#31
|
|||
|
|||
1.ให้ $a,b,c$ เเทนด้านสามเหลี่ยมใดๆ
จงเเสดงว่า $$\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge \sqrt{3}$$ ให้ $a^2+b^2+c^2=3$ จะได้อสมการใหม่เป็น $$\frac{a}{\sqrt{2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2-c^2}} \geq 3$$ โดย Cauchy Schwarzt $$\frac{a}{\sqrt{2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2-c^2}} \geq \frac{9}{a^3\sqrt{2-a^2}+b^3\sqrt{2-b^2}+c^3\sqrt{2-c^2}}$$ กลายเป็นว่าเราต้องพิสูจน์ $$3 \geq a^3\sqrt{2-a^2}+b^3\sqrt{2-b^2}+c^3\sqrt{2-c^2}$$ อสมการนั้นสมมูลกับ $$(a^4+b^4+c^3-3)^2 \geq 0$$ 3.ให้ $a,b,c>0$ เเละ $abc=1$ จงเเสดงว่า $$\frac{a}{b^2(c+a)(a+b)}+\frac{b}{c^2(a+b)(b+c)}+\frac{c}{a^2(c+a)(a+b)}\ge \frac{3}{4} $$ แทน $a= \dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}$ ได้ $$\dfrac{y^2}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{z^2}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{x^2}{(z+x)(z+y)} \geq \dfrac{3}{4}$$ โดยอสมการ Cauchy จะได้ว่า $$\dfrac{y^2}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{z^2}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{x^2}{(z+x)(z+y)} \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)} \geq \dfrac{3}{4}$$ ซึ่งเป็นจริง |
#32
|
||||
|
||||
ลงโจทย์ใหม่ๆเลยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#33
|
||||
|
||||
ทำไมกำหนด $a^2+b^2+c^2=3$
ได้อะครับ |
#34
|
||||
|
||||
#35 อสมการ Homogeneous ครับคือผมเคยลองใช้เเล้วอาจารย์ก็พิสูจน์ให้ดูเหมือนกันครับ 5555
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#35
|
||||
|
||||
มันอยู่ในค่ายไหนหรอครับ ไม่เคยได้ยิน 555+
|
#36
|
||||
|
||||
ผมก็รู้จากในนี้เเหละครับ ไม่รู้ค่ายไหนเหมือนกัน 555
เเต่การที่เราจะให้ได้เราต้องรู้ว่า ถ้า $a,b,c$ เพิ่มเป็น $k$ เท่าเเล้วอสมการยังคงรูปเดิมครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#37
|
|||
|
|||
ตอนนี้เหมือนทุกศูนย์น่าจะสอบกันหมดแล้ว งั้นเปลี่ยนมาเป็น โอลิมปิคเลยดีกว่า
--------------------------------------------------------------- Plane Geometry 1. ให้ UV เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลม ซึ่งมี P,Q อยู่บนเส้นรอบวงโดยที่ UP<UQ และ RP,RQ เป็นเส้นสัมผัส และ S เป็นจุดตัดของ UP กับ VQ พิสูจน์ว่า RS ตั้งฉากกับ UV Combinatorics 1. เด็กชายคนหนึ่งเหลือเวลาในการอ่านหนังสือสำหรับสอบปลายภาค 37 วัน เขาจึงเริ่มจัดตารางอ่านหนังสือโดยตั้งใจว่าจะอ่านหนังสือรวม ไม่เกิน 60 ชั่วโมงและจะอ่านอย่างน้อยวันละ 1 ชั่วโมงต่อวัน จงแสดงว่าไม่ว่าเขาจะจัดตารางแบบไหนออกมา จะมีช่วงวันที่เขาอ่านหนังสือ รวมเวลาแล้วได้ 13 ชั่วโมง โดยมีข้อแม้ว่าการอ่านแต่ละครั้งต้องอ่านโดยไม่มีเศษเป็นนาที คือ เต็มชั่วโมง 2. ถ้าเลือกจำนวนนับ 6 จำนวนจาก ${1,2,3, . . . , 25}$ จงแสดงว่ามีอย่างน้อย 2 จำนวน x และ y ซึ่ง $$0<|\sqrt{x}-\sqrt{y}|<1$$ Inequality 1. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า $$\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} \geq \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}$$ Number Theory 1. จงหา หรม ของ $(a_1,a_2,a_3,..., a_2012) $ โดยที่ $a_n=n^17-n$ 2. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ จงแสดงว่า $$\binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod{p} $$ |
#38
|
||||
|
||||
IE:$$\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} \geq \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}$$
ยกกำลัง 6 $$ 27(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq 64(ab+bc+ca)^3 $$ $$ 81(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq 192(ab+bc+ca)^3 $$ พิจารณา $$ 3(ab+bc+ca) \leqslant (a+b+c)^2 $$ $$ 81(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq 64(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2$$ $$ 9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$$ จาก $$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$$ $$9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]$$ $$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc $$ NT 1: พิจารณา $$(1+x)^{2n} = (1+x)^n(1+x)^n$$ ดูสัมประสิทธิ์ $x^n$ และเทียบสัมประสิทธิ์ $$ [\dbinom{n}{0}\dbinom{n}{n}+\dbinom{n}{1}\dbinom{n}{n-1}+....+\dbinom{n}{n}\dbinom{n}{0}]x^n = \dbinom{2n}{n}x^n $$ $$\therefore \dbinom{n}{0}^2+\dbinom{n}{1}^2+....+\dbinom{n}{n}^2 = \dbinom{2n}{n}$$ $$\therefore \dbinom{2p}{p} = \dbinom{p}{0}^2+\dbinom{p}{1}^2+....+\dbinom{p}{p}^2 $$ และ $$p \mid \dbinom{p}{r}$$ ทุกจำนวนนับ $r > 1$ ได้ $$\dbinom{2p}{p} \equiv 2 (mod p)$$ 09 กันยายน 2012 23:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 9 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Euler-Fermat |
#39
|
||||
|
||||
คอมบิ 2 แบ่งรังเป็น
1-3 4-8 9-15 16-24 25 |
#40
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้า มีจน.เฉพาะ $p>17$ ให้ $p=17+m$ เมื่อ $m\ge 2$ เเละให้ $p|2^{17}-2=a_2$ จะได้ว่า $$ 2^{16+m}\equiv 2^{16}\equiv 1 \pmod p$$ ดังนั้น $2^{m}\equiv 1\pmod p$ เเละพิจารณาว่าถ้า $m\ge p-1$ จะเกิดข้อขัดเเย้งคือ $p=17+m\ge p+16$ ดงัน้น $m<p-1\rightarrow m|p-1=16+m$ นั่นคือหา $m$ ได้ไม่กี่ค่าเเละพบว่า $m=2$ เท่านั้นที่ทำให้ $p$ เป็นจน.เฉพาะเเละไม่เป็นจริงด้วย ดังนั้น $p\le 17$ เเละพิจารณาว่า ทุกๆ $p\le 17$ จะได้ว่าถ้า $p^\alpha|p^{17}-p$ เมื่อ $\alpha >1$ จะได้ $p^{\alpha-1}|p^{16}-1$ ซึ่งขัดเเย้ง ดังนั้น ได้ว่า$(a_1,a_2,a_3,..., a_{2012}) =2\times3\times5\times7\times11\times13\times17=510510$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 10 กันยายน 2012 08:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#41
|
||||
|
||||
ข้อเรขา ลาก $SR$ ผ่่่านมาตัด $UV$ ที่ $T$ เเละให้ $O$ เป็นศูนย์กลางครึ่งวงกลม เเละ $QUV,PVU=\alpha,\beta$ ตามลำดับ พบว่าจุดตัดของ $PV$ เเละ $QU$ คือ $E$
จะพบว่า $OQRP$ เเละ $EQSP$ เป็น Concyclic เเละ $PQE=\beta=\hat PSR$ เพราะว่า $\hat SPR=\beta$ ดั้งนั้น $\hat PRT=\hat PSR+\hat SPR=2\beta=\hat POC$ ดังนั้น $PRTO$ ก็เป็น Concyc จึงได้ว่า $\hat OPR+\hat RTO=180^\circ\rightarrow \hat RTO=90^\circ$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 10 กันยายน 2012 16:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#42
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แค่พิสูจน์ว่ามุม TSV = @ ก็จะได้ว่า #+@ เป็นมุมฉาก ---> RS ตั้งฉากกับ UV เส้นสัมผัสวง RQ ตั้งฉาก OQ และ PR ตั้งฉาก OP, และ RQ = PR, มุม@+มุม# = 90 องศา จะได้ PRQO เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส RQP = 45 องศา (เส้นทแยงมุม) = QUO (เส้นสัมผัสวง) เพราะว่า UQV เป็นมุมฉาก (ครึ่งวงกลม) ดังนั้น UQS เป็นมุมฉาก จะได้USQ = 45 องศา ---> SQ = UQ จะได้ว่า สามเหลี่ยม UQO เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม SRQ (ดมด) จะได้ว่า มุม RSQ = @ นั่นคือมุม TSV + มุม SVT = 90 องศา ---> SRT ตั้งฉาก UV
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#43
|
|||
|
|||
#42 โทษทีครับไม่มี $a_1$ แต่คำตอบก็ไม่ใช่นะครับ ดูแค่ $a_2$ ก็รู้ว่า $7,11,13$ หารไม่ลงแล้ว แต่ผมแค่อยากเห็นว่า
ทำไม $p \leq 17$ กับ $p^a$ ก็พอครับถือว่าประสบผลสำเร็จครับ คนอื่นก็โอเคนะครับ ปล. ง่ายไปหรืออะไรไปก็บอกมานะครับ ไม่อยากให้มันน่าเบื่อ ----------------------------------------------------------------------------------------------- Inequality 1. $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x_1+x_2+...+x_n=1$ จงหาค่าสูงสุดของ $$\sum_{i=1}^{n} x^4_i-x^5_i$$ 2. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $(a+b)(b+c)(c+a)=8$ จงพิสูจน์ว่า $$\dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[27]{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}}$$ Geometry 1. วงกลม I แนบในสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC สัมผัส AB,BC,CA ที่ F,D,E ตามลำดับ ลากส่วยสูง AK และ ให้ P เป็นจุดบน AK ซึ่งทำให้ AP เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม M ที่สัมผัสภายนอกวงกลม I และตัด AB,AC ที่ X,Y ตามลำดับ ถ้า AE=15,XY=8 และรัศมีวงกลม M คือ 5 จงหา BC Number 1. หาจำนวนนับทั้งหมดซึ่ง $x^y=y^x$ 2. หาจำนวนนับ $(a,b,c)$ ซึ่ง $a^2+b^2+c^2=2005$ |
#44
|
||||
|
||||
ชอบไอเดียข้ออสมการข้อ 2 ดีครับ
ผมใช้เอกลักษณ์นี้ครับ $$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$$ |
#45
|
||||
|
||||
#46 เเล้วทำไงต่ออ่ะครับ
Inequality 2. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $(a+b)(b+c)(c+a)=8$ จงพิสูจน์ว่า $$\dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[27]{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}}$$ ได้ว่า $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=8=pq-r$ เเละ $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]+3abc=p^3-3(pq-r)=p^3-24$ จึงต้องการ $$\Big(\frac{p}{3}\Big)^{27}\ge \frac{p^3-24}{3}\leftrightarrow (p-3)(\sum_{k=0}^{23} 3^kp^{26-k}-3^{24}\cdot8p^2-3^{25}\cdot8p-3^{26}\cdot8)\ge 0$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
|
|