|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#46
|
|||
|
|||
ถูกครับ
การแจกแจง หรือยกกำลัง ทำได้หลากหลายแบบ แล้วแต่จินตนาการของแต่ละคน (ทำบ่อยๆ ก็เป็นประสบการณ์ไป) ทำบ่อยๆ ทำมากๆ ก็อาจข้ามบางขั้นตอน จนกลายเป็นกลับไปสู่สามัญ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#47
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
ขออีกเยอะๆเลยครับเริ่มมันส์แล้ว
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#48
|
|||
|
|||
จัดให้ตามคำขอครับ
4. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $9^{50}$ ด้วย $7$ 5. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $5^{36}$ ด้วย $13$ 6. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $17^{75}$ ด้วย $19$ 7. จงหาเลขโดดสองหลักสุดท้ายของ $9^{9^9}$ 8. จงหาเลขโดดสามหลักสุดท้ายของ $7^{999}$ 9. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $4444 ^{4444}$ ด้วย $9$ 10. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $1^5 + 2^5 + 3^5 + ... + 99^5 +100^5$ ด้วย $4$
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#49
|
||||
|
||||
__________________
Fortune Lady
|
#50
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$9^{50} \equiv 4 \pmod{7} $ ข้อ 5 $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$ $5^{36} \equiv 1 \pmod{13}$ ข้อ 6 $17^{18} \equiv 1 \pmod{19}$ $17^{75} \equiv 11 \pmod{19}$ ข้อ 7 Hint : mod 100 ข้อ 8 Hint : mod 1000 ข้อ 9 ไม่แน่ใจ แปลงมาเป็น $7^{4444} $ $7^8 \equiv 1 \pmod{9}$ $7^{4440} \equiv 1 \pmod{9}$ $7^{4444} \equiv 7 \pmod{9}$ ช้อ 10 ผมถึกเอาคิดแยกเอาเลย
__________________
Fortune Lady
|
#51
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากๆค่ะ อยากรู้มานานแล้วว่า mod คืออะไร
ในที่สุดก็ได้รู้ ต้องขอบคุณมากๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆอีกทีค่ะ
__________________
FigHt! ---FigHt! --- FigHt! |
#52
|
||||
|
||||
เพิ่มเติม
แสดงวิธี หรือ บอกแนว ข้อนี้ให้หน่อยนะครับ $5^{2008} + 2^{2010}$ หารด้วย $7^2$ เหลือเศษเท่าไร ขอบคุณครับ
__________________
แข่งคณิตฯ คิดได้ ง่ายดายเหลือ แข่งทุกเมื่อ ร้อนแรง แจ้งประจักษ์ รับรางวัล หลากหลาย มากมายนัก แต่แข่งรัก ยากแท้ แพ้ใจเธอ 16 กรกฎาคม 2010 22:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ MiNd169 |
#53
|
||||
|
||||
ข้อนี้เอาเรื่องเพราะทำให้ต้องคิดสองต่อ
จาก$9^{9^9}=9^{\overbrace{9.9...9}^{9 ตัว} }$ รอบแรกหาก่อนว่า$n$ที่ทำให้$9^n \equiv 1 \pmod{100} $จะได้ว่า$9^{10} \equiv 1 \pmod{100} $.....ไล่หาไปเรื่อยๆทีละตัวเอาจนถึงตัวที่10 รอบต่อมาเอา$n$ที่ได้ไปหาตัวลงท้ายของ$\overbrace{9.9...9}^{9 ตัว} $ เพื่อหาวนรอบลงท้าย จะได้ว่า$9^2 \equiv 1 \pmod{10} $ จะได้ว่า$9^9 \equiv 9 \pmod{10} $......เศษคือ$9$ เอาเศษที่ได้ไปแทนใน$9^{9^9}$ เพื่อหาสองตัวท้าย....คือ $9^{9^9} \equiv 9^9 \pmod{100}$ $9^9 \equiv 89 \pmod{100} $ ดังนั้นสองตัวท้ายของ$9^{9^9}$ คือ $89$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 17 กรกฎาคม 2010 10:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#54
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
หรืออีกมุมมอง $ \because 9^9 \equiv9 \pmod{10}$ $9^{9^9}= 9^{9+10k} $ $ \because (9^{10})^k \equiv 1 \pmod{100}$ $9^{9^9}\equiv 9^9 \times 9^{10k}\equiv 9^9 \times 1\pmod{100} \equiv 9^9 \pmod{100} \equiv89 \pmod{100}$
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#55
|
||||
|
||||
ข้อ 7
โดย จะหาเลขสองหลักสุดท้ายของ $9^{9^9}$ $9^3 \equiv 29 \pmod{100}$ $9^9 \equiv 29^3 \equiv 89 \pmod{100} $ จะไ้ด้ $9^{9^9} \equiv 89^9 \pmod{100}$ จะหาสองหลักสุดท้าย คิดเฉพาะ$ 9^9$ เท่านั้น $9^9 \equiv 29^3 \equiv 89 \pmod{100} $
__________________
Fortune Lady
17 กรกฎาคม 2010 13:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Siren-Of-Step |
#56
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$2^5 \equiv 0 \pmod{4} $ $3^5 \equiv 3 \pmod{4} $ $4^5 \equiv 0 \pmod{4} $ $1^5+2^5+3^5 +4^5 \equiv 1+0+3+0 \pmod{4} \equiv4 \pmod{4} \equiv0 \pmod{4} $ $5^5 \equiv (4+1)^5\equiv 1 \pmod{4} $ $6^5 \equiv (4+2)^5 \equiv 2^5 \equiv 0 \pmod{4} $ $7^5 \equiv (4+3)^5\equiv 3 \pmod{4} $ $8^5 \equiv (2^5)^3\equiv 0 \pmod{4} $ $5^5+6^5+7^5 +8^5 \equiv 1+0+3+0 \pmod{4} \equiv4 \pmod{4} \equiv0 \pmod{4} $ . . . $97^5 \equiv (96+1)^5\equiv 1 \pmod{4} $ $98^5 \equiv (96+2)^5 \equiv 2^5 \equiv 0 \pmod{4} $ $99^5 \equiv (96+3)^5\equiv 3 \pmod{4} $ $100^5 \equiv (2^5)^{20}\equiv 0 \pmod{4} $ $97^5+98^5+99^5 +100^5 \equiv 1+0+3+0 \pmod{4} \equiv4 \pmod{4} \equiv0 \pmod{4} $ ทุกๆ 4 จำนวน เศษรวมกันเป็น 0 $1^5 + 2^5 + 3^5 + ... + 99^5 +100^5 \equiv 0 \pmod{4}$ เศษที่เกิดจากการหาร $1^5 + 2^5 + 3^5 + ... + 99^5 +100^5$ ด้วย $4$ คือ $0$
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#57
|
||||
|
||||
ข้อนี้โหดมากเลยครับ.....หมดเวลาเป็นชั่วโมงเพื่อไล่หาค่า
$7^4 \equiv 401 \pmod{1000} $ $7^5 \equiv 807 \pmod{1000} $ ใช้วิธี$a \equiv b \pmod{c} \rightarrow a^n \equiv b^n \pmod{c} $ ตัวกำหนดความยากง่ายก็คือ$b$...นี่แหละครับ ยิ่งน้อย เวลาเอาไปคูณกับอะไรหรือยกกำลังก็ง่ายขึ้น.....ผมนั่งไล่ไปจนได้ $7^{22} \equiv 49 \pmod{1000} $....จริงๆไล่ไปจนถึง$7^{30}$....เริ่มไม่ไหวแล้ว ผมเลือกตรงนี้เพราะเห็นว่าค่า$49$น้อยที่สุดแล้ว และเรารู้ว่า$9^n$ลงท้ายด้วย$1$กับ$9$ เท่านั้น ดังนั้นมีโอกาสที่จะหา$7^n \equiv 1 \pmod{1000} $ได้ $7^{44} \equiv 401 \pmod{1000}$ $7^{88} \equiv 801 \pmod{1000}$ $7^{176} \equiv 601 \pmod{1000}$ $7^{352} \equiv 201 \pmod{1000}$ $7^{704} \equiv 401 \pmod{1000}$ $7^{704+176} \equiv 601\times 401 \pmod{1000} \rightarrow 7^{880} \equiv 1 \pmod{1000} $......ตรงนี้บังเอิญได้พอดี จริงๆกะว่าจะเอาตัวมาคูณไปเรื่อยๆจนถึง$7^{999}$ จะได้ว่า$999=880+119$ $7^{999} \equiv 7^{119} \pmod{1000} $ $7^{88+22} \equiv 49\times 801 \pmod{1000} \rightarrow 7^{110} \equiv 249 \pmod{1000} $ $7^{4+5} \equiv 401\times 807 \pmod{1000} \rightarrow 7^9\equiv 607 \pmod{1000}$ $7^{110+9} \equiv 249\times 607 \pmod{1000}\rightarrow 7^{119} \equiv 143 \pmod{1000} $ คำตอบมาแล้ว สามตัวหลักสุดท้ายของ$7^{999}$ คือ$143$ โจทย์ข้อนี้กินแรงมากเลยครับ....ถ้าจะผิดก็ด้วยเบลอในตัวเลข โหดได้ใจเลยครับ ไม่รู้ว่ามีทริคคิดให้สั้นกว่านี้ได้ไหม....หมดแรงเลยวันนี้
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#58
|
|||
|
|||
วันสองวันก่อนเป็นวันหวยออก ก็เลยมานั่นขีดๆเขียนๆหาสูตรเลขท้ายสองตัวสามตัว
แล้วก็ได้สูตรเด็ดมาสองสูตร เลขท้ายสองตัว $(1+10k)^n \equiv 1+10kn \pmod {100}$ เลขท้ายสามตัว $(1+100k)^n \equiv 1+100kn \pmod {1000} $ ที่มาที่ไป ไม่ใช่การพิสูจน์ เพียงแต่จะเล่าว่า ขีดเขียนอย่างไร ถึงออกมาเป็นแบบนี้ จากการสังเกต เพราะว่า $(1+10)^1 = 11 $ นั่นคือ $(1+10)^1 \equiv 1+ 10 \times 1 \equiv 11 \pmod {100}$ เพราะว่า $(1+10)^2 = 121 $ นั่นคือ $(1+10)^2 \equiv 1+ 10 \times 2 \equiv 21 \pmod {100}$ เพราะว่า $(1+10)^3 = 1331 $ นั่นคือ $(1+10)^3 \equiv 1+ 10 \times 3 \equiv 31 \pmod {100}$ เพราะว่า $(1+10)^4 = 14641 $ นั่นคือ $(1+10)^4 \equiv 1+ 10 \times 4 \equiv 41 \pmod {100}$ เพราะว่า $(1+10)^5 = 161051 $ นั่นคือ $(1+10)^5 \equiv 1+ 10 \times 5 \equiv 51 \pmod {100}$ . . . เราจึงอนุมานว่า $(1+10)^n = 11^n $ นั่นคือ $(1+10)^n \equiv 1+ 10 \times n \equiv 1+10n \pmod {100}$ แทนที่จะเป็น 10 ถ้าใส่ $k$ เข้าไปเป็น $10k$ โดย $k$ และ $n$ เป็นจำนวนนับไปก่อน ก็จะได้สูตร เลขท้ายสองตัวเท่ากับ $(1+10k)^n \equiv 1+10kn \pmod {100}$ ทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นเลขท้ายสามตัว จากการสังเกต เพราะว่า $(1+100)^1 = 101 $ นั่นคือ $(1+100)^1 \equiv 1+ 100 \times 1 \equiv101 \pmod {1000}$ เพราะว่า $(1+100)^2 = 10201 $ นั่นคือ $(1+100)^2 \equiv 1+ 100\times 2 \equiv 201 \pmod {1000}$ เพราะว่า $(1+100)^3 = 1030301 $ นั่นคือ $(1+100)^3 \equiv 1+ 100 \times 3 \equiv 301 \pmod {1000}$ เพราะว่า $(1+100)^4 = 104060401 $ นั่นคือ $(1+100)^4 \equiv 1+ 100 \times 4 \equiv 401 \pmod {1000}$ เพราะว่า $(1+100)^5 = 10510100501 $ นั่นคือ $(1+100)^5 \equiv 1+ 100 \times 5 \equiv 501 \pmod {1000}$ . . . เราจึงอนุมานว่า $(1+100)^n = 101^n $ นั่นคือ $(1+100)^n \equiv 1+ 100 \times n \equiv 1+100n \pmod {1000}$ แทนที่จะเป็น 100 ถ้าใส่ $k$ เข้าไปเป็น $100k$ โดย $k$ และ $n$ เป็นจำนวนนับไปก่อน ก็จะได้ สูตร เลขท้ายสามตัวเท่ากับ $(1+100k)^n \equiv 1+100kn \pmod {1000}$ มาลองทดสอบกันดู $9^{10} = 3486784401$ ใช้สูตร สองหลักสุดท้ายของ $9^{10}$ คือ $(9^2)^{5} \equiv (81)^5 \equiv (1+80)^5 \equiv 1+80\times5 \equiv 01\pmod {100}$ $9^{75} = 9(9)^{74} =9(81)^{37} \equiv 9(1+80)^{37} \equiv 9(1+80\times37) \equiv 9(2961) \equiv 26640 \equiv 40 \pmod {100}$ ตัวอย่าง 7. จงหาเลขโดดสองหลักสุดท้ายของ $9^{9^9}$ เพราะว่า $9^9 = 387420489$ $9^{9^9} = 9^{387420489} = 9 \times 9^{387420488} $ $\equiv 9(9^{387420488}) \equiv 9(81)^ {193710244} $ $\equiv 9(1+80)^{193710244} \equiv 9(1+80\times193710244) $ $\equiv 139471375689 \equiv 89 \pmod {100}$ 8. จงหาเลขโดดสามหลักสุดท้ายของ $7^{999}$ $7^{999} = 7^{3} (7^{996}) = 7^{3} (7^4)^{249} = 7^{3} (2401)^{249}= 7^{3} (1+2400)^{249}$ $\equiv 7^3(1+2400\times249) \pmod {1000}$ $\equiv 7^3(601) \pmod {1000}$ $\equiv 206143 \pmod {1000}$ $\equiv 143 \pmod {1000}$ มันเป็นแค่การสังเกตของผม คงไม่ใข่ทฤษฎีบทอะไร ใช้ได้กับบางจำนวนที่ยกกำลังแล้วทำให้เลขลงท้ายด้วย $1$ หรือ $01$ ได้ จะช่วยย่นเวลาในการหาเลขลงท้าย สองตัว หรือเลขลงท้ายสามตัว ทำแบบฝึกหัดมากๆ แล้วความรู้จะแตกฉานเอง
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#59
|
||||
|
||||
ที่คุณอาBankerเขียนให้ดูนั้นน่าจะพอขยายความได้จาก
$(1+10k)^n \equiv 1+10kn \pmod {100}$ $(1+10k)^n =\binom{n}{0} .1^n.(10k)^0+\binom{n}{1} .1^{n-1}.(10k)^1+\binom{n}{2} .1^{n-2}.(10k)^2+\binom{n}{3} .1^{n-3}.(10k)^3+...+\binom{n}{n-1} .1^{1}.(10k)^{n-1}+\binom{n}{n} .1^0.(10k)^n$ $(1+10k)^n =1+n(10k)+\binom{n}{2} .1.(100)k^2+\binom{n}{3} (1000)k^3+...+\binom{n}{n-1} .(10)^{n-1}k^{n-1}+(10)^nk^n$ ถ้าลองเขียนในรูปการหารด้วย100 จะได้ว่า$(1+10k)^n \equiv 1+10nk \pmod{100} $ $(1+100k)^n =\binom{n}{0} .1^n.(100k)^0+\binom{n}{1} .1^{n-1}.(100k)^1+\binom{n}{2} .1^{n-2}.(100k)^2+\binom{n}{3} .1^{n-3}.(100k)^3+...+\binom{n}{n-1} .1^{1}.(100k)^{n-1}+\binom{n}{n} .1^0.(100k)^n$ $(1+100k)^n =1+n(100k)+\binom{n}{2} .1.(10000)k^2+\binom{n}{3} (10^6)k^3+...+\binom{n}{n-1} .(100)^{n-1}k^{n-1}+(100)^nk^n$ ถ้าลองเขียนในรูปการหารด้วย1000 จะได้ว่า$(1+100k)^n \equiv 1+100nk \pmod{1000} $ ดังนั้นสิ่งที่คุณอาbankerบอกว่าสังเกตแล้วจริงๆดูแบบนี้ก็ได้เหมือนกันครับ.....ข้อสังเกตของคุณอาสุดยอดเลยครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 18 กรกฎาคม 2010 19:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#60
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณลุงมาdนะครับ
ที่ทำให้ผมใช้ mod เป็นแล้ว ^^
__________________
|
|
|