|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
|||
|
|||
โจทย์พวกนี้ใช้ trick เดียวกันหมดคือ แทนค่าตัวแปรโดย $g(x),g^2(x),g^3(x),...$
ซึ่ง $g(x)$ จะเป็น periodic 1-1 function เมื่อแทนค่าไปจนครบคาบสมการจะวนกลับมาที่เดิม ที่เหลือก็แก้ระบบสมการออกมาครับ ลองทำข้อง่ายข้อ $12$ ให้ดูละกัน ให้ $g(x)=\dfrac{1}{1-x}$ จะได้ $g^2(x)=1-\dfrac{1}{x}$ $g^3(x)=x$ สมการเขียนได้ในรูป $f(x)+f\circ g(x)=x$______(1) แทนค่า $x=g(x),g^2(x)$ จะได้อีกสองสมการ $f\circ g(x)+f\circ g^2(x)=g(x)$__________(2) $f\circ g^2(x)+f(x)=g^2(x)$_____________(3) แืทนค่า $f\circ g(x)=x-f(x)$ จาก (1) ลงไปใน (2) ได้ $x-f(x)+f\circ g^2(x)=g(x)$ $f\circ g^2(x)=f(x)+g(x)-x$ แทนค่ากลับไปใน (3) ได้ $f(x)+g(x)-x+f(x)=g^2(x)$ $f(x)=\dfrac{1}{2}\Big(x-g(x)+g^2(x)\Big)$ $=\dfrac{x^3-x+1}{2x(x-1)}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#32
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
edit :: เอ่อ วิธีนี้ ใช้ยังไงอ่ะครับ ไม่ค่อยเข้าใจ $g^2(x)=1-\dfrac{1}{x}$ หมายถึง g(x) * g(x) รึเปล่าครับ ?? 10 เมษายน 2011 10:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -Math-Sci- |
#33
|
|||
|
|||
$g^2(x)=g\circ g(x)$ ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#34
|
|||
|
|||
ดูยังไงว่าใช้ วิธีนี้ได้เสมอ อ่ะครับ พี่ nooonuii
แนะนำให้ด้วยครับ |
#35
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ลองสังเกตดูนะครับว่าในโจทย์หลายข้อเลยจะมีฟังก์ชันคาบปรากฎอยู่ 6. $g(x)=1-x$ 10. $g(x)=\dfrac{x}{x-1}$ 11. $g(x)=-x$ 12. $g(x)=\dfrac{1}{1-x}$ 13. $g(x)=\dfrac{1}{x}$ 15. $g(x)=\dfrac{x-3}{x+1}$ 17. $g(x)=2-x$ รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันเหล่านี้คือ $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d},ad-bc\neq 0$ เรียกชื่อเท่ห์ๆว่า linear fractional transformation หรือ Mobius transformation ครับ ฟังก์ชันพวกนี้บางครั้งก็ไม่เป็นฟังก์ชันคาบ แต่โจทย์ส่วนใหญ่จะเลือกที่เป็นฟังก์ชันคาบ ไม่เช่นนั้นจะหาคำตอบได้ยาก ตอนแก้สมการ ถ้าจับจุดได้แล้วอาจจะ drop ตัวแปร $x$ ทิ้งไปเลยก็ได้ แล้วก็หันมาแก้สมการ(เชิงฟังก์ชัน)แทน เช่นในข้อ $12$ อาจจะเขียนสมการเป็น $f+f\circ g=I$ เมื่อ $I$ เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ จากนั้นก็สร้างอีกสองสมการโดยการ composite ด้วย $g,g\circ g$ (อาจจะต้องระวังเรื่องการเข้าทำนิดนึง เพราะ composition มันสลับที่ไม่ได้) $f\circ g+f\circ g^2=I\circ g$ $f\circ g^2+f\circ g^3=I\circ g^2$ ทำไมสร้างแค่สองสมการถึงพอ? เพราะเรารู้ว่า $g\circ g\circ g =I$ ครับ ถ้าสร้างต่อไปก็จะได้สมการเดิม เมื่อแก้สมการจะได้คำตอบในรูป $f=\dfrac{1}{2}(I-g+g^2)$ คราวนี้น่าจะพอมองเห็นภาพแล้วนะครับว่าทำไมเราถึงเรียกสมการพวกนี้ว่า สมการเชิงฟังก์ชัน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
"TU" or "MWIT" | The jumpers | ฟรีสไตล์ | 28 | 26 สิงหาคม 2010 03:47 |
"My Maths นิตยสารเลขเล่มเดียวของไทย แรงบันดาลใจจากเวียดนาม" | kanakon | ฟรีสไตล์ | 11 | 27 พฤษภาคม 2010 14:14 |
"Songkran" Festival | Siren-Of-Step | ฟรีสไตล์ | 11 | 11 เมษายน 2010 20:29 |
Teach Me "Homothety" | The jumpers | เรขาคณิต | 2 | 29 พฤศจิกายน 2009 21:33 |
ช่วย โจทย์ นี่ ที ครับ (2 ข้อ) จาก "สิรินธร 2549" | Dr.K | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 6 | 11 ธันวาคม 2008 10:51 |
|
|