|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#46
|
|||
|
|||
ไม่ต้องใช้อะไรพิเศษหรอกครับ น้อง timestopper
เพียงแต่ขอบเขตคราวนี้มันไม่ใช่ rectangular region การสลับขอบเขตเลยไม่ใช่เพียงแค่สลับขอบเขตในกับขอบเขตนอก แต่ต้องเขียนใหม่ทั้ง 2 ขอบเขตภายใต้ area เดิม เดิมบริเวณ $dvdu$ มันเป็น $ 0 \leq v \leq u \,\,\, , u \geq 0 $ ดังรูปข้างล่างก่อนหมุน (บริเวณ A cover ใต้เส้นถึง infinity นะครับ) แล้วก็เปลี่ยนเป็นขอบเขตแบบ $dudv$ ก็เหมือนน้องมองเอาแกน v เป็นเส้นนอน และแกน u เป็นเส้นตั้งน่ะครับ ก็จะเห็นเป็นรูปล่าง และขอบเขตก็จะเป็น $ v \leq u < \infty \,\,\, , v \geq 0 $ NOTE : $\infty$ ที่ผมเขียนบรรทัดก่อน เป็นแค่ notation เท่านั้นนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#47
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
มีสุดยอดวิชาอยู่สามอย่างที่ใครได้มาครอบครองก็จะได้เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้เยี่ยมยุทธ์ สามสิ่งนั้นคือ ความรู้เกี่ยวกับ ตรรกศาสตร์ เซต และ ฟังก์ชัน ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#48
|
|||
|
|||
The answer is $ \mathbf {\frac{6}{\pi}}$ Set $ x=\frac{1}{y} $ First equation becomes $$ g(\frac{1}{y}) - \frac{d}{dy}\bigg(\frac{1}{y^2}g'(\frac{1}{y}) \bigg) =0 \,\, \cdots(*)$$ Let $ w= g(\frac{1}{y})$ and hence (*) becomes $$ w(y)+w''(y)=0 \Rightarrow w= c_1\cos y +c_2 \sin y \Rightarrow g(x)= c_1\cos(\frac{1}{x}) +c_2 \sin(\frac{1}{x})$$ Since $\lim_{x\rightarrow \infty} xg(x)=1 $ ,it forces $c_1=0$ and then $ c_2=1$ Now $ g(x)= \sin(\frac{1}{x}) $ and we can easily solve for $a$.
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#49
|
||||
|
||||
เป็นโจทย์ ODE ที่พระเจ้าจอร์จมากครับพี่ passer-by
ผมนั่งเปลี่ยนตัวแปรอยู่นาน แต่ไม่เห็นความสัมพันธ์
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#50
|
|||
|
|||
โห... คุณ passer-by ให้เวลาข้อ 80. น้อยจังครับ ผมมาเห็นโจทย์ข้อนี้ก็ตอนเฉลยซะแล้ว
|
#51
|
|||
|
|||
คือปกติ ผมจะตั้ง timer ไว้ว่า คำถามข้อนึงของผมมีเวลา 4 วัน ถ้าไม่มีใครมาตอบ ผมก็จะเฉลย ไม่อยากทิ้งไว้นานครับ เพราะ 2 สาเหตุคือ เดี๋ยวผมลืมว่าผมเคย post ข้อนี้ไว้ กับอีกเหตุผลคือ มีคำถามที่ไม่มีใครตอบในกระทู้มาราธอนมากมายพอแล้ว
แต่เอาเป็นว่า คราวหลังผมตั้ง timer ไว้ซัก 1 สัปดาห์แล้วกัน ส่วนข้อ 80 ผมเอามาจาก competition (ชื่อย่อขึ้นต้นด้วย h) ซึ่งดังมากๆและเพิ่งจบไปไม่นานนี้ ที่สำคัญก็คือมีเด็กไทยไปแข่งด้วยครับ ถ้าจำไม่ผิดรู้สึกข้อนี้จะ 7 คะแนน
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 12 มีนาคม 2007 20:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#52
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\displaystyle{\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}}{t^2}dt}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}xe^{-tx}\left(e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}\right)dxdt}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}x\int_0^{\infty}e^{-(1+x)t}-2e^{-(3+x)t}+e^{-(5+x)t}dtdx}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[\left(\frac{x}{1+x}\right)-2\left(\frac{x}{3+x}\right)+\left(\frac{x}{5+x}\right)\right]dx}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[\left(1-\frac{1}{1+x}\right)-2\left(1-\frac{3}{3+x}\right)+\left(1-\frac{5}{5+x}\right)\right]dx}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[-\frac{1}{1+x}+\frac{6}{3+x}-\frac{5}{5+x}dx\right]}$ $\displaystyle{=\left[\ln\left(\frac{(3+x)^6}{(1+x)(5+x)^5}\right)\right]_0^{\infty}=\ln\left(\frac{5^5}{3^6}\right)}$ Don't be surprise why a "ลมปราณบริสุทธิ์" man can solve this question with a beautiful method. Because I have just copied this from the other place.
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
28 เมษายน 2007 12:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG เหตุผล: พิมพ์ผิด-*- |
#53
|
||||
|
||||
ผมเห็นว่าช่วงนี้บอร์ดเงียบๆไป+ผมไม่เห็นว่ามีโจทย์เหลือในกระทู้นี้เลยครับเลยหามาลงเพิ่มให้
81.$\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{dx}{\{\sin(x+a)+\cos x\}^2}=?,|a|<\frac{\pi}{2}}$ 82.$\displaystyle{\int_0^\infty\frac{\ln x}{x^3+1}dx=?}$ 83.$\displaystyle{\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=?}$ ไม่รู้ว่ามีข้อไหนซ้ำหรือเปล่านะครับถ้าซ้ำผมจะได้เอาออกครับแหะๆ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#55
|
||||
|
||||
ผมเคยเห็นเวลาที่พิมพ์แล้วใช้เส้นขีดฆ่านี่ทำกันยังไงหรอครับผมจะได้ทำมั่งที่พิมพ์ผิดไป
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#56
|
|||
|
|||
83. (Medium level) Evaluate $$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln \cot \theta}{(\sin^5 \theta + \cos^5 \theta)^2}\cdot \sin^4 2\theta \,\, d\theta $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#57
|
||||
|
||||
ใช้ partial fractions หรือเปล่าครับผมทำมาละมันถึกมากๆถ้าถูกทางจะได้ทำต่อครับ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#58
|
|||
|
|||
คิดว่าไม่จำเป็นครับ (หมายความว่า ถ้าใช้ ก็ไม่ใช่ขั้นตอนสำคัญของข้อนี้ครับ)
แต่ที่น่าจะได้ี่ใช้แน่ๆ คือ by parts หรือบางคนอาจจะเลือกกระจาย series ก็ไม่ว่ากันครับ Note : ข้อนี้ อาจจะถึกนิดหน่อย แต่ไม่อึดมากครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#59
|
|||
|
|||
มาเพิ่มให้อีกข้อนึงครับ
84. จงหาค่าของ $$\int_0^1 \frac{\sqrt{x-x^2}}{x+2} \,dx$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#60
|
||||
|
||||
ข้อ 84. ของพี่ nooonuii รู้สึกจะเป็นข้อสอบ Qualify Exam รึเปล่าครับ เหมือนผมเคยเห็นในกระทู้เก่าๆ เฉลยโหดมาก แต่อาจจะมีวิธีทั่วๆไป ยังคิดไม่ออกครับ ขอเติมโจทย์ละกันอิอิ
85. Assume that $f$ is integrable such that $0<f(x)<\infty $ for $x\in [0,1]$. Prove that \[ \int_0^1 f(x) dx \cdot \int_0^1\frac{1}{f(x)}dx \geq 1.\]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Inequality Marathon | nongtum | อสมการ | 155 | 17 กุมภาพันธ์ 2011 00:48 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|