#31
|
||||
|
||||
มาเพิ่มโจทย์ให้ครับ อิอิ
จงพิสูจน์ว่ารากจริงทั้งหมดของพหุนาม $P(x)=2x^5-25x^4+110x^3-200x^2+160x-100$ มีค่าอยู่ในช่วง $(1,4)$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#32
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$(x-4)^3(2x^2-x+2)=-28$ ขั้นแรกพิสูจน์ว่า ถ้า $x<0$ จากสมการจากโจทย์จะได้ $P(x)<0$ ถ้า $x\geq 4$ จะฝั่งซ้ายมากกว่าเท่ากับ 0 ซึ่งขัดแย้งกับข้างซ้ายติดลบ ดังนั้น $x <4$ ถ้า $0< x<1$ ดังนั้นจะได้ $2<2x^2-x+2<3 $ และให้ $A= (x-4)^3$ จะได้ $2A<-28<3A$ แก้อมสการออกมาได้ $ 4-\sqrt[3]{\dfrac{28}{3}} < x <4-\sqrt[3]{14}$ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น $1<x$ $x \in (1,4)$ |
#33
|
||||
|
||||
Number
1.ให้ $p_1,p_2,...p_n\geq 5 $ จงแสดงว่า $\displaystyle 2^{p_1p_2p_3...p_n}+1$ มีจำนวนตัวประกอบอย่างน้อย $4^n$ ตัว 2. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงแสดงว่า $(n+1)(n+2)...(n+10)$ ไม่มีทางเป็นกำลังสองสมบูรณ์ Combinatorics 1.There are n distinct points in the plane. Prove that the number of point pairs with the unit distance is smaller than $\dfrac{n}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}n^{\frac{3}{2}}$ |
#34
|
||||
|
||||
Inequality
For $a,b,c>0 , a+b+c=1$ prove that $$ \frac{a^2}{1+(a+b)^2}+\frac{b^2}{1+(b+c)^2}+\frac{c^2}{1+(c+a)^2}\le\frac{2187}{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{ab+bc+ca} $$ Functional Equation Determine all continuous function $ f\colon\mathbb{(0,+\infty)} \to\mathbb{(0,+\infty)} $ satisfying $$ f(x^3)+f(y^3)+f(z^3)=f(xyz)f(\frac{x}{y})f(\frac{y}{z})f(\frac{z}{x}) $$ Geometry Let $l$ be a tangent to the incircle of triangle $ABC$. Let $l_{a},l_{b}$ and $l_{c}$ be the respective images of $l$ under reflection across the exterior bisector of $\hat A,\hat B$and $\hat C$. Prove that the triangle formed by these lines is congruent to $ABC$.
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#35
|
||||
|
||||
#34 ยากจังครับ ทำไม่ได้เลยอ่ะครับ ขอ Hint หน่อยครับ
|
#36
|
|||
|
|||
Solnนี้ credit AOPSครับ
Homogenise this into \[\sum_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2+(a+b+c)^2}\leq \frac{3^7}{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{(a+b+c)^6(ab+bc+ca)}.\] Now we can scrap the previous condition of $a+b+c=1$ and assume that $a+b+c=3.$ Then it suffices to check that \[\sum_{cyc}\frac{a^2}{(a+b)^2+9}\leq \frac 3{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{(ab+bc+ca)}.\] Note that we have the following identity: $\frac{9a^2}{(a+b)^2+9}=a^2-\frac{a^2(a+b)^2}{(a+b)^2+9},$ Which, in accordance with the Cauchy-Schwarz inequality, leads us to \[\sum_{cyc}\frac{9a^2}{(a+b)^2+9}\leq\sum_{cyc}a^2-\frac{\left(\sum a^2+\sum ab\right)^2}{2(\sum a^2+\sum ab)+27}.\] Let $x=\sum_{cyc}a^2$ and $y=\sum_{cyc}ab,$ so that we have $x+2y=9$ and $x\ge y,$ leading to \[\frac{(x+y)^2}{2(x+y)+27}=\frac{x+y}{2+\frac{27}{x+y}}\geq \frac{2(x+y)}{13}.\] So it is sufficient to check that \[x-\frac{2(x+y)}{13}\leq\frac{27}{13}\cdot\frac{a^8+b^8+c^8}{ab+bc+ca};\] Which, on using the inequality $27(a^8+b^8+c^8)\geq (a^2+b^2+c^2)^4,$ reduces to \[\frac{x^4}{y}+2y\geq 11x\] Now note that, \[\begin{aligned}\frac{x^4}{y}+2y\geq \frac{9x^2}{y}+2y&=\frac{7x^2}{y}+\left(\frac{2x^2}{y}+2y\right)\\&\geq 7x+4x=11x;\end{aligned}\] Where the last step follows from $x\geq y$ and the AM-GM inequality. Equality holds in the original inequality iff $a=b=c=\frac13.\Box$ 29 เมษายน 2013 23:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า |
#37
|
||||
|
||||
ข้างซ้ายเป็น 15/8 ครับ คราวนี้ผิดตรงไหนอีกหรอครับ
|
#38
|
|||
|
|||
NT
1.หาจำนวนเฉพาะp,qทั้งหมดที่ $pq|(5^p-2^p)(5^q-2^q)$(credit:beatmania) 2. จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับ $1971\mid 50^n+a\cdot 23^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่(credit:tonklaZolo) Combinatorics 1.พิจารณาการเดินบนด้านของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง โดยแต่ละก้าวสามารถเดินจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดอื่นที่ติดกันเท่านั้น จงหาจำนวนเส้นทางการเดินที่จะกลับมายังจุดตั้งต้นหลังเดินไป$n$ก้าว 2.(TMO9th) นักเรียนชายและหญิง อย่างละ 2n คน แข่งเทควันโดแบบพบกันหมด และมีเกณฑ์ให้คะแนนดังนี้ (ก) ถ้าเพศเดียวกันแข่งกัน ผู้ชนะได้ 3 คะแนน ผู้แพ้ได้ 0 คะแนน และเสมอคนละ 1 คะแนน (ข) ถ้าชายแข่งกับหญิง ในกรณีที่หญิงชนะ จะได้ 3 คะแนน แพ้ 0 คะแนน และเสมอได้ 2 คะแนน ในกรณีชายชนะ ได้ 2 คะแนน แพ้หรือเสมอได้ 0 คะแนน หลังการแข่งขันสิ้นสุด หาคะแนนรวมเด็กแต่ละคน และ P แทนจำนวนคู่แข่งขันที่ผลการแข่งขันเสมอ และ Q แทนจำนวนคู่แข่งขันทั้งหมด ถ้านักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดได้ 4n-1 คะแนน หาค่า $\frac{P}{Q}$ :ดูคะแนนต่ำสุด แต่ผมไม่รู้จะไปต่อยังไงครับ 11 กรกฎาคม 2013 21:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า |
#39
|
||||
|
||||
#39 NT
1.โจทย์เป็นแบบนี้ป่ะครับ $pq|(5^p-2^p)(5^q-2^q)$ ถ้าโจทย์เป็นอย่างที่ว่า คร่าวๆนะครับ 1.ถ้า $p=q$ มีกรณีเดียว คือ $p=q=3$ 2.ถ้า $p>q$ ดู $q|5^p-2^p$ และ $q|5^{q-1}-2^{q-1}$ จะได้ $q|5^{(p,q-1)}-2^{(p,q-1)}$ ซึ่งก็คือ $q|5-2$ ได้ $q=3$ 3.แสดงต่อจาก 2.ได้ไม่ยากว่า $p=13$ 2.แยกตัวประกอบ 1971 ดูครับ
__________________
I'm Back 30 เมษายน 2013 13:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#40
|
|||
|
|||
ใช้$mod27, mod73$หรือเปล่าครับ มันจะได้ว่า $a\equiv -1(mod27)$และ$a\equiv 1(mod73)$
|
#41
|
||||
|
||||
ครับ แล้วก็ใช้ CRT เลย
Combi:2.ทดลองหารูปแบบการแข่งในกรณี $n=1,2,3,...$ ดูครับ แล้วสังเกตอะไรบางอย่าง
__________________
I'm Back |
#42
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ
|
#43
|
||||
|
||||
ผมช่วยเติมให้แนวคิดคล้ายกับข้อด้านบน
1.Find all solution p,q are primes such that $pq \mid 5^p+5^q$ 2.If p is odd prime prove that $p^3 \mid \binom{2p}{p}-2$ |
#44
|
||||
|
||||
ข้อ 2 นัมเบอร์งดงามมากเลยนะครับ
|
#45
|
||||
|
||||
ครับ ใช้หลายเรื่องหน่อยครับ
|
|
|