#301
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ให้ $\displaystyle{f(b)=\int_{0}^{\pi} \ln{(1+b\cos{x})} \, dx},b\in [0,1]$ จะได้ $f(0)=0$ และ $\displaystyle{bf'(b)=\pi-\int_0^{\pi}\dfrac{1}{1+b\cos{x}}\,dx}$ $~~~~~~~=\pi-\dfrac{\pi}{\sqrt{1-b^2}}$ ในส่วนของ $\displaystyle{\int_0^{\pi}\dfrac{1}{1+b\cos{x}}\,dx}$ ใช้การแทนค่า $u=\tan{\frac{x}{2}}$ จึงได้ $f'(b)=\dfrac{\pi}{b}-\dfrac{\pi}{b\sqrt{1-b^2}}$ อินทิเกรตอีกรอบจะได้ $f(b)=\pi\ln(1+\sqrt{1-b^2})+C$ แต่จาก $f(0)=0$ จะได้ $$f(b)=\pi\ln{\Big(\dfrac{1+\sqrt{1-b^2}}{2}\Big)}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#302
|
||||
|
||||
ข้อ 22. กับข้อ 30. ถูกครับ แต่ที่จริง ข้อ 22. ไม่จำเป็นต้องใช้เชิงซ้อนก็ได้นะครับ แค่พิสูจน์ดังนี้ (กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนคี่)
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{(n+2)x}}{\sin{x}}\, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{(nx)}\cos{(2x)+\cos{(nx)}\sin{(2x)}}}{\sin{x}}\, dx$$ $$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{(nx)}(\csc{x}-2\sin{x})+2\cos{(nx)}\cos{x}\, dx$$ $$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{(nx)}\csc{x}+2\cos{((n+1)x)}\, dx$$ ก้อนหลังจะ อินทิเกรต ได้ 0 เสมอ ส่วนข้อ 36. นั้น ตอนผมทำ ผมใช้ วิธีเดียวกันกับคุณ nooonuii ครับ เล่นเอาเหนื่อยเลยทีเดียว
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี 08 พฤษภาคม 2010 08:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -InnoXenT- |
#303
|
||||
|
||||
$$\int_{0}^{1} \ln{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} \, dx = \frac{1}{2}(\int_{0}^{1} \ln{x} \,dx + \int_{0}^{1} \ln{(1+ \sqrt{1-x^{2}})} \, dx ) $$
$$\int_{0}^{1} \ln{(1+\sqrt{1-x^{2}})} \, dx = \left[\,\right. x\ln{(1+\sqrt{1-x^{2}})}\left.\,\right]^{1}_{0} -\int_{0}^{1} x(\ln{(1+\sqrt{1-x^{2}})})' \, dx =\frac{\pi}{2} - 1 $$ $$\therefore \int_{0}^{1} \ln{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} \, dx = \frac{\ln{2}}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$$
__________________
I'm kak. |
#304
|
||||
|
||||
วิธีทำ ของคุณ Tohn ถูกต้องครับ edit ลิงค์เฉลยแล้ว XD
กำลังคิดว่าจะเพิ่มโจทย์ แต่รออีกนิดดีกว่า
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#305
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$$\int_{0}^{1} \ln{2} \,dx$$ ไม่ใช่เหรอครับ ขออนุญาต Double Post นะครับ ปล. เพิ่มโจทย์แล้ว จะมีคนทำมั๊ยนะ = =a เหมือนเดิมนะครับ ขอเฉลย PM ส่งมาให้ผมได้
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี 11 พฤษภาคม 2010 03:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -InnoXenT- |
#306
|
|||
|
|||
ให้ $x = \tan \theta$ จะได้
\[ \int\limits_0^\infty {\frac{{dx}}{{\left( {1 + x^r } \right)\left( {1 + x^2 } \right)}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d\theta }}{{1 + \tan ^r \theta }} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos ^r \theta }}{{\sin ^r \theta + \cos ^r \theta }}d\theta = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^r \theta }}{{\sin ^r \theta + \cos ^r \theta }}d\theta } = \frac{\pi }{4} \] |
#307
|
||||
|
||||
ข้อ 67. นี่ จาก ผมก๊อปเว็บบอร์ดนี้เลยแหละครับ ยังมีอีกนะ
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#308
|
||||
|
||||
ยากจังอะครับ นั่งทำตั้งนานเเล้ว ไม่ออกอีกเลย
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#309
|
||||
|
||||
ขอเฉลยหรือ แนวคิดได้นะครับ pm ส่งมา ^^"
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#310
|
|||
|
|||
\[
\int {\frac{{\cos ^2 x}}{{e - \cos ^2 x}}} dx = - \left( {\int {dx - e\int {\frac{{dx}}{{e - \cos ^2 x}}} } } \right) = - x + e\int {\frac{{\sec ^2 x}}{{e\sec ^2 x - 1}}dx} = - x + e\int {\frac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{e\tan ^2 x + \left( {e - 1} \right)}}} \] \[ = - x + \int {\frac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{\tan ^2 x + \left( {\frac{{e - 1}}{e}} \right)}}} = - x + \sqrt {\frac{e}{{e - 1}}} \arctan \left( {\sqrt {\frac{e}{{e - 1}}} \tan x} \right) + c \] |
#311
|
||||
|
||||
ข้อ 69. ถูกต้องครับ ^^" ผมรู้สึกว่าโจทย์แนวนี้เยอะเหลือเกิน
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#312
|
||||
|
||||
รันเลขข้อใหม่แล้วครับ
เนื่องด้วย สมุดทดของผม ที่เขียนเฉลยไว้ ผมทำหาย ผมเลยทำเฉลยใหม่ทั้งหมด ผลก็คือ - -a ทำสามข้อนี้ไม่ได้ $$\int \frac{dx}{x^3\sqrt{1+x^4}}$$ $$\int \frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^4}}$$ $$\int_{0}^{1} \ln{(1-x)}\ln{(1+x)} \, dx$$ ผมจึงขอ ลบออก แล้วรันเลขข้อใหม่ แล้วผมก็เพิ่มเฉลย ให้ครบ จนถึงข้อ 22 แล้วครับ http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=268
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#313
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ข้อนี้ตัวส่วนเป็นบวกหรือป่าวครับ ? |
#314
|
||||
|
||||
พิมพ์ตกไปทั้งสองข้อจริงๆด้วยสิ ขอโทษครับ พิมพ์โจทย์เยอะเกิน เลยมึนๆนิดนึง T T
แต่งี้ ก็คุณ R.Wasutharat ก็ทำเพิ่มได้อีกสองข้อแล้วสิครับ ;D แก้โจทย์ให้แล้วนะครับ สองข้อเลย จริงๆ ผมกะจะลงเฉลยทั้งหมดแล้วแหละ เห็นไม่มีใครทำ - -"
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี 25 พฤษภาคม 2010 19:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -InnoXenT- |
#315
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
\[ \int {\frac{{\sqrt[3]{{1 + \sqrt[4]{x}}}}}{{\sqrt x }}} dx = 12\int {u^3 \left( {u^3 - 1} \right)du = 12\int {\left( {u^6 - u^3 } \right)} } du = 12\left( {\frac{{u^7 }}{7} - \frac{{u^4 }}{4}} \right) + c = \frac{{12}}{7}\left( {1 + \sqrt[4]{x}} \right)^{\frac{7}{3}} - 3\left( {1 + \sqrt[4]{x}} \right)^{\frac{4}{3}} + c \] ปล. จริงๆผมทดไว้ในกระดาษแล้วหลายข้อ แต่ยังไม่มีเวลาพิมพ์ |
|
|