|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เยี่ยมครับ คาระวะ 10 จอกเลย พี่ Keehlzver คิดได้ไงอ่ะครับงดงามมาก $9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) \geq \left(\,ab+bc+ca\right)^3$ โดย Cauchy-Schwarz $\dfrac{(S_5+S_4+S_2)(S_4+S_2+S_1)}{(ab+bc+ca)^3} \geq \dfrac{(S_5+S_4+S_2)(S_4+S_2+S_1)}{9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{\left(\,3(a^3+b^3+c^3)\right) ^2}{9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$ $ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \geq \dfrac{27(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}{9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \geq 3$ |
#32
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ในทำนองเดียวกัน.....จะได้ $\sum_{cyc}(\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{2}{(a+b)^2+2ab})\geqslant \sum_{cyc}\frac{2(a^4-b^4)}{(a^3-b^3)(a^3+b^3)} $ 13 พฤศจิกายน 2011 18:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ AnDroMeDa |
#33
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ในทำนองเดียวกันจะได้ $\sum_{cyc}\sqrt{2a^4+2a^2b^2+2b^4}\geqslant \sum_{cyc}\sqrt{\frac{ab(a^2+b^2)^2}{(a+b)^2}+\frac{a^5-b^5}{a-b}}$ ข้อนี้ดูเหมือนเละแต่กระจายออกมาสวย คุณ Keehlzver เอาโจทย์มาจากที่ไหนหรอครับ |
#34
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#35
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$$\dfrac{(a^3+b^3)(a+b)}{(a^3-b^3)(a-b)}+\dfrac{(b^3+c^3)(b+c)}{(b^3-c^3)(b-c)}+\dfrac{(c^3+a^3)(c+a)}{(c^3-a^3)(c-a)} \geq \dfrac{ab(a+b)^2}{(a-b)^2(2a^2-ab+2b^2)}+\dfrac{bc(b+c)^2}{(b-c)^2(2b^2-bc+2c^2)}+\dfrac{ca(c+a)^2}{(c-a)^2(2c^2-ca+2a^2)}$$ $$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{(a+b)^2(a^2-ab+b^2)}{(a-b)^2(a^2+ab+b^2)} \geq\sum_{cyc} \dfrac{(a+b)^2}{3(a-b)^2} \geq \sum_{cyc} \dfrac{ab(a+b)^2}{(a-b)^2(2a^2-ab+2b^2)}$$ $\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ $\dfrac{1}{3} \geq \dfrac{ab}{2a^2-ab+2b^2}\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ |
#36
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
กระจาย$\Leftrightarrow 3a^5b-5a^4b^2+4a^3b^3-5a^2b^4+3ab^5=ab(3(a-b)^4+7ab(a-b)^2)\geqslant 0 $ Obvious,it's true. ดังนั้น $\sum_{cyc}\frac{(a^3+b^3)(a+b)}{(a^3-b^3)(a-b)}\geqslant 3+\sum_{cyc}\frac{ab(a+b)^2}{(a-b)^2(2a^2-ab+2b^2)}$ |
#37
|
||||
|
||||
2. โจทย์ผิดป่าวครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#38
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
WLOG $x\ge y\ge z>0$ By Cheby's $$\frac{x^5+x^2}{(y+z)^2}+\frac{y^5+y^2}{(z+x)^2}+\frac{z^5+z^2}{(x+y)^2}=\sum_{cyc} \Big(\frac{x}{y+z}\Big)^2(x^3+1)$$ $$\ge \frac{1}{3}\Big(\Big(\frac{x}{y+z}\Big)^2+\Big(\frac{y}{z+x}\Big)^2+\Big(\frac{z}{x+y}\Big)^2\Big)(x^3+y^3+z^3+3)$$ $$\ge \frac{3}{4}(x^2+y^2+z^2+x+y+z)$$ $\therefore $ จึงต้องการ $$\frac{3}{4}(x^2+y^2+z^2+x+y+z)\ge \frac{3}{2}\Big(\frac{x^3y+y^3z+z^3x}{x+y+z}\Big)$$ $$\leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+x+y+z)\ge 2(x^3y+y^3z+z^3x)$$ but $2(x^3y+y^3z+z^3x)\le \frac{1}{3}(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)$ It's Remain to show that $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+x+y+z)\ge \frac{1}{3}(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)...(*)$ Consider $a^2-a+(-3-2b)\le 0 \because D\ge 0$ Deplace $a=x+y+z,b=xy+yz+zx$ Then $(*)$ is true เเต่ผมไม่ได้ใช้ $xyz=1$ เลยอ่ะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 13 พฤศจิกายน 2011 19:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#39
|
||||
|
||||
ทุกคนมีการพัฒนาไปมากครับ ยินดีด้วยครับ
โจทย์ข้อ 2. ไม่ผิดครับ ง่ายสุดเลยด้วยครับ แต่ไม่ยักมีคนทำ อสมการในรูป $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}) \geq \frac{1}{3}(a_{1}+a_{2}+a_{3})(b_{1}+b_{2}+b_{3})$ จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}$ และ $b_{1}\geq b_{2} \geq b_{3}$ นะครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Chebysh...sum_inequality นั่นหมายความว่า อย่าลืมพิสูจน์ $(\frac{x}{y+z})^2 \geq (\frac{y}{z+x})^2 \geq (\frac{z}{x+y})^2$ นะครับ และก็อีกอย่างคือ มีที่ผิดตรงวิธีทำตรงข้อ 2 อสมการนี้ $\frac{1}{3}\Big(\Big(\frac{x}{y+z}\Big)^2+\Big(\frac{y}{z+x}\Big)^2+\Big(\frac{z}{x+y}\Big)^2\Big)(x^3+y^3+z^3+3) \geq \frac{3}{4}(x^2+y^2+z^2+x+y+z)$ มันไม่จริง $(a,b,c)=(1,1,1)$ ก็ขัดแย้งแล้วครับ (ปล.โจทย์ทุกข้อผมแต่งเองครับ)
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#40
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ขอนอกเรื่องนิดนึงนะครับ น้ำที่บ้านเริ่มลดหรือยังครับคุณ Keehlzver |
#41
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
- -*ข้อนี้ผิดรึป่าวครับ |
#42
|
||||
|
||||
#39 ขอบคุณครับ งั้นตั้งโจทย์ต่อเลยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#43
|
||||
|
||||
ปัดโธ่ ผมพิมพ์ให้ผิดครับ ตรง $(x+y+z+3)^2$ จริงๆต้องเป็น $(x+y+z+3)^3$ ขออภัยด้วยนะครับ
ข้อ 3 ใช้ $xyz=1$ Homogenize เป็น $x^5+x^3yz=x^3(x-y)(x-z)+x^4(y+z)$ ครับ หลังจากนั้นก็กำจัดทางฝั่งขวาของอสมการโดยใช้ $(x^2+y^2+z^2)^2 \geq 3(x^3y+y^3z+z^3x)$ (ปล.น้ำยังไม่ลดครับ แต่ถ้าน้ำลดเมื่อไรจะหาแฟนใหม่ซักคน )
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#44
|
||||
|
||||
$$(9(x+y+z)+9)(3(xy+yz+zx)+3)\leq(9(x+y+z)+9)((x+y+z)^2+3)=(x+y+z+3)^2+8(x+y+z)^3$$
|
#45
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จาก $(a^2+b^2+b^2)\geqslant 3(ab+bc+ca)$ ให้ $a=x^2-xy+yz,b=y^2-yz+xz,c=z^2-zx+xy$ จะได้ตามต้องการ จาก Hint คุณ Keehlzver ได้ $$\sum_{cyc}\frac{x^5+x^2}{(y+z)^2}=\sum_{cyc}\frac{x^5+x^3yz}{(y+z)^2}=\sum_{cyc}\frac{x^3(x-y)(x-z)+x^4(y+z)}{(y+z)^2}=\sum_{cyc}\frac{x^3}{(y+z)^2}(x-y)(x-z)+\sum_{cyc}\frac{x^4}{y+z} $$ โดยอสมการโคชี Engel Form ได้ $$\sum_{cyc}\frac{x^3}{(y+z)^2}(x-y)(x-z)+\sum_{cyc}\frac{x^4}{y+z} \geqslant\sum_{cyc}\frac{x^3}{(y+z)^2}(x-y)(x-z)+\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x+y+z)} \geqslant \frac{3(x^3y+y^3z+z^3x)}{2(x+y+z)} $$ หมายเหตุ$$\sum_{cyc}\frac{x^3}{(y+z)^2}(x-y)(x-z)\geqslant 0 เพราะว่า \frac{x^3}{(y+z)^2}\geqslant \frac{y^3}{(x+z)^2} เป็นจริงถ้าสมมติให้ x\geqslant y\geqslant z$$ |
|
|