|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#46
|
|||
|
|||
จริงด้วยๆ ผมต้องใช้คำว่า group isomorphism ถึงจะเหมาะสม (นั่ง diff - integrate อยู่ที่ mathcenter จนลืมอย่างอื่นหมดเลย แต่ก่อนผมเคยอยากเขียนพิสูจน์เป็นภาษาอังกฤษ เพราะรู้สึกว่าง่ายกว่า แต่ไม่ได้ทำเพราะกลัวจะโดนหาว่า ด.จ.ร. พอมาถึงวันนี้เห็นคนอื่นเขียน เลยจะเอาบ้าง ปรากฎว่าเขียนไม่ออกซะแล้ว มันหายจากหัวไปเกลี้ยงเลยครับ )
ไหนๆก็คิดมาแล้ว ขออนุญาตแปะอีกสักตัวอย่างนะครับ ถ้าเราลองเปลี่ยนมาใช้ group $ ( \mathbb R^+, \times ) $ เราก็ต้องพยายามหา homeomorphism $ f: (0,1) \to \mathbb R^+ $ ที่มีสมบัติว่า $ f(1-x) = 1/f(x) $ ซึ่งผมเจออันนึงคือ $ f(x) = x/(1-x) $ ดังนั้นคราวนี้เราจะได้ $$ x*y = f^{-1} (f(x)f(y)) = \frac{xy}{ 1+2xy-x-y } $$ เป็นสูตรที่น่าดูขึ้นหน่อยครับ |
#47
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#48
|
|||
|
|||
ช่ายเลย... เห็นด้วยกับคุณ nooonuii ทุกประการครับ
คิดๆดูแล้ว ที่ผมใช้คำว่า "homeomorphism" ดูจะเว่อร์ไปหน่อยนะ จริงๆใช้แค่ "bijection" ก็น่าจะพอแล้วล่ะ |
#49
|
|||
|
|||
ใช่ครับ homeomorphism ใช้สำหรับโครงสร้างเชิง Topology ของเซตครับ ซึ่งสำหรับปัญหานี้แค่ bijection ที่สอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $f(1-x)=f(x)^{-1}$ ก็เพียงพอแล้ว
ขอต่อข้อต่อไปนะครับ จริงๆอยากให้คุณ Warut เอาโจทย์มาให้ลองทำดูบ้างครับ แต่ผมขอแซงคิวก่อนละกัน 14. ให้ G เป็น group ซึ่งมีคุณสมบัติว่า $\displaystyle{ (ab)^{2005}=a^{2005}b^{2005},}$ $\displaystyle{ (ab)^{2006}=a^{2006}b^{2006},}$ $\displaystyle{ (ab)^{2007}=a^{2007}b^{2007} }$ ทุก $a,b\in G$ จงพิสูจน์ว่า G เป็น abelian group
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#50
|
|||
|
|||
เผื่อว่าคนที่ไม่มีความรู้ Group Theory อยากจะเล่นด้วยผมขอแปลโจทย์ข้อ 14 ให้เป็นภาษาของ matrix ละกันครับ
(14*) ให้ $A, B$ เป็น invertible matrices ขนาด $n\times n$ โดยที่ $(AB)^{2005} = A^{2005}B^{2005}$ $(AB)^{2006} = A^{2006}B^{2006}$ $(AB)^{2007} = A^{2007}B^{2007}$ จงพิสูจน์ว่า $AB = BA$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#51
|
|||
|
|||
#14. Using $(ab)^N=a^Nb^N$ and $(ab)^{N+1}=a^{N+1}b^{N+1}$, we get
\[ (ab)a^Nb^N=a^{N+1}b^{N+1}\Longrightarrow ba^N=a^Nb. \] Then we get $a^Nb^N=a^Nb\cdots b=ba^Nb\cdots b=\ldots=b^Na^N$, hence $(ab)^N=(ba)^N$. This is true for $N=2005,2006$, so $ab=ba$. |
#52
|
|||
|
|||
โจทย์แบบนี้เคยเล่นกันไปทีนึงแล้วครับ ตั้งแต่สมัยยุคบุกเบิกโน่นแน่ะ แต่เอามาเล่นอีกก็ดี เพราะสมาชิกส่วนใหญ่ที่นี่คงยังไม่เคยเห็น และผมยังมีปัญหาที่เกี่ยวกับเรื่องนี้โดยตรง คือในแบบฝึกหัด I.1.11 ในหน้า 30 ของหนังสือ Algebra ของ Hungerford กล่าวว่า
[Prove that] The following conditions on a group $G$ are equivalent: (i) $G$ is abelian; (ii) $(ab)^2 = a^2b^2 $ for all $ a,b \in G $; (iii) $ (ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1} $ for all $ a,b \in G $; (iv) $ (ab)^n = a^n b^n $ for all $ n \in \mathbb Z $ and all $ a,b \in G $; (v) $ (ab)^n = a^n b^n $ for three consecutive integers $n$ and all $ a,b \in G $. Show that (v) $\Rightarrow$ (i) is false if "three" is replaced by "two." ตรงประโยคสุดท้ายนี่แหละครับที่ผมทำไม่ได้ ไม่รู้จะหา counterexample ยังไง ใครทราบวิธีทำช่วยแนะด้วยนะครับ |
#53
|
|||
|
|||
It is easy to show that the condition
(i) $(ab)^n=a^nb^n$ for all $a,b\in G$, for consecutive integers $n=N,N+1$ is equivalent to that (ii) $(ab)^N=a^Nb^N$ and $ab^N=b^Na$ for all $a,b\in G$. If $G$ is a non-abelian finite group of order $N$, then $x^N=e$ (the identity) for all $x\in G$, hence (ii) is true for all $a,b\in G$. |
#54
|
|||
|
|||
อ๋อ... เข้าใจแล้วครับ ใช้มุขนี้นี่เอง:
สำหรับ $G$ ที่เป็น non-abelian finite group of order $n$ เราจะได้ว่า $ (ab)^n = a^n b^n $ และ $ (ab)^{n+1} = a^{n+1} b^{n+1} $ for all $ a,b \in G $ ขอบคุณมากครับ Edit: มาคิดดูอีกที เล่นแบบนี้ไปเลยก็ได้นี่นา: สำหรับทุก group $G$ เราจะได้ว่า $ (ab)^0 = a^0 b^0 $ และ $ (ab)^1 = a^1 b^1 $ for all $ a,b \in G $ แบบนี้คงไม่น่าเกลียดเกินไปนะครับ 18 ตุลาคม 2006 16:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#55
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
Suppose $\deg f=n>0$. Since $\deg f(x^2)=2n$, the polynomial $p(x)$ must have degree 2. Let $p(x)=a(x+b)^2+c$ where $a\neq0$. So $f(x^2)=a(f(x)+b)^2+c$. Setting $g(x)=a[f(x)+b]$, then $g$ satisfies the equation \[ g(x^2)=g(x)^2+d,\qquad d=(b+c)a. \] We claim that $g$ must be of the form $g(x)=x^n$. If $g(x)=a_nx^n+a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0$ for some $m<n$ and $a_m\neq0$, then we would have, by comparing the coeffcients of $x^{n+m}$ of both sides of the equation above, \[ 0=2a_na_m,\Longrightarrow a_m=0. \] This is a contradiction, so $g(x)=a_nx^n$. It is easy to see that $a_n=1$, which proves the claim. We conclude that $d=0$, that is $b+c=0$. Thus \[ f(x)=\frac{1}{a}x^n-b\qquad\text{and}\,\,p(x)=a(x+b)^2-b. \] 19 ตุลาคม 2006 05:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#56
|
||||
|
||||
สุดยอดครับ ลำดับการคิดต่างจากเฉลยที่ผมมีนิดหน่อย แต่รวมๆก็ไอเดียเดียวกัน จะมีเรื่องอะไรบ้างที่คุณ punk จะทำไม่ได้บ้างเนี่ย...
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#57
|
|||
|
|||
โจทย์ข้อนี้ยากจริงๆครับ ผมคิดได้แค่ว่า P(x) ต้องเป็นพหุนามกำลังสองเอง
การกำหนด $P(x) = a(x+b)^2+c$ เป็นเทคนิคที่เหนือความคาดหมายมากครับ คิดได้ยังไง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#58
|
|||
|
|||
ขอวางระเบิดอีกลูกก่อนไปอ่านหนังสือเตรียมสอบครับ
15. ให้ $G$ เป็น group ที่มีขนาด 5098 จงพิสูจน์ว่า $G^2 = \{ g^2 : g\in G \}$ เป็น normal subgroup ของ G
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#59
|
|||
|
|||
มาจัดการ (เหยียบ?) ระเบิดของคุณ nooonuii ดีก่า
ให้ $e$ แทน identity ของ $G$ จะเห็นว่า $G^2$ เป็น subgroup ของ $G$ จากที่ $ |G|= 5098 = 2 \cdot 2549 $ แสดงว่าขนาดของ $G^2$ ที่เป็นไปได้คือ $ 1, 2, 2549, 5098 $ $ |G^2|=1 \quad \Rightarrow \quad G^2= \{ e \} \quad \Rightarrow \quad G^2 $ เป็น normal subgroup $ |G^2|=5098 \quad \Rightarrow \quad G^2= G \quad \Rightarrow \quad G^2 $ เป็น normal subgroup $ |G^2|=2549 \quad \Rightarrow \quad G^2 $ เป็น subgroup of index $ 2 \quad \Rightarrow \quad G^2 $ เป็น normal subgroup ถ้า $ |G^2| =2 $ ให้ $ G^2 = \{ e, b \} $ ดังนั้น $ b^2=e $ เราจะพิสูจน์ว่า $G^2$ เป็น normal subgroup โดยแสดงว่า $ aba^{-1} \in G^2 $ สำหรับทุก $ a \in G $ กรณีที่ 1: $a^2=b$ $ aba^{-1} = aa^2a^{-1} = a^2 \in G^2 $ กรณีที่ 2: $a^2=e$ $ aba^{-1} = aba = abae = ababb = (ab)^2b \in G^2 $ |
#60
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
โดยทั่วไปแล้ว $G^2$ ไม่จำเป็นต้องเป็น subgroup ของ G ครับ เพราะ group ไม่จำเป็นต้อง abelian ยกตัวอย่างเช่น $A_4^2$ ไม่เป็น subgroup ของ $A_4$ ครับ เพราะมีสมาชิก 9 ตัว $(A_4=$ Alternating group of 4 letters)
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Algebra คืออะไร | [C++] | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 15 | 30 มกราคม 2021 11:31 |
โจทย์ Algebra | Crazy pOp | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 28 กรกฎาคม 2020 03:14 |
ปัญหา MOdern Algebra อีกแล้วครับ | เรียวคุง | พีชคณิต | 1 | 09 กันยายน 2006 22:02 |
ช่วยแสดงข้อนี้ให้ดูทีครับ (Modern Algebra) | เรียวคุง | พีชคณิต | 3 | 06 กันยายน 2006 15:27 |
คำถามพีชคณิตเชิงเส้น Linear Algebra | M@gpie | พีชคณิต | 4 | 17 พฤษภาคม 2006 10:31 |
|
|