marathon:ม.ปลาย

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

Let $a,b,c \in \mathbf{R}^{+}$ such that $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$.

Prove that

$$(\frac{a}{b})^n+(\frac{b}{c})^n+(\frac{c}{a})^n = (\frac{b}{a})^n+(\frac{c}{b})^n+(\frac{a}{c})^n$$

ให้ $x=\frac{a}{b} $, $y=\frac{b}{c} $, $z=\frac{c}{a} $
จากเงื่อนไข $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$.
จะได้ $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} $.
หรือ $x-\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}+z-\frac{1}{z}=0$

$\frac{x^2-1}{x}+\frac{y^2-1}{y}+\frac{z^2-1}{z}=0$
สมการเป็นจริงได้เมื่อ $x^2=1,y^2=1,z^2=1$
ดังนั้น$(\frac{a}{b})^n+(\frac{b}{c})^n+(\frac{c}{a})^n = (\frac{b}{a})^n+(\frac{c}{b})^n+(\frac{a}{c})^n$
แต่ผมว่าน่าจะมีวิธีดีกว่านี้ครับ ซึ่งคงต้องรอคุณnooonuiiมาชี้แนะครับ

[nooonuii]

เคยเล่นกันแล้วล่ะ ที่นี่

Algebra Marathon

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

งั้นตั้งโจทย์ต่อนะครับ
three cards are pulled from a deck of 52 cards. the probability of obtaining at least one club is
A.$^{39}P_3$
B.$1-^{39}P_3$
C.$^{39}C_3/^{52}C_3$
D.$1-^{39}C_3/^{52}C_3$

[banker]

วันนี้คุณกระบี่ฯเล่นภาษาปะกิตเลยแฮะ

ว่าแต่ club นี่ แปลว่าอะไรครับ เหมือน night club หรือเปล่า

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

สืบเนื่องมาจากโจทย์ของคุณinnoxent ครับ
เลยลองภาษาปะกิตบ้าง
หน้าไพ่ในภาษาอังกฤษเป็นอย่างนี้ครับ
diamonds =ข้าวหลามตัด
hearts =โพธิ์แดง
clubs = ดอกจิก
spades = โพธิ์ดำ
ส่วน night club อยากให้คุณอาbanker พาไปครับ
เพราะผมเกิดไม่ทัน ยุคผมมันกลายเป็นpubไปแล้ว
เออ ว่าแต่เราจะชักนำทำให้เยาวชนไปในทางหลงผิดรึเปล่าเนี้ย

[banker]

คุณnooonuii พูดถึงเรื่อง"เล่น" คุณกระบี่ฯก็เอาไพ่มาเล่น




ผมทำไม่ได้หรอกครับ

แต่ถ้าให้เดา ก็เดาข้อ D

หยิบมา 3 ใบ จำนวนวิธีก็ต้องเป็น 52 เลือก 3 ก็ต้องมี 5C3 วิธี
ใน choices เหลือ แค่ 2 choices คือ C กับ D (P ไม่เกี่ยว เพราะเป็นการจัดหมู่ คือหมู่ club)

ทีนี้ถ้าเราเอาเจ้า club ออกไป 12 ใบ ก็จะเหลือ 39 ใบที่ไม่มี club หยิบมา 3 ใบ วิธีที่จะได้ไม่ใช่ club เท่ากับ 39C3

โอกาสที่จะได้ไม่ใช่ club เท่ากับ 39C3/5C3

ดังนั้นโอกาสที่จะได้ club เท่ากับ 1 - 39C3/5C3 (เลือกตอบข้อ D)


มั่วในห้องสอบอย่างนี้แหละ (ก็มันทำไม่ได้ แต่อยากเล่นด้วยนี่ครับ)

[tongkub]

ได้เหมือนคุณอา banker ครับ (ผมว่าจริงๆระดับคุณอา มาเล่นในกระทู้นี้สบายๆเลยครับ )

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

คุณnooonuii พูดถึงเรื่อง"เล่น" คุณกระบี่ฯก็เอาไพ่มาเล่น




ผมทำไม่ได้หรอกครับ

แต่ถ้าให้เดา ก็เดาข้อ D

หยิบมา 3 ใบ จำนวนวิธีก็ต้องเป็น 52 เลือก 3 ก็ต้องมี 5C3 วิธี
ใน choices เหลือ แค่ 2 choices คือ C กับ D (P ไม่เกี่ยว เพราะเป็นการจัดหมู่ คือหมู่ club)

ทีนี้ถ้าเราเอาเจ้า club ออกไป 12 ใบ ก็จะเหลือ 39 ใบที่ไม่มี club หยิบมา 3 ใบ วิธีที่จะได้ไม่ใช่ club เท่ากับ 39C3

โอกาสที่จะได้ไม่ใช่ club เท่ากับ 39C3/5C3ดังนั้นโอกาสที่จะได้ club เท่ากับ 1 - 39C3/5C3 (เลือกตอบข้อ D)


มั่วในห้องสอบอย่างนี้แหละ (ก็มันทำไม่ได้ แต่อยากเล่นด้วยนี่ครับ)

ไม่อยากจับผิดคุณอาbankerเลย แต่เอาซะนิดนึงเดียวจะมีคนมาเล่นให้ฮาทั้งขึ้นทั้งล่องอีก

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ว่าแล้วก็ถามต่อครับ
"มีเสื้อ13สี แต่ละสีมี 4 ขนาดคือ s,m,l,xl น้องอุลตร้าต้องการหยิบเสื้อออกมาทีเดียวพร้อมกัน 3 ตัว
จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้เสื้อ 2 ตัวมีสีเดียวกัน"

[poper]

ไม่รู้ถูกมั้ยครับ
$n(s)=\binom{52}{3}$
$n(E)=\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}=13\cdot 6\cdot 48$
$P(E)=\frac{13\cdot 6\cdot 48}{52\cdot 17\cdot 25}=\frac{72}{425}$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

555ถูกแล้วครับ แต่คุณpoperจะไม่อธิบายละเอียดหน่อยเหรอครับว่าเลือกอะไรยังไงบ้าง
เป็นประโยชน์ต่อเยาวชนที่จะสอบpat1 ด้วยนะครับ

[poper]

ครับ
ก่อนอื่นก็ต้องเลือกสีก่อนจาก 13 สีเลือกมา 1 สี ได้ $\binom{13}{1}=13$ วิธี
พอเลือกสีได้แล้วในสีที่เลือกมานั้นมี 4 ขนาด เราต้องการให้มีสีเหมือนกัน 2 ตัว ก็เลือกจาก 4 ขนาดนี้มา 2 ตัวได้ $\binom{4}{2}=6$ วิธี
แต่เราต้องการเลือก 3 ตัว ยังขาดอีก 1 ตัว แต่ต้องไมซ้ำสีเดิม ได้ $\binom{48}{1}=48$
นำทั้งหมดมาคูณกันตามกฏการคูณครับ

[poper]

ว่าแต่ข้อของผมนั้น ตามที่คุณต้องตอบไปแล้ว 1 คำตอบ จริงๆยังมีอีกคำตอบครับ
คือ a=-1,b=0 ครับ
ส่วนวิธีทำนั้นผมกำหนดรากของสมการแรกเป็น n,n+1
แล้วนำไปแทนในสมการที่สอง แล้วแยกกรณีที่จะทำให้สมการที่ 2 มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มโดยที่เป็นบวกอย่างน้อย 1 ตัวครับ
ขอตั้งข้อต่อไปเลยนะครับ
ให้ a,b,c เป็นรากของสมการ $x^3-x^2-x-1=0$
จงหาค่าของ $\frac{a^3-b^3}{a-b}+\frac{b^3-c^3}{b-c}+\frac{c^3-a^3}{c-a}$

[tongkub]

ตอบ 5 รึเปล่าครับ ถ้าถูกเดี๋ยวมาแสดงวิธีทำครับ

[poper]

ถูกครับ
โชว์วิธีทำได้เลยครับ