#541
|
|||
|
|||
ขอเล่นด้วยก็แล้วกันนะครับ ^^"" (ข้อ 2)
A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน ดังนั้น det(A) = 0 จึงได้ว่า $(2548)(-543) - xy = 0$ $xy = (2548)(-543)$ พิจารณา $A^2$ = \(\bmatrix{2548 & x\\ y& -543}\)\(\bmatrix{2548 & x\\ y& -543}\) = \(\bmatrix{2548^2 + xy & 2548x - 543x\\ 2548y - 543y & 543^2 + xy}\) = \(\bmatrix{2548^2 + (2548)(−543) & 2548x - 543x\\ 2548y - 543y & 543^2 + (2548)(−543)}\) = \(\bmatrix{2548(2548 - 543) & x(2548 - 543)\\ y(2548 - 543) & -543(2548 - 543)}\) ดังนั้น $A^2 = (2005)A$ $A^5 = (2005)AxAxAxA = (2005)x(2005)xAxAxA = (2005^2)x(2005)xAxA = (2005^3)x(2005)xA = (2005^4)xA $ จึงได้ว่า $k = 2005^4$ Ans |
#542
|
||||
|
||||
วันนี้มาเซิร์ฟๆซักข้อนึงก่อน เอาข้อ 3 ที่ดูน่ามึนงงสุด แต่ไม่ถึงกับยากสุดละกัน
อ้างอิง:
จาก $(k-\frac{1}{k})^2 \ge 0$ จัดรูปได้ $k^2+\frac{1}{k^2} \ge 2$ ทุกจำนวนจริง $k\not= 0$ จึงได้ว่า $1-2x-x^2 \ge 2$ จัดรูปเป็น $0 \ge (x+1)^2$ แต่ x เป็นจำนวนจริงจึงมีเพียง $x=-1$ ที่สอดคล้องอสมการดังกล่าว และได้ว่า $k^2+\frac{1}{k^2}=2$ ซึ่งโดยอสมการแรกบอกว่าเป็นสมการเมื่อ $k=\frac{1}{k}$ ทำให้ $tan^2(x+y)=1$ $tan(y-1)=\pm 1$ ต่อจากนี้ก็ง่ายแล้วครับ โจทย์เจ๋งดี (ถ้าใครเรียน สอวน ค่าย 1 จะเข้าใจวิธีทำนี้ดีโดย AM-GM) ส่วนข้อที่ผมคิดว่ายากน่าจะเป็นข้อ 7 ที่ผมคิดมาเองแหละ
__________________
keep your way.
|
#543
|
|||
|
|||
คงจะดีไม่น้อยถ้ามีใครรวมโจทย์ทั้งกระทู้นี้ไ้ด้ . O_O
|
#544
|
||||
|
||||
วันนี้ขอเฉลยข้อที่แอบซ่อน lemma อะไรบางอย่างไว้ (lemma นี้เคยออกข้อสอบ สอวน ค่ายสอง กทม ปีใดปีหนึ่งนี่แหละ)
อ้างอิง:
พิสูจน์โดยใช้คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนคือ $|z|^2=z \cdot \bar{z}$ โดยยกกำลังสองแต่ละข้างจะได้ $LHS^2=(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)( \bar{z_1} \bar{z_2} + \bar{z_2} \bar{z_3} + \bar{z_3} \bar{z_1} )=3r^4+r^2\left(\,z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_3} + z_3 \bar{z_1} + \bar{z_1} z_2+ \bar{z_2} z_3 + \bar{z_3} z_1\right)$ $RHS^2=(z_1+z_2+z_3)( \bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} )=r^2\left[\,3r^2+( z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_3} + z_3 \bar{z_1} + \bar{z_1} z_2 + \bar{z_2} z_3 + \bar{z_3} z_1 )\right] $ จึงได้ว่า LHS=RHS ก็จบการพิสูจน์ ฉะนั้น k ที่มากที่สุดซึ่งสอดคล้องอสมการ $|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1| \ge k|z_1+z_2+z_3|$ คือ 1
__________________
keep your way.
02 สิงหาคม 2011 18:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#545
|
||||
|
||||
ข้อที่ 7 ผมถึกเลยครับ
จาก $\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\sqrt{x^2+1}-1$ จะได้ว่า $x+\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{x^2+1}$ ยกกำลังสอง $x^4-x^2-1=2x\sqrt{x^2+1}$ ยกกำลังสอง $x^8-2x^6-5x^4-2x^2+1=0$ หารด้วย $x^4$ ทั้งสองข้างได้ว่า $x^4-2x^2-5-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2-2(x^2+\dfrac{1}{x^2})-7=0$ โดยสูตรสมการกำลังสองจะได้ว่า $x^2+\dfrac{1}{x^2}=1\pm 2\sqrt{2}$ กรณีที่ 1 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=1+2\sqrt{2}$ จะได้ว่า $x^2=\dfrac{1+2\sqrt{2}\pm \sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}$ นั่นคือ $x=\dfrac{\sqrt{2+4\sqrt{2}\pm 2\sqrt{5+4\sqrt{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{2}\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$ กรณีที่ 2 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=1-2\sqrt{2}$ จะได้ว่า $x^2=\dfrac{1-2\sqrt{2}\pm \sqrt{5-4\sqrt{2}}}{2}$ เนื่องจาก $5-4\sqrt{2}\approx 5-4(1.4)=5-5.6=-0.6<0$ ดังนั้น ไม่มี $x$ ที่เป็นจำนวนจริงในกรณีนี้ เพราะฉะนั้นคำตอบของสมการคือ $x=\dfrac{1+\sqrt{2}\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
02 สิงหาคม 2011 23:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Ne[S]zA |
#546
|
||||
|
||||
ผมรอคนมาทำนานแล้ว เลยอยากเฉลยให้จบๆไป เห็นคุณ Ne[S]zA เฉลยแล้วรู้สึกน่ากลัวแฮะ
แต่จริงๆมีเพียงคำตอบเดียวนะครับ ไอตรงบวกลบเหลือแค่บวกเพียงตัวเดียว (เดี๋ยวจะแสดงต่อจากนี้ว่า $x>1$) อ้างอิง:
สมการแรกเริ่มเปลี่ยนเป็น $\frac{1}{sin\theta}=\frac{1}{cos\theta}-1$ (อย่าลืมว่า $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ทำให้ $sec\theta >0$ จึงไม่ต้องห่วงเครื่องหมายหลังถอดรูท) $$\frac{1}{cos\theta}-\frac{1}{sin\theta}=1$$ $$\frac{1}{cos^2\theta}+\frac{1}{sin^2\theta}-\frac{2}{sin \theta cos \theta}=1$$ $$\frac{4}{4sin^2 \theta cos^2 \theta}-\frac{4}{2sin \theta cos \theta}=1$$ $$\frac{4}{sin^22\theta}-\frac{4}{sin2\theta}+1=2$$ $$\left(\,\frac{2}{sin2\theta}-1\right)^2=2$$ $$sin2\theta=\frac{2}{1 \pm \sqrt{2}}$$ แต่ $0<2\theta<\pi$ ทำให้ $sin2\theta>0$, $$sin2\theta=\frac{2}{1+\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-2$$ $$\therefore cos2\theta=\pm \sqrt{8\sqrt{2}-11}$$ $$tan\theta=\sqrt{\frac{1-cos2\theta}{1+cos2\theta}}=\frac{1-cos2\theta}{sin2\theta}=\frac{1 \pm \sqrt{8\sqrt{2}-11}}{2\sqrt{2}-2}$$ จากสมการเดิมจัดรูปเป็น $\frac{1}{x}=1-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}<1$ ทำให้ $x>1$ $$\therefore x=\frac{1+\sqrt{8\sqrt{2}-11}}{2\sqrt{2}-2}$$ (มีเพียงคำตอบเดียวในระบบจำนวนจริง)
__________________
keep your way.
|
#547
|
||||
|
||||
ว่าแล้วระดับคุณ PP_nine ต้องเซ็ทให้ $x=\tan \theta$ แน่ๆ (เพราะ y=tan(x) เป็นฟังก์ชัน 1-1 ทั่วถึงบนช่วง (0,\pi ) ถึง set ลงไปแบบนั้นได้)
แต่งได้ยอดเยี่ยมจริงๆ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#548
|
||||
|
||||
ถ้าจัดรูปแบบผมมีอีกวิธีที่ง่ายกว่าที่ผมทำคือ
$$\sqrt{x^2+1}-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1$$ แล้วยกกำลังสองจะได้สมการกำลังสี่ ปล.ถ้าทำแบบที่ผมทำแล้วจะรู้ได้ไงครับว่า $x>1$
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
|
#549
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\sqrt{x^2+1}-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1$ $[\sqrt{x^2+1}][1-\dfrac{1}{x}]=1$ เพราะว่า $\sqrt{x^2+1} > 0$ ดังนั้น $1-\dfrac{1}{x} > 0$ $x > 1$
__________________
แข่งคณิตฯ คิดได้ ง่ายดายเหลือ แข่งทุกเมื่อ ร้อนแรง แจ้งประจักษ์ รับรางวัล หลากหลาย มากมายนัก แต่แข่งรัก ยากแท้ แพ้ใจเธอ |
#550
|
||||
|
||||
จริงๆการยกกำลังสองกำลังสี่อาจทำให้คำตอบเพิ่มขึ้น จึงควรเช็คในโจทย์ แต่ถ้าเช็คยากก็ต้องลองจำกัดของเขตบางส่วนของ x ให้ได้ครับ
ส่วนที่ผมแสดงไว้ก็มีแค่ 2 จุดก็คือ แสดงให้ได้ก่อนว่า x>0 แล้วค่อยจัดรูปให้ได้ x>1 สำหรับคุณ MiNd169 ต้องแสดงก่อนว่า x>0 จึงจะกลับเศษส่วนบรรทัดสุดท้ายได้นะครับ
__________________
keep your way.
|
#551
|
||||
|
||||
สมมติว่า $x<0$ จากการที่ $\sqrt{1+x^2}>0$ ทุกจำนวนจริง $x$ จะได้ว่า $\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}<0$ ด้วย ทำให้ได้ว่า $\sqrt{1+x^2}-1=\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}<0$ นั่นคือ $\sqrt{1+x^2}-1<0 $ ซึ่งสมมูลกับ $x^2<0$ ขัดแย้ง
ดังนั้นที่สมมติว่า $x<0$ ไม่จริง เพราะฉะนั้น $x>0$ เท่านั้น
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#552
|
||||
|
||||
วันนี้แวะมาทำข้อสุดท้ายละกัน ไม่รู้ว่ามีวิธีง่ายกว่านี้เปล่านะ
อ้างอิง:
$$\therefore sin^2(\alpha+\beta)+\pi sin(\alpha+\beta)cos(\alpha+\beta)+\sqrt{2}cos^2(\alpha+\beta)=cos^2(\alpha+\beta)\left[\,tan^2(\alpha+\beta)+\pi tan(\alpha+\beta)+\sqrt{2}\right] $$ $$=\frac{tan^2(\alpha+\beta)+\pi tan(\alpha+\beta)+\sqrt{2}}{1+tan^2(\alpha+\beta)}=\frac{\pi^2(4+3\sqrt{2})+\sqrt{2}}{\pi^2(3+2\sqrt{2})+1}$$ มองดีๆจะรู้ว่าตัวบนเป็น $\sqrt{2}$ เท่าของตัวล่างพอดิบพอดี ดังนั้นคำตอบคือ $\sqrt{2}$ ปล.ผมข้ามขั้นตอน $1+tan^2\theta=sec^2\theta$ จากบรรทัดสองมาบรรทัดสามนะครับ
__________________
keep your way.
|
#553
|
||||
|
||||
ลองทำข้อนี้ดูๆ อย่าเพิ่งรีบคิดรีบตอบนะครับข้อนี้ (มีในชีทที่แจกในบอร์ด new year gift ด้วยนะๆ)
หารากจริงสมการ $$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\sqrt{x^2-1}+1$$
__________________
keep your way.
|
#554
|
||||
|
||||
#553 เห็นแวบแรกนี่คิดว่าใช้ตรีโกณมิตินะครับ
|
#555
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ถ้า $x\geq 1$ เห็นได้ชัดว่า $LHS<RHS$ ถ้า $x\leq -1$ เห็นได้ชัดว่า $RHS < 0\leq LHS$ ไม่มีคำตอบ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
แฟนพันธุ์แท้ คณิตศาสตร์ Marathon | nooonuii | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 318 | 01 ตุลาคม 2021 21:29 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Marathon - มัธยมต้น | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 254 | 08 สิงหาคม 2010 20:47 |
Marathon ##วิทย์คำนวณ## | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย | 24 | 13 พฤษภาคม 2010 21:19 |
Marathon race... | Fearlless[prince] | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 3 | 14 กุมภาพันธ์ 2008 15:53 |
|
|