|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#46
|
|||
|
|||
สมการ $2^{-x}=x$ มีเพียงคำตอบเดียว(โดยการวาดกราฟ) และจาก mean value theorem ทำให้ได้ว่า
\[ |2^{-x}-2^{-y}|\leq|x-y|,\qquad x,y\geq0 \] ปล. ลองดูบทความใน my maths เล่มล่าสุด เรื่องจำนวนจุดตัดของกราฟ expo-log |
#47
|
||||
|
||||
13. $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \; dx $
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 21 เมษายน 2006 00:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#48
|
|||
|
|||
ขอแก้ตัวหลังจากปล่อยไก่ข้อลิมิต
ใช้ by part โดยให้ $u = \sin^n x$ และ $dv = dx$ ดังนั้น $du = n\sin^{n-1}x \cos x\,dx$ และ $v = x$ จะได้ว่า $$\int\sin^nx\,dx = x \sin^n x - \int nx\sin^{n-1}x\cos x\,dx$$ ดังนั้น $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} nx\sin^{n-1}x\cos x\,dx$$ เนื่องจาก $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n(\pi/2 - x)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,dx$$ ใช้ by part โดยให้ $u = \cos^n x$ และ $dv = dx$ ดังนั้น $du = -n\cos^{n-1}x \sin x\,dx$ และ $v = x$ จะได้ว่า $$\int\cos^nx\,dx = x \cos^n x + \int nx\cos^{n-1}x\sin x\,dx$$ เนื่องจาก $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,dx = 0 + \int_0^{\frac{\pi}{2}} nx\cos^{n-1}x\sin x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} n(\pi/2 - x)\sin^{n-1}x\cos x\,dx$$ ดังนั้น $$\frac{\pi}{2} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} nx\sin^{n-1}x\cos x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} n(\pi/2 - x)\sin^{n-1}x\cos x\,dx$$ $$\frac{\pi}{2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} n(\pi/2)\sin^{n-1}x\cos x\,dx$$ $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} n\sin^{n-1}x\cos x\,dx = 1$$ จึงสรุปได้ว่า $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{\pi}{2} - 1$$
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง |
#49
|
|||
|
|||
ไม่เข้าใจการพิสูจน์ช่วงสรุปครับ และคำตอบก็คงไม่ถูกด้วย (จากการแทน $n=1$)
|
#50
|
|||
|
|||
ที่คุณ warut ไม่เข้าใจนั้นก็ถูกต้องแล้วครับ เพราะผมทำผิด (อีกแล้วครับท่าน) เอางี้ดีกว่า ใช้สูตรลดทอนดีกว่า จาก
$$\int\sin^nx\,dx = -\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\,dx$$ จะได้ว่า $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{n-1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,dx$$ ถ้าใช้สูตรลดทอนต่อไปอีก จะได้ $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{(n-1)(n-3)}{n(n-2)}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-4}x\,dx$$ ดังนั้นพอจะมองออกว่า ถ้าใช้สูตรลดทอนไปเรื่อย ๆ สุดท้ายจะได้ว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ แล้ว $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 2}{n(n-2) \ldots 3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 2}{n(n-2) \ldots 3}$$ และถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 1}{n(n-2) \ldots 2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\,dx = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 1}{n(n-2) \ldots 2}\cdot\frac{\pi}{2}$$ เอ่อ ขอละ complete proof นะครับ พิมพ์จนมึนแล้ว ถูกแล้วยังเอ่ย?
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 19 เมษายน 2006 19:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn |
#51
|
|||
|
|||
สมมติว่าผมทำโจทย์ของคุณ Mastermander ถูกแล้วกันนะครับ ผมขอตั้งโจทย์ข้อใหม่นะครับ
14. จงหาค่าของ $$\int_0^1\frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1}\,dx$$
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง 21 เมษายน 2006 00:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#52
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ให้ $f(x)=2^{-x}$ จะได้ว่า $f'(x) = -(\ln{2})f(x)$ เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันลดและ $f(x)\leq 1 $ ทุกค่า $x>0$ เราจะได้ว่า $f(f(x))\geq f(1) = \frac{1}{2}$ ทุกค่า $x>0$ ให้ $g(x) = f(f(x)) + f(x) - 2x$ จะได้ว่า ถ้า $x\leq 0$ เราจะได้ $g(x)>0$ เสมอ ดังนั้น $g$ ไม่มีรากในช่วง $(-\infty,0]$ สำหรับ $x>0$ เราได้ว่า $g'(x) = f'(f(x))\cdot f'(x) + f'(x) - 2$ $ = f'(x)[f'(f(x))+1] - 2$ $=f'(x)[1 - (\ln{2})f(f(x))] - 2$ $\displaystyle{ \leq f'(x)(1-\frac{\ln{2}}{2}) - 2 < 0 }$ ทุกค่า $x>0$ ดังนั้น $g$ เป็น strictly decreasing function ในช่วง $(0,\infty)$ จึงมีรากได้ไม่เกินหนึ่งรากในช่วงนี้ เนื่องจาก $g(1)>0$ และ $g(2)<0$ เราจึงได้ว่า $g$ มีรากในช่วง $(1,2)$ โดย Intermediate Value Theorem เพราะฉะนั้นสมการ $2^{-2^{-x}}+2^{-x}=2x$ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวและคำตอบนั้นอยู่ในช่วง (1,2) ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#53
|
|||
|
|||
$g(1)=(\sqrt2-3)/2<0$ ครับ ข้อนี้ผมทำคล้ายๆกับคุณ nooonuii เลยจำได้ว่าผมใช้ $g(0)=3/2>0$ ครับ
|
#54
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ปล. อยากให้เฉลยเมื่อไหร่ก็บอกได้นะครับ |
#55
|
|||
|
|||
อืม ใช่ครับมีปัญหาตรงนั้นจริงๆด้วย แต่ที่ผมทำไม่เหมือนกับคุณ nooonuii เป๊ะ จึงหวังว่าคงไม่มีปัญหาแบบเดียวกัน ผมทำโดยพิจารณาฟังก์ชัน $$y= 2^{-u}+u+ 2\log_2u, \quad u=2^{-x}$$ แทนครับ แต่ไม่รู้ว่าจะคุ้มมั้ยที่จะคิดใหม่ (ทิ้งกระดาษทดไปแล้ว) และพิมพ์ เพราะเดี๋ยวก็คงได้เห็นเฉลยสวยๆแล้ว
|
#56
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
วิธีทำของผมซึ่งไม่ได้ใช้ Mean Value Theorem เป็นดังนี้ครับ โดยการให้ $u=2^{-x}>0$ เราสามารถเปลี่ยนปัญหาไปเป็นการหาจำนวนรากของ $$f(u)= u+2^{-u}+ 2\frac{\ln u}{\ln2}$$ แทนได้ เนื่องจาก $$f'(u)=1-2^{-u}\ln2+\frac{2}{u\ln2} >0$$ เพราะเมื่อ $u>0$ แล้ว $$2^{-u}\ln2<\ln2<1 \quad และ \quad \frac{2}{u\ln2}>0$$ ดังนั้น $f(u)$ จึงเป็น strictly increasing function และเนื่องจาก $f(1/2)= (\sqrt2-3)/2<0$ และ $f(1)=3/2>0$ ดังนั้น $f(u)$ จึงมีรากจริงเพียงรากเดียว และรากนั้นอยู่ในช่วง $(1/2,1)$ ซึ่งนั่นทำให้เรารู้ว่า สมการโจทย์มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเพียงคำตอบเดียวเช่นกัน (เพราะ $2^{-x}$ เป็นฟังก์ชัน 1-1) และคำตอบนั้นอยู่ในช่วง $(0,1)$ ครับ 21 เมษายน 2006 12:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#57
|
|||
|
|||
ง่ะ ผิดอื้อเลยครับ สะเพร่าอีกแล้ว ยังไงก็คงต้องรอดูเฉลยแล้วล่ะครับ หมดไฟซะแล้ว
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#58
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#59
|
|||
|
|||
คำถามของคุณ Alongkorn เป็นคำถามยอดฮิตข้อนึง เกี่ยวกับอินทิเกรตเลยนะครับเนี่ย เพราะ ข้อนี้เคยถูกใช้เป็นข้อสอบ ของ A.M.I.E. (1978) หรือข้อสอบของสถาบันวิศวกรรม ของอินเดีย และล่าสุด ยังเป็นข้อสอบ Putnam 2005 อีกด้วย ซึ่งมีเฉลยไว้ 4 แบบครับ
จริงๆ ข้อนี้หลังจากเปลี่ยนให้ติด tanq แล้ว อาจทำอย่างนี้เลยก็ได้ครับ $ \displaystyle{ \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan\theta) \,d\theta} $ $ \displaystyle{= \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) \,d\theta } $ $ \displaystyle{= \int_0^{\pi/4} \ln(\frac{2}{1+\tan\theta}) \,d\theta} $ $ \displaystyle{= \int_0^{\pi/4} \ln(2)\,d\theta -\int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan\theta) \,d\theta} $ จากนั้น ก็ย้ายข้างสมการ จะได้ $ \displaystyle{ \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan\theta) \,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{\pi/4} \ln(2)\,d\theta} $ หลังจากนี้ ก็ไม่มีอะไรซับซ้อนแล้วครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#60
|
|||
|
|||
เฉลยละกันข้อ 12. ข้อนี้สามารถใช้กับกรณีทั่วไป สมการ
\[ f^{(n)}(x)+f^{(n-1)}(x)+\cdots+f(x)=nx \] เมื่อ $f(x)=2^{-x}$ และ $f^{(n)}(x)=f(f(\cdots f(x)\cdots))$ (มี $f$ ทั้งหมด $n$ ตัว) อย่างไรก็ตามขอทำกรณีเฉลาะละกันครับ ให้ $x_0$ เป็นคำตอบหนึ่งเดียวของสมการ $f(x)=x$ เห็นได้ชัดว่า $x_0$ เป็นคำตอบของสมการที่ต้องการ กล่าวคือ $f(f(x_0))+f(x_0)=2x_0$ ถ้า $y$ เป็นคำตอบด้วย ($f(f(y))+f(y)=2y$) ดังนั้น \[ \begin{eqnarray} 2|x_0-y|&\leq|f(f(x_0))-f(f(y))|+|f(x_0)-f(y)|\\ &\leq|f(x_0)-f(y)|+|x_0-y|\leq2|x_0-y| \end{eqnarray} \] โดยผลของ Mean value theorem เพราะฉะนั้น $f(x_0)=f(y)$ ดังนั้น $y=x_0$ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Inequality Marathon | nongtum | อสมการ | 155 | 17 กุมภาพันธ์ 2011 00:48 |
|
|