ใช้โลปิตาลนิดหน่อย แต่โดยรวมก็ทำอย่างที่ผมมีเฉลย เยี่ยมครับ
ข้อ 19.1 เราอาจมองได้ดังนี้ - เป็น projection ของจุดยอดของห้าเหลี่ยมด้านเท่าแนบในวงกลมหนึ่งหน่วยบนแกน x - เป็นกรณีพิเศษของ $\cos x+\cos (x+\frac{2\pi}{5})+\cos (x+\frac{4\pi}{5})+\cos (x-\frac{2\pi}{5})+\cos (x-\frac{4\pi}{5})=0$ ยังไม่มีโอกาสได้ทดหรืออ่านเฉลยหลายๆข้อ แต่เห็นด้วยกับหลายๆคนครับว่ายิ่งเล่นยิ่งโหด... แต่ก็ดีครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#71
|
|||
|
|||
ข้อ 31
จากสูตร $\cos2\theta$ และ law of cosine พบว่า $ 1-2\sin^2\frac{A}{2}=\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $ เทียบเท่ากับ $ \sin \frac{A}{2}=\frac{\sqrt{2bc-(b^2+c^2)+a^2 }}{2\sqrt{bc}} \leq \frac{\sqrt{a^2 }}{2\sqrt{bc}} =\frac{a}{2\sqrt{bc}} $ (ตรงเครื่องหมาย อสมการเป็นจริง เพราะ $ 2bc \leq b^2+c^2 $ )
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#72
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เห็นด้วยครับว่า ช่วงนี้คำถามที่นี่ยากขึ้นมากๆ อาจเป็นเพราะมีเทพมาจุติเพิ่มขึ้น ผมน่ะถอยไปแล้วนะ แต่เห็นโจทย์ของน้อง nithi_rung น่าสนใจ เลยอดไม่ได้ที่จะพยายามลุยกับเขาด้วย อ้างอิง:
|
#73
|
|||
|
|||
ข้อ 30 คำตอบของพี่ warut ถูกแล้วครับ แต่ที่จริงมีวิธีที่ไม่ต้องยกกำลังสองทั้งสมการ
ผมว่าปล่อยให้คนในบอร์ดคิดต่ออีกซักสองสามวันแล้วกันครับ ถ้ายังไม่มีใครคิดวิธีเดียวกับผม ก็จะเฉลยให้ |
#74
|
|||
|
|||
รู้แล้วๆ ใช้ $$\cos2x = \frac{\cot^2x-1} {\cot^2x+1} $$ ใช่ไหมครับ (ถ้าใช่นะ... โหย... โง่จริงๆเลยเรา อุตส่าห์ทำมาถึงแค่นี้แล้ว ) ผมก็พยายามหาวิธีที่ไม่ต้องยกกำลังสองนะครับ แต่ตอนนั้นมองไม่ออกจริงๆ คงเป็นเพราะมึนสุดๆแล้ว หลังจากคิดอยู่นานมากๆ
|
#75
|
|||
|
|||
ข้อ 22 ยังไม่มีใครตอบเลยเหรอครับ
เนื่องจาก A+B+C = p ดังนั้นสามารถสร้างสามเหลี่ยม ABC ที่มีด้านตรงข้ามมุม A,B,C เป็น a,b,c ตามลำดับ โดยไม่เสียนัยสำคัญสมมติให้ a ณ b ณ c ซึ่งจะได้ว่า a+b ณ a+c ณ b+c และ -c ณ -b ณ -a จากอสมการการจัดเรียง (RI) จะได้ว่า (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ณ abc ให้ s = $\frac{(a+b+c)}{2}$ จะได้ $\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}$ ณ $\frac{1}{8}$ แต่จากสูตร sin$\frac{A}{2}$ = ($\frac{(s-b)(s-c)}{bc}$)1/2 จะได้ว่า sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$ ณ $\frac{1}{8}$ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|