marathon:ม.ปลาย

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ2 ผมว่าถ้าเป็นจำนวนจริงบวก kมากที่สุด เกิดเมื่อ x=y
$k=\frac{\sqrt{7}-1 }{2} $
ไม่ทันคุณnooonuiiอีกแล้วครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ค่าขอบเขตล่างของ $A$ ที่เป็นไปได้ยังน้อยเกินไปครับ ควรหยิบทั้งก้อนสีแดงมาจับให้มากกว่า $0$

แล้วแก้อสมการหาขอบเขตล่างของ $A$ จริงๆแล้วเราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $A\geq 2 \Leftrightarrow \Big(\sqrt{t}-\dfrac{1}{\sqrt{t}}\Big)^2\geq 0$

ถ้าใช้อสมการที่ผมกล่าวมาข้างต้นก็จะง่ายขึ้นเยอะเลยครับ

เนื่องจาก $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\geq 2,\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\geq 2$

เราจะได้ว่า

$3=k^2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+k(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

$~~\geq 2k^2+2k$

แก้อสมการหาค่า $k$ ได้ว่า $\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2}\leq k\leq\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}$

ดังนั้น ค่ามากสุดของ $k$ คือ $\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}$ สมการเกิดขึ้นได้จริงเมื่อ $x=y$

ใครอยากตั้งโจทย์ต่อก็เชิญเลยครับ

ขอบคุณคุณ nooonuii มากครับ เข้าใจและง่ายขึ้นจริงๆด้วย
โจทย์ประเภทค่าสูงสุด,ต่ำสุดไม่ค่อยถนัด และมักจะลืม อสมการสำคัญๆอย่าง A.M-G.M. ทุกทีเลยครับ

[poper]

ขอตั้งต่อเลยละกันครับ
สมการ $x^2+ax+b=0$ มีรากเป็นจำนวนเต็ม 2 จำนวนเรียงต่อกัน และ
สมการ $x^2+bx+a=0$ มีรากเป็นจำนวนเต็มที่เป็นบวก จงหาค่า aและb

[คิม แต ฮี]

1. มีผู้สมัครเทนนิส 5 คน ถ้าต้องการทีมละ 2 คน โดยแต่ละทีมประกอบด้วยเดี่ยวมือหนึ่งและเดี่ยวมือสอง จะมีวิธีจัดทั้งหมดกี่วิธี

2.มีนักเรียนสมัครเล่นตะกร้อรอดห่วง 9 คน ครูพละศึกษาต้องการจัดเป็นทีม 3 คน โดยแตละทีมประกอบด้วยนักตะกร้อมือหนึ่ง มือสอง และมือสาม จะมีวิธีจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี

3.มีวิธีจัดหนังสือ 6 เล่มแตกต่างกัน ให้นักเรียนซึ่งมีอยู่ 8 คน ยืมไปอ่านที่บ้าน ได้ทั้งหมดกี่วิธี ถ้ากำหนดให้ นักเรียนหนึ่งคนยืมหนังสือได้เพียงหนึ่งเล่ม

[tongkub]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ขอตั้งต่อเลยละกันครับ
สมการ $x^2+ax+b=0$ มีรากเป็นจำนวนเต็ม 2 จำนวนเรียงต่อกัน และ
สมการ $x^2+bx+a=0$ มีรากเป็นจำนวนเต็มที่เป็นบวก จงหาค่า aและb

ผมได้หาคู่หนึ่งครับ a = -3 b = 2 วิธีโดยการแทนค่าเอาครับ รบกวนท่านอื่นด้วยครับ มันน่าจะมีหลายคู่ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คิม แต ฮี

1. มีผู้สมัครเทนนิส 5 คน ถ้าต้องการทีมละ 2 คน โดยแต่ละทีมประกอบด้วยเดี่ยวมือหนึ่งและเดี่ยวมือสอง จะมีวิธีจัดทั้งหมดกี่วิธี

2.มีนักเรียนสมัครเล่นตะกร้อรอดห่วง 9 คน ครูพละศึกษาต้องการจัดเป็นทีม 3 คน โดยแตละทีมประกอบด้วยนักตะกร้อมือหนึ่ง มือสอง และมือสาม จะมีวิธีจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี

3.มีวิธีจัดหนังสือ 6 เล่มแตกต่างกัน ให้นักเรียนซึ่งมีอยู่ 8 คน ยืมไปอ่านที่บ้าน ได้ทั้งหมดกี่วิธี ถ้ากำหนดให้ นักเรียนหนึ่งคนยืมหนังสือได้เพียงหนึ่งเล่ม

ขอ EDIT นะครับ คิดผิดหมดเลย

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

คุณกิตติกับคุณpoperมาช่วยตรวจให้คุณtongkubด้วยครับ
ส่วนตัวผมไม่กล้าออกความเห็นเพราะโจทย์ใช้คำแปลกๆจนผมเองมึนๆ
แต่เท่าที่ดูคำตอบของคุณกิตติ+คุณpoperไม่เท่ากับคุณtongkubน่ะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ผมได้หาคู่หนึ่งครับ a = -3 b = 2 วิธีโดยการแทนค่าเอาครับ รบกวนท่านอื่นด้วยครับ มันน่าจะมีหลายคู่ครับ

ผมว่า a = 2 b = -3 ไหมครับ ส่วนวธีคิดเดี๋ยวให้คุณpoperมาเฉลยครับ
ลูกผมร้องแล้ว ขอโทษนะครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ผมได้หาคู่หนึ่งครับ a = -3 b = 2 วิธีโดยการแทนค่าเอาครับ รบกวนท่านอื่นด้วยครับ มันน่าจะมีหลายคู่ครับ




ข้อ 1 ได้ $\binom{5}{4} \frac{4!}{2!2!2!}(2)$ = 30 วิธีครับ
ข้อ 2 ได้ $\frac{9!}{3!3!3!3!}{3!}$ = 1680 วิธีครับ
้ข้อ 3 $8\times 7\times6\times5\times4\times3 = 20160$ วิธีครับ

รบกวนท่านทั้งหลายด้วยครับว่ามีอะไรผิดพลาดหรือเปล่า

คุณกิตติเฉลยไว้แล้วครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=11686

[poper]

ผมว่า a = 2 b = -3 ไหมครับ

ไม่สอดคล้องกับสมการแรกครับ

[tongkub]

ขอบคุณมากครับ ตอนนี้เจอจุดผิดของตัวเองอีกแล้วครับ ลืมสลับตำแหน่งหลังจัดทีม ไม่น่าเลยครับ ข้อผิดพลาดง่ายๆแค่นี้

จากเงื่อนไขที่2 $x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) x = -3,1$ ก็น่าจะผ่านนะครับ

[poper]

อ่า..ขออภัยอย่างสูงครับ
ถูกแล้วล่ะครับ
ลองคิดดูใหม่ผมได้อีกคำตอบแหละครับ

[คิม แต ฮี]

ขอบคุณ มากคร๊า

[กิตติ]

น้องคิมครับ เวลาโพสโจทย์แล้ว ผมแนะนำอย่าโพสหลายที่ครับ ใช้วิธีเข้ามาตอบเขียนในบอร์ดหัวข้ออื่น
ทำนองช่วยดูโจทย์ให้หน่อยแล้วลิ้งค์ไปตัวกระทู้หลักดีกว่า
หลังจากโพสแล้ว รอหน่อยครับ สมาชิกในบอร์ดมีความถนัดต่างกันและมีเวลาว่างต่างกัน
เมื่อคืนผมก็ต้องดูตัวเล็กเหมือนคุณกระบี่ครับ ช่วงนี้ภรรยาต้องเตรียมงานพรีเซนต์เปเปอร์จบป.โท
กลางคืนผมคงแว๊ปมาบ้าง ส่วนกลางวันนี่ก็แล้วแต่งานประจำกับคอมที่ทำงานว่าว่างพอดีหรือเปล่า
ถ้าตรงไหนพอตอบได้ก็จะช่วยตอบให้ครับ

[-InnoXenT-]

Solve the system of equation

$$\log{(x^3-x^2)}=\log_{5}{(y^2)}$$
$$\log{(y^3-y^2)}=\log_{5}{(z^2)}$$
$$\log{(z^3-z^2)}=\log_{5}{(x^2)}$$

where $x,y,z > 1$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

$x=y=z=5$ครับ
ระบบสมการทั้งสามสมนัยกันเมื่อ$x=y=z$
ให้$x=y=z=k$
จะได้สมการ$log(k^3-k^2)=log_5(k^2)$
สมมติให้$log(k^3-k^2)=log_5(k^2)=a$
จะได้$log(k^3-k^2)=a$ หรือ $(k^2)(k-1)=10^a...(1)$
และ$log_5(k^2)=a$หรือ $k^2=5^a$แทนใน(1)
ดังนั้น $k=2^a+1$
$(2^a+1)^2=5^a$ ผมหาจุดตัดของกราฟได้คำตอบเดียวคือ
$a=2$ แทนใน$k=2^a+1$
จะได้$x=y=z=5$

[-InnoXenT-]

Let $a,b,c \in \mathbf{R}^{+}$ such that $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$.

Prove that

$$(\frac{a}{b})^n+(\frac{b}{c})^n+(\frac{c}{a})^n = (\frac{b}{a})^n+(\frac{c}{b})^n+(\frac{a}{c})^n$$