|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
|||
|
|||
มาแล้วคร้าบ
10. กำหนดให้ $R = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \ | \ x^6 - x^2 + y^2 \leq 0 \}$ จงหาพื้นที่ของ $R$ ที่มา : Harvard - MIT Mathematics Tournament 2004 ให้เครดิตเจ้าของโจทย์หน่อยครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 11 เมษายน 2006 09:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#32
|
||||
|
||||
$$ R = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \ | \ x^6 - x^2 + y^2 \leq 0 \} $$
\( \mathbb{R^2}\) หมายถึง $\mathbb{R \times R}$ รึเปล่าครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 07 เมษายน 2007 15:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#33
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#34
|
|||
|
|||
ข้อ 10 ไม่แน่ใจว่า ตอบ $ \frac{\pi}{2} $ หรือเปล่าครับ
คือผมเปลี่ยน $ y^{2}=x^{2}-x^{6} $ เป็น $ r^{2}= \sec^{2}\theta\sqrt{1-\tan^{2}\theta} $ ใน polar coordinate แล้วคำนวณพื้นที่ส่วนที่อยู่จตุภาคที่ 1 พบว่า $ \text{AREA}= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}\theta\sqrt{1-\tan^{2}\theta}\,d\theta = \frac{\pi}{8} $ จากนั้นก็คูณ 4 (เพราะ สมมาตรใน 4 quadrants)
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#35
|
|||
|
|||
ข้อ 10. พื้นที่ของ $R$ คือ $$4 \int_0^1 \sqrt{x^2-x^6} \,dx$$ ให้ $x^2=\sin \theta \,$ อินทิกรัลจะกลายเป็น $$ 2 \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta \,d\theta= \frac{\pi}{2} $$
|
#36
|
|||
|
|||
Nice Solution มากๆครับ คุณ Warut (ไม่น่าลงทุนใช้ polar coordinate เลยเรา )
รู้สึกว่า กราฟบริเวณ R จะเป็นรูปคล้ายๆ เครื่องหมาย infinity ด้วยนะครับ ถ้าใครสนใจก็ลองไปวาดดู แล้วอย่างนี้ ใครจะเป็นคนตั้งคำถามต่อไปล่ะเนี่ย?
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#37
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$ \displaystyle{4 \int_0^1 \sqrt{x^2-x^6} \,dx}=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin \theta - \sin^3 \theta}\, d\theta =4\int_0^{\pi/2} \cos \theta \sqrt{\sin \theta} \ d\theta $ $$=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin \theta}\; d(\sin \theta)=4\bigg[\frac23 \sin ^{3/2}\theta\bigg]_0^{\pi/2} =\frac83$$ แล้วไปเป็นอย่างคุณวรุฒ ได้อย่างไรครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#38
|
|||
|
|||
น้อง Mastermander ลองหา dx อีกรอบสิครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#39
|
||||
|
||||
อุ่ย จริงด้วยครับ ลืมจุดนั้นไปเลย
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#40
|
|||
|
|||
บริเวณ R ที่ผมได้ เป็นอย่างรูปข้างล่างครับ
แล้วก็ถือโอกาสแถมข้อ 11 เลยแล้วกัน 11. ใช้ แคลคูลัส พิสูจน์ว่า $ \frac{1}{3}< \arcsin(\frac{1}{3})< \frac{1}{\sqrt{7}} $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 12 เมษายน 2006 05:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#41
|
||||
|
||||
ไม่มีคนมาทำ งั้นผมขอลองดูนะครับ
เนื่องจาก $ \arcsin\frac{a}{3} <\arcsin\frac{b}{3} < \arcsin\frac{c}{3} $ เป็นจริง สำหรับจำนวนจริง a < b < c ที่ทำให้ค่า arcsin เป็นบวก ทำการหาอนุพันธ์ ทั้งอสมการ $$ \frac{1}{\sqrt{9-a^2}} < \frac{1}{\sqrt{9-b^2}} < \frac{1}{\sqrt{9-c^2}} $$ ดังนั้นถ้าแทนค่า a = 0 , b = 1 , c = ึ2 ยังคงเป็นจริงอยู่เพราะ a < b < c จะได้ว่า $$ \frac{1}{\sqrt9} < \frac{1}{\sqrt8} < \frac{1}{\sqrt7} $$ เนื่องจาก $ \frac{1}{\sqrt8} $ เป็นอนุพันธ์ของ $ \arcsin(\frac{b}{3}) $ ที่ b = 2 และอสมการยังคงเป็นจริงเพราะว่าเราแทนค่า a < b < c ดังนั้นจึงสรุปว่า $$ \frac13 < \arcsin\frac13 < \frac{1}{\sqrt7} $$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#42
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
(และ ผมว่า b=1 ไม่ใช่ b=2 นะ) เท่าที่อ่านดูวิธีทำตั้งแต่แรก ก็งงๆดีครับ แต่ไม่เป็นไร ถือว่าให้คะแนนความพยายาม ประกอบกับยังอยู่ ม.ปลาย ข้อนี้ จริงๆ ผมกะให้ใช้ Mean value Theorem อย่างเดียว ก็จะได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการทันทีครับ Mean Value Theorem ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a,b] และ differentiable ใน (a,b) แล้วจะมี $ c\in (a,b)$ ซึ่ง $$ f '(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$ พิจารณา f(x)= arcsin(x) บน [0,x] และ 0< x< 1 จากนั้น apply Mean Value theorem จะได้ว่ามี c ใน (0,x) ซึ่ง $$\frac{1}{\sqrt{1-c^{2}}}=\frac{\arcsin(x)}{x} $$ และจาก 0< c < x ทำให้ $ 1 < \frac{1}{\sqrt{1-c^{2}}} < \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $ หรือเขียนใหม่เป็น $ 1 < \frac{\arcsin(x)}{x} < \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $ จากนั้นก็แทน x= 1/3 เข้าไป ประกอบกับ $\frac{1}{\sqrt{8}} < \frac{1}{\sqrt{7}} $ ก็เรียบร้อยครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#43
|
||||
|
||||
ครับ ตรงที่ b=2 พิมพ์ผิดครับ ต้องเป็น b=1
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 04 กันยายน 2006 20:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#44
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ฝากสักข้อละกัน(หวังว่าจะไม่ทำให้กระทู้เดี้ยงไปนะ) 12. จงหาจำนวนผลเฉลย $x\in\mathbb{R}$ ของสมการ $$ 2^{-2^{-x}}+2^{-x}=2x $$ (Hint: Mean value theorem) 14 เมษายน 2006 15:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#45
|
|||
|
|||
ใบ้อีกหน่อยได้มั้ยครับ ไม่ค่อยได้เจอโจทย์แนวนี้ด้วย
อยากรู้จริงเลยๆว่าไปหามาจากไหน
__________________
μαθηματικά |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Inequality Marathon | nongtum | อสมการ | 155 | 17 กุมภาพันธ์ 2011 00:48 |
|
|