#286
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
สมการสมมูลกับ $am^2=3amn+mn^2+na^2$ ดังนั้น $(3mn-m^2)^2-4mn^3=t^2$ สำหรับบางค่า $t\in\mathbb{Z}$ ดังนั้น $m(m-n)^2(m-4n)=t^2\rightarrow m^2-4mn=l^2\therefore (m-2n-l)(m-2n+l)=4n^2$ ทำให้ได้ว่า $m-2n-l=2x,m-2n+l=2y$ เมื่อ $xy=n^2,x,y\in\mathbb{N}$ เห็นได้ชัดว่า $x|m,n,l$ ให้ $n=k_1x,m=k_2x,l=l_3x$ เมื่อ $k_i\in\mathbb{Z}$ ทำไปมาได้ว่า $k_2=(k_1+1^2),k_3=k_1^2-1$ ดังนั้น $$a=\frac{(m^2-3mn)\pm(m-n)l}{2n}=\frac{x(k_2^2-3k_1k_2\pm (k_1^2-1)(k_1^2+_1+1))}{2k_1}$$ เเต่ $a\in\mathbb{Z^+}\therefore a=x(k^3+k^2)$ เมื่อ $k=k_1$ ทำให้ $(a,b,c)=(x(k^3+k^2),-(k+1)^2x,-kx)$ กรณีที่ 2 2 ตัวเป็นบวก จะได้ทำนองเดียวกับ กรณีเเรกนั่นคือ $(a,b,c)=(x(k^3-k^2),(k-1)^2x,-kx)$ กรณีที่ 3$a,b,c>0$ เเละ $a,b,c<0$ ได้คำตอบเดียวกันคือ $(x,x,x)$ โดยอสมการ A.M.-G.M. ดังนัน้รวมทั้งสิ้นคือ $(a,b,c)=(x(k^3+k^2),-(k+1)^2x,-kx),(x(k^3-k^2),(k-1)^2x,-kx),(x,x,x)$ up to permutation for all $k,x\in\mathbb{N}$ ปล.Hint อสมการกับข้อ 4 หน่อยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 16 เมษายน 2012 12:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#287
|
|||
|
|||
ข้อ 4 นี่ต้องใช้การสร้างขอบของค่าขึ้นมาครับแล้วใช้สมบัติว่า $\left\lfloor x \right\rfloor\leqslant x $ และ
สมบัติที่ว่า $x=\left\lfloor x \right\rfloor+\left\{x \right\} $ โดยที่ {x} นั้นคือ ภาคทศนิยมของ x แล้วก็แบ่งกรณีบวก ลบ เป็นจำนวนเต็มและไม่เป็นจำนวนเต็มครับ ปล.คุณจูกัดเหลียงยังไม่แก้คำตอบข้อ 1 เลยนะครับ เพราะว่ามันไม่มี (3,13) คิดว่าคุณน่าจะพิมพ์ผิดครับ |
#288
|
||||
|
||||
ลองโจทย์เรขาสวยๆ ซักข้อกันครับ
สามเหลี่ยม ABC มี I เป็นวงกลมแนบในสามเหลี่ยม สัมผัส BC CA และ AB ที่ D E F ตามลำดับ AD และ CF ตัด I อีกครั้งที่ H และ K ตามลำดับ จงแสดงว่า $\frac{FD\times HK}{FH\times DK}=3$ ข้อนี้ถ้าใครรู้เคล็ดลับจะออกอย่างง่ายดายครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 16 เมษายน 2012 13:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#289
|
||||
|
||||
ผมเเก้เเล้วนี่ครับ ถูกป่าวครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#290
|
|||
|
|||
#289 ถูกแล้วครับ พอดีตอนเข้ามาไม่ได้ดูตอนที่แก้แล้ว
มีโจทย์ Number Theory กับ Functional Equation มั้ยครับอยากทำ ปล.ใครเก่งคอมบินาทอริก ช่วยแนะนำหนังสือให้หน่อยได้มั้ยครับ |
#291
|
||||
|
||||
เรขา ปน Number Theory ครับ
สามเหลี่ยม $ABC$ มีความยาวแต่ละด้านเป็นจำนวนเต็ม และมีรัศมีวงกลมแนบในเท่ากับ 1 หน่วย จงแสดงว่า $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#292
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
พยายามพิสูจน์ $$ \binom{n}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{a_k}{a_{k+1}})^{n-1} \geq \binom{n}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{a_k}{G})^2 $$ เมื่อ $ G= \prod_{k=1}^n a_k^{1/n} $ ให้ได้ และแถม FE ให้อีก 1 ข้อ Q6 : หา $ f: \mathbb{N}\cup \{0\} \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ f(a^2-b^2) = (f(a))^2 - (f(b))^2 \,\, , \forall a,b \in \mathbb{N}\cup \{0\} $ ที่ $ a \geq b$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#293
|
|||
|
|||
#268
คุณ passer-by ครับ ช่วย hint ข้อ Q5 ให้หน่อยครับ ผมทำไปทำมาแล้วเกิดตันระหว่างทาง |
#294
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
พยายามหา prime divisor ของ n ให้ได้ (ซึ่งมีไม่กี่ตัว) แล้วก็อาจต้องใช้ Dirichlet theorem ช่วยในบางขั้นตอนครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#295
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เเล้วก็ข้อของ ~ArT_Ty~ (Number Threorial Geometry) เราก็ได้เเค่ว่า $(a,b,c)=(3,4,5)$ เท่านั้นหรือเปล่าครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#296
|
|||
|
|||
#295 อสมการไม่สมมาตร assume ได้แค่ ตัวมากสุด หรือ ตัวน้อยสุด
__________________
The only way to do mathematics is to do mathematics . |
#297
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
มีชีทมาแจกครับ Notes on Euclidean Geometry ของ Kiran Kedlaya ดีมากๆเลยครับ http://www.math.rochester.edu/people...eom-080399.pdf
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 17 เมษายน 2012 19:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#298
|
||||
|
||||
#297 ผมทำประมาณนี้ครับ (ไม่เเน่ใจหรอก)
ที่มันให้มาอ่ะ $r=1\rightarrow \Delta=s$ หรือ $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=4(a+b+c)$ เเล้วก็เเทน $x=a+b-c$ เเละก็รันไปจนครบ เห็นได้ชัดว่า $x,y,z\ge 1$ ใช่ป่ะ เเละสมการกลายเป็น $xyz=4(x+y+z)$ ทีนี้ก็ได้ว่า $x|4(y+z)$ เราก็สมมุติว่า $x|4$ ก่อนเเล้วก็หา $x,y,z$ มา เราก็จะได้ต่ออีกว่า ถ้าตัวใดตัวหนึ่งหาร $4$ ลงก็จะได้คำตอบเดียว จากนั้นก็ได้ว่า ถ้า $2$ หรือ $3$ ตัวใดๆหาร $4$ ลง ก็จะไม่มีคำตอบ ทีนี้ถ้าไม่มีตัวไหนหาร $4$ ลงเลยก็ได้ว่า $x|y+z$ เเละ $y|z+x$ เเละ $z|x+y$ ก็ไม่มีเช่นกัน เพราะ $x=y=z\not\in\mathbb{N}$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#299
|
||||
|
||||
ไอเดียใช้ได้ครับ โหดมาก
มาเติมอีกข้อ เบาๆ (พูดจริงๆ) Point D is the midpoint of arc AC of a circle; point B is on minor arc CD; and E is the point on AB such that DE is perpendicular to AB. Prove that AE = BE + BC
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#300
|
||||
|
||||
ช่วยเเปลให้หน่อยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
|
|