|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#61
|
|||
|
|||
สุดยอดมาก ๆ สำหรับคุณ Warut และคุณ passer-by โดยเฉพาะข้อมูล แน่นจริง ๆ !!!
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง |
#62
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ผมตามไม่ทันครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#63
|
|||
|
|||
สำหรับ คำถามของน้อง Mastermander
$ 1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = 1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta} = \frac{2}{1+\tan\theta}$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#64
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
15.
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#65
|
|||
|
|||
ข้อ 15 ตอบ 1/2 โดย change of variable technique จะได้ $\int_Q\cos^2(\cdots)dx=\int_Q\sin^2(\cdots)\;dx\quad$ ($Q=[0,1]\times\cdots\times[0,1]$)
ต่อเลยนะครับ 16. เป็นที่ทราบโดยทั่วไปว่า $\int_0^\infty e^{-x^2}\;dx=\sqrt{\pi}/2\quad$ จงหา \[ \int_0^\infty e^{-x^2}x^{n-1}\;dx \] เมื่อ $n\geq2$ เป็นจำนวนนับใดๆ (Hint: $n$-dimensional Calculus) |
#66
|
||||
|
||||
เอ่อ ไม่แน่ใจครับว่าถูกป่าว รอคุณ Punk มายืนยันความถูกต้อง
16. เนื่องจาก \[ \text{จาก Gamma Function} \; \; \;\Gamma ( y ) = \int_0^{\infty} t^{ \; y-1} e^{-t} dt \] \[ \text{เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ } \; \; \; t=x^2 \rightarrow dt = 2xdx \] \[ \text{จะได้ว่า } \; \; \; \Gamma ( y ) = 2 \int_0^{\infty} x^{ \; 2y-1} e^{-x^2} dx \] \[ Let \; \; y=\frac{n}{2} \; \; \; \; \text{จะได้ว่า} \; \; \; \frac{1}{2}\Gamma ( \frac{n}{2} ) = \int_0^{\infty} x^{ \; n-1} e^{-x^2} dx \] สรุป \[ \int_0^{\infty} x^{ \; n-1} e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}\Gamma ( \frac{n}{2} )\] โดยที่ \( \Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \; \; \) และ \( \; \; \Gamma (x+1) = x \Gamma (x)\) ต่อด้วย 17.จากข้อที่แล้ว จงแสดงว่า \[ \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 28 เมษายน 2006 19:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#67
|
|||
|
|||
คำตอบของน้อง M@gpie ถูกแล้วครับ แต่ที่ผมคิดคืออีกแบบครับ ผมใช้เรื่อง generalized spherical coordinates
ทวนนะครับ ใน $\mathbb{R}^3$ เรามี spherical coordinates \[ (x,y,z)\to(r,\theta,\phi)\qquad r\geq0,\;0\leq\theta\leq2\pi,\;0\leq\phi\leq\pi \] ทำนองเดียวกันใน $\mathbb{R}^n$ เราก็จะมี \[ (x_1,\ldots,x_n)\to(r,\Psi),\quad\Psi=(\theta,\phi_1,\ldots,\phi_{n-2}) \] ส่วนอินทิเกรตจะมี differential \[ dV=dx_1\cdots dx_n\to r^{n-1}dr\;d\Psi \] เช่น เมื่อ $n=3$ เรามี $d\Psi=\sin\phi\;d\theta\;d\phi$ (กรณี $n\geq4$ รูปแบบจะยุ่งยากกว่านี้) ที่นี้เรื่องของเรื่องคือ \[ \int_{S^{n-1}}d\Psi=\alpha_n=\text{พื้นที่ของ sphere รัสมี 1 หน่วยใน $\mathbb{R}^n$} \] ในคณิตศาสตร์ถือว่าเป็นค่าคงที่ คำนวณได้โดยอาศัย Gamma function$\quad$ ดังนั้นปัญหาของเราจะกลายเป็น \[ \begin{eqnarray} \int_0^\infty e^{-r^2}r^{n-1}dr&=&\frac{1}{\alpha_n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-|x|^2}dV(x)\\ &=&\frac{1}{\alpha_n}\int_{-\infty}^\infty e^{-x_1^2}dx_1\cdots\int_{-\infty}^\infty e^{-x_n^2}dx_n\\ &=&\frac{1}{\alpha_n}(\sqrt{\pi})^n \end{eqnarray} \] ปล. วิธีแปลงเป็น spherical coordinates มีประโยชน์มากเวลาคำนวณ heat kernel $k(x,y,t)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-|x-y|^2/4t}$ บน $\mathbb{R}^n$ |
#68
|
|||
|
|||
17. ให้คำตอบคือ $A$
\[ \begin{eqnarray} (2A)^2&=&\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\;dx\cdot\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\;dy\\ &=&\int_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\ &=&\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}rdr\;d\theta=\pi(-e^{-r^2})\big|_0^\infty=\pi \end{eqnarray} \] 29 เมษายน 2006 12:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#69
|
||||
|
||||
โอ้โห !! วิธีคิดของคุณ Punk นี่ Advance จริงๆครับ เหอๆๆ เกินความรู้ระดับผมไปแล้วอิอิ
แต่เห็นบอกว่าแก้ Heat Equation ด้วย นี่เกี่ยวกับพวก Green's Function ด้วยรึเปล่าครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#70
|
|||
|
|||
ถูกแล้วครับน้อง M@gpie เกี่ยวข้องอย่างมากครับ คือทั้งสอง (Green function และ Heat kernel) ช่วยในการคำนวณผลเฉลยของ PDE
ต่างกันเล็กน้อยตรงที่ Heat kernel ใช้หาผลเฉลย Heat equation (Parabolic PDE) ส่วน Green function ใช้กับ Laplace/Poisson equation (Elliptic PDE) 18. (Putnam ???) จงหาค่า \[ \int_2^4\frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{3+x}}dx \] 29 เมษายน 2006 20:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#71
|
||||
|
||||
ครับ ผมกำลังจะศึกษาเรื่อง
An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory by Ruth F. Curtain, Hans Zwart เกี่ยวกับแก้ PDE นี่แหละครับ แล้วนำมาประยุกต์กับการวิเคราะห์เสถียรภาพ และ การสร้างควบคุม ใช้คณิตศาสตร์ทาง Functional Analysis ถ้ายังไงมีข้อสงสัยอาจจะต้องรบกวนคุณ Punk ด้วยนะครับ จะ PM ไปหา อิอิ ถ้ามีข้อแนะนำ ยังไงก็บอกได้เลยนะครับ PM มาหาผมก็ได้ จะได้ไม่รบกวน กระทู้ ขอบคุณคร้าบ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#72
|
|||
|
|||
ยินดีครับคุณ M@gpie
อีกสักข้อละกันครับ (ผมไม่ค่อยชอบข้อนี้เลยครับ) 19. ถ้า $f: (0,\infty)\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องถึงอันดับสอง และ \[ |f''(x)+2xf'(x)+(x^2+1)f(x)|\leq1 \] จงพิสูจน์ว่า $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ 29 เมษายน 2006 21:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#73
|
||||
|
||||
แหมมม โจทย์สไตล์ข้อ 18. นี่เยอะจริงๆครับ
\[ Let : \; u=6-x \; \; \text{เราจะแสดงได้ว่า} \; \; \] \[\int_2^4 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{3+x}} dx = \int_2^4 \frac{\sqrt{3+x}}{\sqrt{3+x} + \sqrt{9-x}} dx \] \[ \text{จากผลข้างต้น} \; \; 2 \int_2^4 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{3+x}}dx = \int_2^4 dx = 2 \] \[ \int_2^4 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{3+x}}dx = 1 \] ข้อ 20. ครับ \[\text{จงหาค่าของ} \; \; \; \lim_{x \rightarrow \infty}(2^x +3^x)^{\frac{1}{x}} \; \; \text{โดยไม่ใช้กฏของโลปิตาล }\] ปล. ข้อ 20 นี้ อ. Punk เคยให้ลองคิดเล่นๆตอนที่สอน Calculus 1 ด้วยนะครับ อิอิ ผมนั่งเรียนอยู่
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#74
|
||||
|
||||
20. $$\lim_{x \rightarrow \infty}(2^x +3^x)^{\frac{1}{x}}$$
$$\because\; \,2^x+3^x=3^x\big((\frac23)^x+1\big) $$ $$\lim_{x \rightarrow \infty}(2^x +3^x)^{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to\infty}3\big((\frac{2}{3})^x+1\big)^{\frac{1}{x}}=3(0+1)^0=3$$ 21.จงหาพื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง $y = x^2$ จาก $x= 0$ ถึง $x = \sqrt 2$ โดยหมุนรอบแกน y
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 30 เมษายน 2007 11:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#75
|
||||
|
||||
22.จงหาค่าของ
$$\int_0^1 x^5\arctan (x^2)\ dx$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Inequality Marathon | nongtum | อสมการ | 155 | 17 กุมภาพันธ์ 2011 00:48 |
|
|