|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
|||
|
|||
6. ให้ $a,b,c > 0$ และ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} = 1$ จงพิสูจน์ว่า
$$(a+bc)(b+ca)(c+ab)\geq 64abc$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#17
|
||||
|
||||
ขอลองทำบ้างนะครับ
6. โดยอสมการ A.M.-H.M. จะได้ $9\leq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=a+b+c$ หารตลอดด้วย abc จะได้ $\begin{array}{rclrl} \frac{9}{abc}&\leq &\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\\ \frac{8}{abc}&\leq &1-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})-\frac{1}{abc}&=&(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})(1-\frac{1}{c})\\ \frac{64}{(abc)^2}&\leq &(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})\cdot (1-\frac{1}{b})(1-\frac{1}{c})\cdot (1-\frac{1}{c})(1-\frac{1}{a})&=&(\frac{1}{c}+\frac{1}{ab})(\frac{1}{a}+\frac{1}{bc})(\frac{1}{b}+\frac{1}{ca})\\ \end{array}$ คูณตลอดด้วย $(abc)^3$ จะได้อสมการตามต้องการ รู้สึกเหมือนวิธีนี้มันวกไปวนมา ยังไงก็ไม่รู้ เพราะมีทั้งหารและคูณด้วย abc คิดว่าน่าจะมีวิธีอื่นอีกครับ |
#18
|
|||
|
|||
โจทย์ข้อนี้ Tricky ครับ
เดี๋ยวถ้าไม่มีใครมาคิดต่อจะเฉลยให้ดูครับ เฉลยเลยดีกว่า ใครที่อยากคิดต่ออย่าเพิ่งดูเฉลยนะครับ คูณ $abc$ ทั้งสองข้าง จะได้ $$(a^2+abc)(b^2+abc)(c^2+abc)\geq 64(abc)^2$$ จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ $abc = ab+bc+ca$ โดยอสมการ AM-GM $a^2 + abc = a^2 + ab + bc + ca \geq 4\sqrt[4]{a^4b^2c^2} = 4a\sqrt{bc}$ $b^2 + abc = b^2 + ab + bc + ca \geq 4\sqrt[4]{a^2b^4c^2} = 4b\sqrt{ca}$ $c^2 + abc = c^2 + ab + bc + ca \geq 4\sqrt[4]{a^2b^2c^4} = 4c\sqrt{ab}$ คูณทั้งสามอสมการเข้าด้วยกันก็จะได้อสมการที่ต้องการ อีกวิธีนึงคือให้สังเกตว่า $a^2+ab+bc+ca = (a+b)(a+c)$ $b^2+ab+bc+ca = (b+a)(b+c)$ $c^2+ab+bc+ca = (c+a)(c+b)$ ดังนั้น $(a^2+abc)(b^2+abc)(c^2+abc)=\Big[(a+b)(b+c)(c+a)\Big]^2\geq (8abc)^2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 05 มิถุนายน 2007 09:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#19
|
|||
|
|||
7. ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\Big(\frac{a}{b+c}\Big)^2+\Big(\frac{b}{c+a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{a+b}\Big)^2\geq\frac{3}{4}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 05 มิถุนายน 2007 10:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#20
|
||||
|
||||
$$\because \Big(\frac{a}{b+c}\Big)+\Big(\frac{b}{c+a}\Big)+\Big(\frac{c}{a+b}\Big)\geq\frac{3}{2}$$
บทพิสูจน์ของพี่ nooonuii http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=1186&page=5 ยกกำลังสองทั้งสองข้า $$\frac{9}{4}\leq \Big(\frac{a}{b+c}\Big)^2+\Big(\frac{b}{c+a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{a+b}\Big)^2+2(\frac{a}{b+c})(\frac{b}{c+a})+2(\frac{a}{b+c})({ \frac{c}{a+b}})+2(\frac{b}{a+c})(\frac{c}{a+b})$$ จากอสมการโคชี $$\leq 3\Big[\Big(\frac{a}{b+c}\Big)^2+\Big(\frac{b}{c+a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{a+b}\Big)^2\Big]$$ หาร 3 ก็จะได้ตามต้องการ
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ 05 มิถุนายน 2007 23:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kanakon |
#21
|
|||
|
|||
เยี่ยมครับ
8. ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#22
|
|||
|
|||
ยังมีคนอยากคิดข้อ 8 ต่อรึเปล่าครับ ถ้าไม่มีอีกสามวันจะมาเฉลยแล้วครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#23
|
||||
|
||||
ไม่ยากนิครับ ใช้โคชี
$$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{\left(a+b+c\right)^{2} }{b^2+bc+c^2+c^2+ca+a^2+a^2+ab+b^2} =1$$
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#24
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ซึ่งไม่จริงครับ 08 ตุลาคม 2007 19:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ dektep |
#25
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ซึ่งเป็นจริงโดย muirhead;$$\sum_{sym}a^5b \geq \sum_{sym}a^3b^2c$$ และ AM-GM; $$\sum_{cyc}a^6 \geq \sum_{cyc}a^3b^3$$ |
#26
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$$\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}\geq \dfrac{2}{3}\Big(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\Big)$$ ดังนั้น $$LHS\geq\frac{2}{3}\Big(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\Big)\geq 1$$ ปิดกระทู้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|