|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
||||
|
||||
ปลุกหน่อยก็ได้ครับ
กำหนดให้ $p,q,r$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน จงหาคำตอบของสมการในรุปของ $p,q,r$ $$x^2-yz=p,y^2-zx=q,z^2-xy=r$$
__________________
I'm Back 31 พฤษภาคม 2015 08:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#17
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$(x-y)(x+y+z)=p-q$-----(4) $(y-z)(x+y+z)=q-r$------(5) $(z-x)(x+y+z)=r-p$------(6) นำแต่ละสมการมายกกำลังสองแล้วบวกกันให้หมด $(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp$ $(x+y+z)^2(p+q+r)=p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp$ $x+y+z=\pm \sqrt{\dfrac{p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp}{p+q+r}}$ นำ (6)-(4); $(x+y+z-3x)(x+y+z)=q-2p+r$ นำค่า x+y+z มาแทนหา ค่า x,y,z ได้ |
#18
|
||||
|
||||
มาเสนออีกวิธีครับ
$(1)^2-(2)(3)\rightarrow x(x^3+y^3+z^3-3xyz)=p^2-qr$ $(2)^2-(1)(3)\rightarrow y(x^3+y^3+z^3-3xyz)=q^2-rp$ $(3)^2-(1)(2)\rightarrow z(x^3+y^3+z^3-3xyz)=r^2-pq$ ดังนั้นแล้ว $x:y:z=p^2-qr:q^2-rp:r^2-pq$ ดังนั้นจะมี $\lambda$ ที่เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $x=(p^2-qr)\lambda,y=(q^2-rp)\lambda,z=(r^2-pq)\lambda$ แทนค่ากลับในสมการเดิมจะได้ว่า $\lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}}$ ดังนั้นแล้ว $(x,y,z)=(\frac{p^2-qr}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}},\frac{q^2-pr}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}},\frac{r^2-pq}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}}),(-\frac{p^2-qr}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}},-\frac{q^2-rp}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}},-\frac{r^2-pq}{\sqrt{p^3+q^3+r^3-3pqr}})$ ให้คนอื่นตั้งต่อแล้วกันครับ
__________________
I'm Back |
#19
|
|||
|
|||
จงหาจำนวนจริง $x,y,z$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
\begin{align*} x(1+y+y^2) &= 1+z+z^2 \\ y(1+z+z^2) &= 1+x+x^2 \\ z(1+x+x^2) &= 1+y+y^2 \end{align*}
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#20
|
||||
|
||||
จริงๆแลวเปลี่ยนxเป็นyเปลี่ยนyเป็นzเปลี่ยนzเป็นx จะได้สามสมการเดิม เพราะฉะนั้นแทนx=y=zได้เลยครับ จะได้x=y=z=1
09 กรกฎาคม 2015 11:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FRuNg |
#21
|
|||
|
|||
ทำไมถึงทำได้ล่ะครับ ผมยังตามไม่ทัน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#22
|
||||
|
||||
คือถ้าลองให้ x=y=z มันก็ยังได้สมการเดิมอ่าครับ ผมก็เลยใช้ข้อมุลนี้ไปแก้สมการต่อครับ
|
#23
|
|||
|
|||
มันคือการเดาเหรอครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#24
|
|||
|
|||
รู้ได้ไงคับว่ามีคำตอบชุดเดียว
|
#25
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
สมมติมี 2 ตัวน้อยกว่า 0 สมมติคือ $x,y$ จาก(2) จะได้ $1+x+x^2 < 0$ จะได้ $(1+x)^2 < x < 0$ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น $x,y,z > 0$ บวกกันทั้งสามสมการจะได้ $(x-1)(1+y+y^2) + (y-1)(1+z+z^2) + (z-1)(1+x+x^2) = 0$ คูณ $(y-1)$ ใน (1) ได้ $x(y^3-1) = (y-1)(1+z+z^2)$ ทำในทำนองเดียวกันกับอีกสองสมการแล้วบวกทั้งสามสมการได้ $x(y^3-1) + y(z^3-1) + z(x^3-1) = (x-1)(1+y+y^2) + (y-1)(1+z+z^2) + (z-1)(1+x+x^2)$ $x(y^3-1) + y(z^3-1) + z(x^3-1) = 0$ $xy^3 + yz^3 + zx^3 = x+y+z$ $\dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x} + \dfrac{x^2}{y} = x+y+z$ โดยโคชีจะได้ $\dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x} + \dfrac{x^2}{y} \geqslant \dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z} = x+y+z$ ซึ่งเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $\dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{x} = \dfrac{x}{y}$ จะได้ว่า $x=y=z=1$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ 11 กรกฎาคม 2015 07:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง |
#26
|
||||
|
||||
จงหาจำนวนเต็ม $x,y$ ทั้งหมดซึ่งเป็นคำตอบของสมการ $$(x+y)^2 = x^3+y^3$$ แต่ไม่เป็นคำตอบของสมการ $$(x+y)^4 = x^5+y^5$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#27
|
||||
|
||||
$x^3+y^3=(x+y)^2$
$(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0$ $x^2+y^2+1-xy-x-y=1$ $(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2$ มีสองพจน์ใน $(x-y)^2,(x-1)^2,(y-1)^2$ คือ $1$ $CASE$ $1:$ $(x-y)^2=(x-1)^2=1$ เราได้ว่า $y=1$ $x=0,2$ $CASE$ $2:$ $(x-y)^2=(y-1)^2=1$ เราได้ว่า $x=1$ $y=0,2$ $CASE$ $3:$ $(y-1)^2=(x-1)^2=1$ เราได้ว่า $x=y=0,2$ $(x,y)=(1,0),(1,2),(0,1),(2,1),(0,0),(2,2)$ แทนในสมการ $x^5+y^5=(x+y)^4$ ได้ว่า คู่อันดับที่สอดคล้องคือ $(1,0),(0,1),(0,0)$ $\therefore (x,y)=(1,2),(2,1),(2,2)$ ##
__________________
I'm Back 11 กรกฎาคม 2015 11:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#28
|
||||
|
||||
ช่วยคิดหน่อยครับ จงแก้สมการ
$ 5\sqrt{1-x}+5\sqrt{1+x}=6x+8\sqrt{1-x^2} $ 15 กรกฎาคม 2015 22:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ math ninja |
#29
|
||||
|
||||
ช่วยทีช่วยที
16 กรกฎาคม 2015 08:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ math ninja |
#30
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
โจทย์สมการติดกรณฑ์ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Functional Equation Marathon | Pitchayut | พีชคณิต | 57 | 16 เมษายน 2016 17:00 |
The art and craft of problem solving มีแปลแล้วนะครับ | HL~arc-en-ciel | ฟรีสไตล์ | 22 | 18 มิถุนายน 2012 05:56 |
functional equation(Cauchy's equation) and composition function | tukkaa | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 25 พฤษภาคม 2011 10:53 |
problem-solving math | promath | ฟรีสไตล์ | 3 | 17 พฤษภาคม 2005 23:20 |
Solving Heat equation by Boundary Element Methods | <Musiela> | Calculus and Analysis | 0 | 09 กรกฎาคม 2001 09:34 |
|
|