|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
||||
|
||||
แก้ข้อ 2.21 ตามคำทักท้วงของคุณ Passer-by แล้วครับ ตอนนี้มาเพิ่มคำตอบ
1.6 ตอบข้อ 3 จากโจทย์จะได้ \(f(x)=(x+1)^2, g^{-1}(x)=(x-1)^3-1\) ดังนั้น \(f(g^{-1}(x))=(g^{-1}(x)+1)^2=(\frac{2}{5})^6=(x-1)^6\) นั่นคือ \(x=\frac{7}{5},\ \frac{3}{5}\) \(R_r=\{y|y\ge3x^2+1 \bigvee 0<y-3x^2<1\}=(0,\infty)\) 2.3 \(f(x)=27\cdot3^{2x}-3m\cdot3^x+n,\ f(-1)=3-m+n=0\Rightarrow\ m-n=3\) \(f(\frac{2}{3})=12-2m+n=5\Rightarrow\ 2m-n=7\Rightarrow m=4, n=1\) \(27\cdot3^{2x}-12\cdot3^x+1=(3\cdot3^x-1)(9\cdot3^x-1)=0\Rightarrow\ x=-1,-2\) ดังนั้นคำตอบคือ 9
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#32
|
|||
|
|||
สำหรับข้อ 6 (ตอนที่ 1)
0 < y-3x2<1 มาได้ยังไงครับ รบกวนคุณ nongtum ช่วยอธิบายด้วย ก่อนจะเฉลยกันต่อ ต้องขอบคุณ คุณ warut (ครั้งที่ 1000 )ที่มาช่วย simplify ข้อ 19 ตอนที่ 2 จาก สามเหลี่ยม AF1F2 apply law of cosine จะได้ (4ึ3)2 +(AF2)2-2(4ึ3)(AF2)cos(p/3)= 62 จะได้ AF2=2ึ3 และจากคุณสมบัติของวงรี AF1+ AF2=ความยาวแกนเอก= 2a =6ึ3 ดังนั้น ครึ่งแกนโท \( \large b=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-3^{2}}=3\sqrt{2} \) จากข้อมูลเกี่ยวกับโฟกัส ก็จะได้ center อยู่ที่ (1,1) และได้สมการวงรี ดังที่เฉลยไว้ในหน้าก่อน 13. (ตอนที่ 2) จากข้อมูลที่โจทย์ให้ จะคำนวณ ได้ a=p/8 และ BE=1/ึ2 พิจารณาสามเหลี่ยม AEF จะได้ \(\large EF= AF\times tan(\frac{\pi}{16}) \)......(1) ลากเส้นตั้งฉากจาก B มายัง AF ที่ H จะได้ BH=EF ,HF=BEและ \(\large AH= \frac{EF}{tan(\frac{\pi}{8})} \) จาก (1) จะได้ \(\large EF=(AH+HF)tan(\frac{\pi}{16}) =(\frac{EF}{tan(\frac{\pi}{8})}+\frac{1}{\sqrt{2}})tan(\frac{\pi}{16})\) แล้วก็เปลี่ยน tan (p/8) ในเทอมของ tan(p/16) แล้วจัดรูปให้ EF จะได้คำตอบเหมือนที่เขียนไว้หน้าก่อน หรือ จะ simplify ต่อเป็นเหมือนที่คุณ warut บอกก็ได้ครับ 1 (ตอนที่ 2) ให้ p= 2k-1 ดังนั้น A=2k-1ทp โดยตัวประกอบที่เป็นบวกทั้งหมดของ A คือ 1, d1,d2,...dn=A (1) Sum of all factors \(\large \begin{array}{lc} =1+ \sum_{i=1}^{n}d_{i}\\ =1+2+2^{2}+...+2^{k-1}+p+p\cdot2+p\cdot2^{2}+...+p\cdot2^{k-1}\\=(p+1)(1+2+2^{2}+...+2^{k-1})\\=(p+1)(2^{k}-1)\\=2^{k}(2^{k}-1)\end{array} \) ต่อไป พิจารณา (2) sum of reciprocal of factors \(\large \begin{array}{lc}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d_{i}}+\frac{1}{1} \\\quad=\frac{\sum_{i=1}^{n}d_{i}+1}{A}\\\quad=\frac{2^{k}(2^{k}-1)}{2^{k-1}(2^{k}-1)}\\\quad =2\end{array} \) จาก (1),(2) จะได้ sum ที่โจทย์ต้องการคือ (2k(2k-1)+2)-1=22k-2k+1 หมายเหตุ : ตอนนี้อยากได้ solution สวยๆ ของข้อ 5 ตอนที่ 2 ครับ เซียนท่านใด ทำได้แบบ complete บอกกันด้วยเน้อ น้องคนไหนผ่านรอบแรกได้ ก็ต้องไปเตรียมฟิต การพิสูจน์ การอธิบาย และต่างๆอีกมากมาย ผมมีลางสังหรณ์ ว่ารอบ 2 น่าจะโหดกว่านี้หลายเท่า
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#33
|
|||
|
|||
ข้อ 5 ตอนที่ 2 ผมคิดว่าคำตอบคือ \(b\in(\sqrt2,\infty)\) นะครับ
กำหนดค่าความยาว b, c มาให้ และให้ c เป็นด้านฐานของสามเหลี่ยม จะเห็นว่ามุมที่ด้าน b ทำกับด้าน c แล้วได้รูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุดก็คือมุมฉาก (เพราะจะทำให้มีส่วนสูงมากที่สุด) และจะได้พื้นที่คือ bc/2 ถ้าเราบังคับให้ bc/2 = 1 และ b > c เราจะได้ว่า b > ึ2 (เพราะถ้า b ฃ ึ2 แล้วจะทำให้ c < ึ2 และ bc/2 < 1) สำหรับทุกจำนวนจริง b > ึ2 เราสามารถสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว b และ c = 2/b ซึ่งจะทำให้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว a > b > c และมีพื้นที่เท่ากับ 1 ตารางหน่วย ตามต้องการครับผม |
#34
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ว่าแล้วก็ลุยกันต่อกับข้อที่ไม่ยากแต่กินแรงมากๆอีกสองข้อ 2.16 ข้อนี้จะแสดงสองวิธีครับ วิธีแรก ใช้ scalar product ให้ \(\bar{BD}=(x,y)\) จะได้ \(\bar{OA}\cdot\bar{BD}=8x+2y=0\Rightarrow{}y=-4x\) ให้ \(|\bar{CA}|=|a\bar{OA}|,\ |\bar{CD}|=|b\bar{BD}|, 0<|a|,|b|<1\) จะได้ \(\frac{1}{2}|a\cdot2\sqrt{17}|\cdot|b\frac{17\sqrt{17}}{8}|=\frac{17}{8} \Rightarrow|ab|=\frac{1}{17}\) และ \((\frac{17}{8}+(1-b)x,\frac{17}{2}+(1-b)y)=(1-a)(8,2)\) เทียบคู่อันดับและใช้ y=-4x จะได้ \(a=\frac{1}{2},\ b=\frac{2}{17}\) ดังนั้น \(\frac{15}{17}(x,y)=(4-\frac{17}{8},1-\frac{17}{2}) \Rightarrow(x,y)=(\frac{17}{8},-\frac{17}{2})\) วิธีที่ 2 ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ เส้นตรงที่ผ่าน OB, OC และ DC คือ \(y=4x, y=\frac{1}{4}x\ และ\ y=-4x+17\) ตามลำดับ ดังนั้น C(4,1) พื้นที่สามเหลี่ยม=\(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{17}\cdot|\bar{CD}|=\frac{17}{8} \Rightarrow |\bar{CD}|=\frac{\sqrt{17}}{4},\ \frac{CD}{BD} =\frac{\sqrt{17}/4}{\sqrt{17}/4+\sqrt{(15/8)^2+(15/2)^2}} =\frac{2}{17}\) \(\frac{15}{17}(x,y)=(\frac{15}{8},-\frac{15}{2}) \Rightarrow(x,y)=(\frac{17}{8},-\frac{17}{2})\) 2.18 เส้นตรง ax+12y+15=0 สัมผัสวงกลม (x-7)2+(y+2)2=4 จะได้ว่า \(2=\frac{|7a-24+15|}{\sqrt{a^2+144}}\) หรือ a=5 ตามเงื่อนไขโจทย์ แต่เนื่องจาก \((12348-p^2)^5\equiv2^2\cdot3^2\cdot7^3\pmod{p}\) จะได้ p=2,3,7 และ \(C_1C_2C_3={10\choose2}2^2(-\frac{1}{2})^8 \cdot{10\choose3}2^3(-\frac{1}{2})^7 \cdot{10\choose7}2^7(-\frac{1}{2})^3=10125\) ตอนนี้เหลือแต่ข้อที่ต้องใช้กำลังภายในละมังครับ Edit1: ลงเลขข้อผิด -_-'
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 04 กรกฎาคม 2005 05:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#35
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#36
|
|||
|
|||
Thanks คุณ nongtum ครับ มิน่า ตอนแรกผมถึงไม่ได้ข้อ 3 เพราะลืม case sec xฃ-1 นั่นเอง กลับไปแก้และให้ credit ไว้เรียบร้อยแล้วครับ
ส่วนคำอธิบายข้อ 5 ของคุณ warut ก็ cool มากครับ (ตอนแรกที่ตอบไป พิจารณาแต่ case สามเหลี่ยมมุมฉาก เลยรู้ว่า b>ึ2 แน่นอน แต่ไม่รู้ว่า bฃึ2 จะสรุปอย่างไร) เอาล่ะ ตอนนี้ก็มาลุยเฉลยกันต่อ 10. (ตอนที่1) ก. ผิด เช่น \( \large A_{i}=[\frac{-1}{n},\frac{1}{n}] \) จะได้ \(\large sup(\bigcap_{i=1}^{\infty})= 0 \) แต่ sup{sup(Ai)| iฮN}= 1 ข. ผิด เช่น a=b=1 c=d=ึ2 22. (ตอนที่2) หาค่า k จากสมการ det(A)det(A-2I)=96 จะได้ k= 23/5 จากนั้นแยกตัวประกอบสมการที่โจทย์ถามต่อ จะได้ L.H.S.=23(x2+1)(x+2)(x2-2x+2) และได้รากจริงคือ -2 23. (ตอนที่ 2) เพราะ\(\large \sum_{i=1}^{n+1}f(i) -\sum_{i=1}^{n}f(i)=f(n+1) =(n+1)^{2}f(n+1)-n^{2}f(n) \) จัดรูปใหม่ จะได้ \( \large \frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac{n}{n+2} \) ดังนั้น \( \large \prod_{i=1}^{2004}\frac{f(n+1)}{f(n)}=\prod_{i=1}^{2004}\frac{n}{n+2} \) หรือ \( \large \frac{f(2005)}{f(1)}=\frac{1\cdot 2}{2005\cdot 2006}\) ดังนั้น f(2005)= 1/(1003ท2005) สำหรับข้อ 9 (ตอนที่ 1) ทำไมคิดไปคิดมาแล้วได้ข้อ 2 เฉยเลย ขอคนกลางมายืนยันคำตอบที่ถูกต้องด้วยครับ (สรุปว่า ตอนนี้เหลือข้อที่ยังไม่ได้เฉลยคือ ข้อ 9 (ตอนที่ 1) , ข้อ 6,14 ตอนที่ 2 แล้วก็จบบริบูรณ์ สำหรับรอบแรก)
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 04 กรกฎาคม 2005 22:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#37
|
||||
|
||||
1.9 ตอบข้อ 2
ใช้เอกลักษณ์ \(\sin^2A=1-\cos^2A,\ \cos(A+B)=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\) แล้วรวมเทอมจะได้ \(-\frac{1}{2}\sin{2x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{2x} =\sin(2x+\frac{2\pi}{3})>-\frac{1}{2} =\sin(-\frac{\pi}{6}),\ \sin(\frac{7\pi}{6}),\ldots\) ดังนั้น \(-\frac{\pi}{6}<2x+\frac{2\pi}{3}<\frac{7\pi}{6}\) หรือ \(x\in(-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{4})\) ส่วนคำตอบตัวอื่นได้จากการบวกคาบ=pเข้าไปครับ 2.14 ให้ AC=BC=x, วงกลมรัศมียาว r ต่อ CO ไปพบ AB ที่ D จะได้ว่า CD แบ่งครึ่งมุม ACB และ AOB และ OD=d เป็นระยะทางที่ต้องการหา โดยกฎของ Sine จะได้ \(\displaystyle\large { \frac{\sin\frac{5\pi}{8}}{r} =\frac{\sin{\frac{3\pi}{4}}}{x} }, \ d=r\sin{\frac{\pi}{4}} \) นั่นคือ \(d=x\sin\frac{5\pi}{8}=x\cos{\frac{3\pi}{8}}\) และ \(\cos{\frac{3\pi}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{1-\cos{\frac{3\pi}{4}}}\) เหลือแต่ข้อ 2.6 แล้วครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 04 กรกฎาคม 2005 22:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#38
|
|||
|
|||
ข้อ 6 (ตอนที่ 2) เป็นข้อที่ ไม่ยาก แต่ ต้องใช้ความรอบคอบอย่างแรง โดยเฉพาะตอนดำเนินการทางเซต
ถ้า C= 4x+1 หลังจากปลด log และ แยกตัวประกอบจะได้ (C-1)(C-2)(C-4) >0 และทำให้ constraint ใน log ซ้ายมือของอสมการ คือ C3+2C2+14C-8 = (C-1)(C-2)(C-4) +9C2 >0 ไม่มีผล ดังนั้นเซตคำตอบ A คือ (-1,-0.5)ศ(0,ฅ) ต่อไป จาก relation ที่โจทย์บอก คือ \( \large y=\frac{16}{x^{2}-4} \) ดังนั้น Dr= R-{-2,2} และถ้าจัด relation ใหม่เป็น \( \large x^{2}= \frac{16}{y}+4\) จะได้ \(\large \frac{16}{y}+4 \geq 0 \) นั่นคือ Rr=(-ฅ,-4] ศ (0,ฅ) ซึ่งจะได้ B= (-4,0] ศ{2} ดังนั้น B-A= (-4,-1] ศ [-0.5,0] ถ้าไม่มีใครจะมา correct อะไรแล้ว ก็ถือว่า จบบริบูรณ์ซะทีนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#39
|
||||
|
||||
ขออนุญาตรื้อฟื้นความหลังกันหน่อย
ข้อ 15 ตอนที่ 2 ผมคิดว่าโจทย์ผิดครับ. โจทย์บอกว่า พาราโบลา สัมผัสกับ วงกลม และ ให้สมการเส้นสัมผัสวงกลมมา ซึ่งผมคิดว่าเส้นสัมผัสที่ให้มานี้ผิดครับ. เพราะเมื่อพาราโบลาสัมผัสกับวงกลม ส่วนเส้นตรงสัมผัสกับวงกลม , เส้นตรงดังกล่าวก็ย่อมที่จะต้องสัมผัสกับพาราโบลาด้วย กล่าวคือ เส้นตรงนั้นต้องมีความชันสอดคล้องกับ สมการ \(y' = -\frac{2}{y} \) โจทย์ที่ถูกต้องควรจะเป็น 15. วงกลมรัศมี \(\sqrt{10}\) หน่วย สัมผัสภายนอก โค้งพาราโบลา \(y^2 = -ax , a > 0\, \)ที่จุด A(-1, 2) และ สมการเส้นสัมผัสที่จุด A คือ \(x + y - 1 = 0 \) จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม AOF เมื่อ O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม และ F เป็นจุดโฟกัสของพาราโบลา และ คำตอบที่ถูก ควรจะเป็น \( \sqrt{5} \) หน่วย2 เห็นด้วยหรือเปล่าครับ.
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 18 กรกฎาคม 2005 19:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#40
|
|||
|
|||
คุณ gon ช่างสังเกตจัง ใช่ครับ...วงกลมไม่ได้สัมผัสกับพาราโบลา จริงๆแล้วมันตัดกัน ถ้าจะแก้ไขโจทย์แบบง่ายๆก็ทำได้โดยเปลี่ยนโจทย์จาก
"สัมผัสภายนอกโค้งพาราโบลา" เป็น "ตัดกับพาราโบลา " และจาก "สมการเส้นสัมผัสที่จุด A" เป็น "สมการเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A" ก็จะได้คำตอบเป็น 3 ตารางหน่วย เช่นเดิมครับ |
|
|