marathon:ม.ปลาย

[กิตติ]

Find all values of natural numbers b such that
$\sqrt{30+\sqrt{b} } +\sqrt{30-\sqrt{b} }$ is a natural number

ข้อนี้ผมคิดได้$b=896,500$
เริ่มจากการสังเกตจาก$\sqrt{m+\sqrt{n} } =\sqrt{c} +\sqrt{d} $ เมื่อ$c>0,d>0$
จะพบอีกว่า$\sqrt{m-\sqrt{n} } =\sqrt{c} -\sqrt{d} $ เมื่อ$n\leqslant m^2$ และ $c>d$
$\sqrt{m+\sqrt{n} }+ \sqrt{m-\sqrt{n} }= 2\sqrt{c}$
$2\sqrt{c}$ จะเป็นจำนวนนับเมื่อ $c$เป็นกำลังสองสมบูรณ์
พิจารณา$\sqrt{m+\sqrt{n} } =\sqrt{c} +\sqrt{d} $
$m+\sqrt{n}= c+d+2\sqrt{cd}$

$c+d=m,cd=\dfrac{n}{4} $
$d=m-c $นำไปแทนใน$cd=\dfrac{n}{4} $
จะได้สมการ$4c^2-4cm+n=0$ ใช้สูตรสำเร็จแก้มาได้
$c=\frac{m\pm \sqrt{m^2-n} }{2} $ และ $d=\frac{m\mp \sqrt{m^2-n} }{2}$

แทนค่า$m=30$ลงในค่าที่หาได้ $\sqrt{30^2-n}\geqslant 0\rightarrow 0\leqslant n\leqslant 900$
ให้$c=p^2 \rightarrow p^2 = 15\pm \frac{\sqrt{900-n}}{2} $
มาดู$\frac{\sqrt{900-n}}{2}$ และจากค่า$0\leqslant n\leqslant 900$
$0\leqslant \frac{\sqrt{900-n}}{2} \leqslant 15$
ดังนั้นค่า$0 \leqslant p^2\leqslant 30 $ คิดกลับไปที่ค่า$p$
$p=0,1,2,3,4,5$....นำค่า$p$ไปแทนกลับหาค่า$n$จะได้ชุดคำตอบดังนี้
1.$p=0,n=0$...ใช้ไม่ได้เพราะ$n$ไม่ใช่จำนวนนับ
2.$p=1,n=116$ นำไปแทนกลับหาค่า$c,d$ ได้ $c=43,d= -13$ และ $c=-13,d=43$ ขัดกับที่กำหนดให้$c>0,d>0$
3.$p=2,n=416$ นำไปแทนกลับหาค่า$c,d$ ได้$c=37,d= -7$ และ $c=-7,d=37$ ขัดกับที่กำหนดให้$c>0,d>0$
4.$p=3,n=864$ นำไปแทนกลับหาค่า$c,d$ ได้$c=18,d= 12$ และ $c=12,d=18$ เลือกกรณีที่$c>d$มาใช้
5.$p=4,n=896$ นำไปแทนกลับหาค่า$c,d$ ได้$c=16,d= 14$ และ $c=14,d=16$ เลือกกรณีที่$c>d$มาใช้
6.$p=5,n=500$ นำไปแทนกลับหาค่า$c,d$ ได้$c=25,d= 5$ และ $c=5,d=25$ เลือกกรณีที่$c>d$มาใช้
ค่าที่จะใช้ได้คือค่า$c$ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ซึ่งก็คือ$c=16,25$ ดังนั้นจึงเลือกใช้ค่า$n=500,896$
ดังนั้นค่า$b$ ที่ทำให้ $\sqrt{30+\sqrt{b} } +\sqrt{30-\sqrt{b} }$ มีผลลัพธ์เป็นจำนวนนับคือ $500$ และ $896$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ตั้งต่อไปครับ
ในการออกสลากกินกันเองในหมู่บ้านแห่งหนึ่ง ออกสลากเป็นใบเลข1-1000(มีแค่1000ใบเท่านั้น) แล้วให้ชาวบ้านมาซื้อสลากไปจนหมด(ให้ซื้อได้คนละไม่เกิน20ใบ)
จากนั้นก็จะสุ่มหยิบเลขที่ถูกรางวัลขึ้นมา1ใบจากกล่องที่ใส่เลขเบอร์1-1000ที่เตรียมไว้อีกชุดหนึ่ง
ถ้าในหมู่บ้านนี้ นายa ซื้อสลากไว้ 13ใบ , นายb ซื้อสลากไว้ 7ใบ , นายc ซื้อสลากไว้ 15ใบ และ นายd ซื้อสลากไว้ 5ใบ
จงหาความน่าจะเป็นที่ชายสี่คนนี้จะไม่ถูกรางวัลเลย

โจทย์ถาม "ความน่าจะเป็นที่ชายสี่คนนี้"

เราก็เอาสลากของคนทั้งสี่มารวมกัน 13+7+15+5 = 40 ใบ (มัดรวมกันเป็นหนึ่งเดียว เหมือนหนึ่งคนซื้อ 40 ใบ)

โอกาสถูก = $\frac{40}{1000} \ \ $ ดังนั้นโอกาสไม่ถูกเท่ากับ $ \ \ \frac{960}{1000} = 0.96$

ความน่าจะเป็นที่ชายสี่คนนี้จะไม่ถูกรางวัลเลย เท่ากับ 0.96

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ความจริงข้อสอบนี้ผมแปลงมาจากข้อสอบคณิตศาสตร์ กข.
ปีเก่ามาก และทำเฉลยหายไปแล้วครับ (หนังสือที่เก็บไว้ก็เหลืองซะ)
ผมคิดอย่างนี้ครับ แต่สงสัยจะไม่ถูกแน่ๆเลยครับ
ในสลาก1000ใบ มี 1ใบเท่านั้นที่ถูกรางวัล อีก 999ในไม่ถูก
เลือกใบที่ไม่ถูกรางวัลมา 40 ใบ เพื่อแจกทั้ง 4คนนั้นได้$\binom{999}{40}$วิธี
จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดได้จากสลาก 1000ใบเลือกมา40 ใบ เพื่อแจก 4 คนนั้น $\binom{1000}{40}$วิธี
ความน่าจะเป็น $= \dfrac{\binom{999}{40}}{\binom{1000}{40}}$
$=\frac{960}{1000} $
อุ้บ ... เท่ากันเลยครับคุณอาbanker

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ปลุกกระทู้อีกรอบ
ให้ $\vec u=\vec i+\sqrt{8}\vec j$โดยที่$\left|\,\vec v\right|=4 $
และ $|\vec u+\vec v|=6 $ จงหา$|\vec u-\vec v| $

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ปลุกกระทู้อีกรอบ
ให้ $\vec u=\vec i+\sqrt{8}\vec j$โดยที่$\left|\,\vec v\right|=4 $
และ $|\vec u+\vec v|=6 $ จงหา$|\vec u-\vec v| $

ปลุกกันตอนเที่ยงคืนแบบนี้ไม่ไหวนะครับ
ตอบ $\sqrt{14}$ มั้งครับ
ไม่กล้าฟันธงเดี๋ยวผิดเพราะมันหลังเที่ยงคืนแล้ว
23:20 มาแสดงวิธีทำก่อนจะเที่ยงคืนครับ
$|u|=3,|v|=4$
${|u+v|}^2={|u|}^2+{|v|}^2+2|u||v|cos\theta$
$36=16+9+2|u||v|cos\theta$
$2|u||v|cos\theta=11$
${|u-v|}^2={|u|}^2+{|v|}^2-2|u||v|cos\theta$
$=16+9-(11)=14$
$|u-v|=\sqrt{14}$

[poper]

ตั้งต่อครับ
ให้ $a_1+a_2+a_3+...+a_{100}$ เป็นอนุกรมเลขคณิต
$a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+a_5^2-...+a_{99}^2-a_{100}^2=1$
จงหาค่าของ $a_1^2-a_{100}^2$

[passer-by]

ไม่ได้มาทำโจทย์ ม.ปลายซะนาน ขอมาแจมบ้างครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ตั้งต่อครับ
ให้ $a_1+a_2+a_3+...+a_{100}$ เป็นอนุกรมเลขคณิต
$a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+a_5^2-...+a_{99}^2-a_{100}^2=1$
จงหาค่าของ $a_1^2-a_{100}^2$

ให้ d แทนผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต

$1= (a_1^2-a_2^2)+(a_3^2-a_4^2)+(a_5^2-...+(a_{99}^2-a_{100}^2)= (-d)(a_1+a_2+a_3+...+a_{100}) = (-d)(\frac{100}{2}(a_1+a_{100}))$

แสดงว่า $ a_1+a_{100} = \frac{-1}{50d}$

ดังนั้น $a_1^2-a_{100}^2 = (a_1-a_{100})(a_1+a_{100}) = (-99d)(\frac{-1}{50d}) = \frac{99}{50}$

-------------------------------------------------------------------------------

ส่วนข้อต่อไป (ดูเหมือนยากแต่ไม่ยากครับ)

หา determinant ของเมตริกซ์ A เมื่อ

$$ A= \bmatrix{\cos 1^{\circ} & \sin 3^{\circ} & \cos 5^{\circ} & \sin 7^{\circ} \\ \cos 9^{\circ}& \sin 11^{\circ}& \cos 13^{\circ}& \sin 15^{\circ} \\ \cos 17^{\circ} & \sin 19^{\circ} & \cos 21^{\circ} & \sin 23^{\circ} \\ \cos 25^{\circ} & \sin 27^{\circ} & \cos 29^{\circ} & \sin 31^{\circ}\\ } $$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ส่วนข้อต่อไป (ดูเหมือนยากแต่ไม่ยากครับ)

หา determinant ของเมตริกซ์ A เมื่อ

$$ A= \bmatrix{\cos 1^{\circ} & \sin 3^{\circ} & \cos 5^{\circ} & \sin 7^{\circ} \\ \cos 9^{\circ}& \sin 11^{\circ}& \cos 13^{\circ}& \sin 15^{\circ} \\ \cos 17^{\circ} & \sin 19^{\circ} & \cos 21^{\circ} & \sin 23^{\circ} \\ \cos 25^{\circ} & \sin 27^{\circ} & \cos 29^{\circ} & \sin 31^{\circ}\\ } $$

hint หน่อยครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

hint หน่อยครับ

จริงๆหลักใหญ่ที่ใช้ทำข้อนี้ เป็นเนื้อหาในหลักสูตร ม.ปลายครับ แต่ไม่ค่อยออกข้อสอบบ่อย

ที่จะ hint ให้นี่ แบบสุดๆแล้วนะครับ ให้มากกว่านี้คงไม่ได้แล้ว

HINTS

(1) $ det(A) = det(A^T)$
(2) ผมจำได้ว่า หนังสือเรียน ม.ปลาย สอนเรื่องการดำเนินการทางแถว(Elementary row operation)ไว้ซึ่งมี 3 แบบ โดย 1 ในนั้นมีแบบหนึ่งที่ไม่เปลี่ยนค่า det ,ลองใช้วิธีนี้ ประกอบกับอ้างสมบัติของ det ก็จบครับ

[poper]

ตามที่ hint ไว้ลองทำดูครับ(กระทู้ร้างตั้งแต่คุณกระบี่ไม่ว่าง)
\[A=\pmatrix{cos1&sin3&cos5&sin7\\cos9&sin11&cos13&sin15\\cos17&sin19&cos21&sin23\\cos25&sin27&cos29&sin31}\]
ทรานสโพสได้
\[A^{t}=\pmatrix{cos1&cos9&cos17&cos25\\sin3&sin11&sin19&sin27\\cos5&cos13&cos21&cos29\\sin7&sin15&sin23&sin31}\]
นำหลักที่ 2 บวกกับหลักที่ 4 แล้วแปลงผลบวกเป็นผลคูณจะได้ค่า det เท่าเดิม
\[det(A^{t})=det(A)=\vmatrix{cos1&cos9&cos17&2cos17cos8\\sin3&sin11&sin19&2sin19cos8\\cos5&cos13&cos21&2cos21cos8\\sin7&sin15&sin2 3&2sin23cos8}\]
\[2cos8det(A )=2cos8\vmatrix{cos1&cos9&cos17&cos17\\sin3&sin11&sin19&sin19\\cos5&cos13&cos21&cos21\\sin7&sin15&sin23&sin23}\]
ซึ่งจะเห็นว่ามีหลักที่3และ4เหมือนกัน จะได้ว่า $det(A)=0$
ดังนั้นข้อนี้ตอบ $0$ ครับ ไม่รู้ถูกมั้ยครับ

[poper]

กระทู้เงียบครับ เอาโจทย์มาให้ทำข้อนึงละกันครับ
ชายคนหนึ่งยืนอยู่บนหน้าผาสูงซึ่งสูง $300$ เมตร สังเกตเห็นเรือ $2$ ลำคือ $A$ และ $B$ เรือ $A$ อยู่ทิศตะวันตกของเขา เป็นมุมกดลง $28^{\circ}$
เรือ $B$ อยู่ในทิศทาง $20^{\circ}$ ตะวันตกเฉียงใต้ เป็นมุมกดลง $19^{\circ}$ จงหาระยะทางระหว่างเรือทั้ง $2$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ข้อนี้ตอบ $0$ ครับ ไม่รู้ถูกมั้ยครับ

ถูกต้องครับ

วิธีผม คือ พอได้ $A^T$ แล้ว ผมเอา -1 คูณแถวสาม แล้วบวกแถว 1 ครับ จากนั้นดึง $2\sin 2^{\circ}$ ออกมา

[tongkub]

ขอปลุกนะครับ พอดีเก็บโจทย์มาฝาก

ถ้าให้ $z + \dfrac{1}{z} = \sqrt{3}$ จงหาค่า $z^7 - \dfrac{1}{z^7}$

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ขอปลุกนะครับ พอดีเก็บโจทย์มาฝาก

ถ้าให้ $z + \dfrac{1}{z} = \sqrt{3}$ จงหาค่า $z^7 - \dfrac{1}{z^7}$

จาก$z + \dfrac{1}{z} = \sqrt{3}$
$z^2 + \dfrac{1}{z^2} =1$
$z^2+ \dfrac{1}{z^2}-2 = -1$
$z - \dfrac{1}{z} = \sqrt{-1} $

$(z^2 + \dfrac{1}{z^2})(z^2 + \dfrac{1}{z^2}) =1$
$z^4 + \dfrac{1}{z^4} =-1$

$(z^2 + \dfrac{1}{z^2})(z - \dfrac{1}{z} )=\sqrt{-1} $
$z^3 - \dfrac{1}{z^3} =2\sqrt{-1}$
$(z^4 + \dfrac{1}{z^4} )(z^3 - \dfrac{1}{z^3})=-2\sqrt{-1}$
$z^7-\dfrac{1}{z^7}=-\sqrt{-1} =-i$

[กิตติ]

$z + \dfrac{1}{z} = \sqrt{3}$
$z^7 - \dfrac{1}{z^7}=-i$
คิดอีกรอบแล้วได้เท่ากันครับ