|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
||||
|
||||
ข้อ 5 .ผมได้ x = 2
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ 06 ตุลาคม 2006 18:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander |
#17
|
|||
|
|||
ผมว่าโจทย์ง่ายจนไม่น่าเชื่อ เลยไม่คิดว่าเป็นโจทย์แคลอะคับ
ยังไงก็ขอดูวิธีทำของท่านอื่นก่อน
__________________
INEQUALITY IS EVERYWHERE |
#18
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#19
|
|||
|
|||
อ่าเห็นเงียบๆกันไป ขอเฉลยวิธีคิดของผมก่อนละกันครับ
ให้ $\displaystyle{ f(x) = (\frac{2}{7})^x + (\frac{3}{7})^x + (\frac{6}{7})^x - 1 }$ จะได้ว่า $\displaystyle{ f'(x) = [\ln{(\frac{2}{7})}](\frac{2}{7})^x + [\ln{(\frac{3}{7})}](\frac{3}{7})^x + [\ln{(\frac{6}{7})}](\frac{6}{7})^x < 0 }$ ทุกค่า $x$ ดังนั้น $f$ เป็น strictly decreasing function ซึ่งจะได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะฉะนั้นสมการ $f(x)=0$ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว คือ $x=2$ ขออนุญาตถามต่ออีกข้อนึงนะครับ 6. จงหาค่าของ $\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac{1+4^x}{2^x + 6^x} dx }$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#20
|
|||
|
|||
ครับข้อ 5 ผมก็คิดแบบเดียวกะคุณ nooonuii ครับ จริงๆจาก $f(x)=(2/7)^x+(3/7)^x+(6/7)^x-1$ เห็นได้ชัดว่าเป็นฟังก์ชันลดครับ เพราะ $2/7,3/7,6/7$ ทุกตัวน้อยกว่าหนึ่งครับ
6. ได้ $\frac{1+4^x}{2^x+6^x}=\frac{2^{-x}+2^x}{1+3^x}$ และ $\int_{-1}^1=\int_{-1}^0+\int_0^1$ และ $$ \begin{eqnarray} \int_{-1}^0\frac{2^{-x}+2^x}{1+3^x}dx&=&-\int_1^0\frac{2^x+2^{-x}}{1+3^{-x}}dx\\ &=&\int_0^13^x\frac{2^x+2^{-x}}{3^{x}+1}dx \end{eqnarray} $$ ดังนั้น $$ \int_{-1}^1\frac{2^{-x}+2^x}{1+3^x}dx=\int_0^1(2^{-x}+2^x)\;dx=-\frac{2^{-x}}{\ln2}\big|_0^1 +\frac{2^x}{\ln2}\big|_0^1=\frac{3}{2\ln2} $$
__________________
INEQUALITY IS EVERYWHERE |
#21
|
|||
|
|||
ข้อ 6 ครึ่งแรก ผมทำเหมือนคุณ sompong2479 แต่ครึ่งหลัง ผมทำแบบนี้ครับ
เพราะ $ \int_{-1}^1\frac{2^{-x}}{1+3^{x}}dx= \int_{-1}^1\frac{2^x}{1+3^{-x}}dx $ (ผลจากการให้ u= -x) ดังนั้น $\displaystyle{ \begin{eqnarray} \int_{-1}^1\frac{2^x+2^{-x}}{1+3^x}dx&=&\int_{-1}^1\frac{2^x}{1+3^{x}}dx+ \int_{-1}^1\frac{2^{-x}}{1+3^{x}}dx\\ &=&\int_{-1}^1\frac{2^x}{1+3^{x}}dx+ \int_{-1}^1\frac{2^x}{1+3^{-x}}dx\\&=&\int_{-1}^1 2^x (\frac{1}{3^{x}+1}+\frac{1}{3^{-x}+1})dx\\&=& \int_{-1}^1 2^x dx\\ &=& \frac{3}{2ln2} \end{eqnarray} } $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#22
|
|||
|
|||
ข้อนี้ผมคิดแบบเดียวกับคุณ Sompong2479 ครับ ส่วนของคุณ passer-by ก็สวยดีครับ อ่าแล้วใครจะเป็นคนถามข้อต่อไปครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#23
|
||||
|
||||
ช่วงนี้ฮิตโจทย์แนวใช้สมมาตรทำให้อินทิกรัลเท่ากันแล้ว ย้ายอินทิกรัลไปบวกกันจังคับ อิอิ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#24
|
|||
|
|||
7. ให้ $0<a<b$ จงหาค่า $\displaystyle\lim_{t\to0}\left\{\int_0^1[bx+a(1-x)]^tdx\right\}^{1/t}$
แถมอีกข้อละกันครับ 8. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle\int_0^1x^x\;dx=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$
__________________
INEQUALITY IS EVERYWHERE 02 เมษายน 2006 23:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ sompong2479 |
#25
|
|||
|
|||
7. สำหรับ |t|<1 เราได้ว่า
$\displaystyle{ \int_{0}^{1} [bx+a(1-x)]^t dx= \frac{b^{t+1} - a^{t+1}}{(b-a)(t+1)} }$ ดังนั้น $\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow 0}(\int_{0}^{1} [bx+a(1-x)]^t dx)^{1/t} = \lim_{t\rightarrow 0}[\frac{b^{t+1} - a^{t+1}}{(b-a)(t+1)}]^{1/t} = e }$ โดย L'Hospital Rule. 8. ก่อนอื่นจะแสดงว่า $\displaystyle{ \int_0^1 x^n \ln^n{x}dx = \frac{(-1)^n n!}{(n+1)^{n+1}} }$ $\displaystyle{ \int_0^1 x^n \ln^n{x}dx = -\frac{n}{n+1}\int_0^1 x^n\ln^{n-1}x dx }$. $\displaystyle{ = (-1)^2 \frac{n(n-1)}{(n+1)^2}\int_0^1 x^n\ln^{n-2}x dx }$ : : $\displaystyle{ = (-1)^n \frac{n(n-1)\cdots 1}{(n+1)^n}\int_0^1 x^n dx }$ $\displaystyle{ = (-1)^n \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} }$ โดย successive integration by parts. เนื่องจาก $\displaystyle{ x^x = e^{x\ln{x}} = 1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n\ln^n{x}}{n!}}$ และอนุกรม converges uniformly ในช่วง (0,1] เราจึงได้ว่า $\displaystyle{\int_0^1 x^x dx = \int_0^1 [ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n\ln^n{x}}{n!}]dx}$ $\displaystyle{ = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{x^n\ln^n{x}}{n!} dx}$ $\displaystyle{ = 1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}}$ $\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n} }$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 03 เมษายน 2006 03:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#26
|
|||
|
|||
9. จงหาค่าของ $\displaystyle{\int_0^{2\pi} \frac{1}{\sin^4{x} + \cos^4{x}} dx}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#27
|
|||
|
|||
ไม่แน่ใจอะคับ ใช่ \(2\sqrt{2}\pi\) รึเปล่าครับ?
|
#28
|
||||
|
||||
เงียบจัง ไม่มาเฉลยหน่อยหรอครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#29
|
|||
|
|||
มาเฉลยตามคำเรียกร้องของน้อง Mastermander ครับ คุณ tunococ ตอบถูกแล้วล่ะครับ
My solution : ใช้เอกลักษณ์ $\sin^4{x} + \cos^4{x} = \cos^2{2x} + \frac{1}{2}\sin^2{2x}$ จะได้ $\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\sin^4{x}+\cos^4{x}} \ dx = 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2{2x} + \frac{1}{2}\sin^2{2x}} \ dx }$ $\displaystyle{ = 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2{2x}}{1+ \frac{1}{2}\tan^2{2x}} \ dx }$ $\displaystyle{ = 4 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+ \frac{1}{2}u^2} \ du \,\ < u = \tan{2x}> }$ $=2\pi\sqrt{2}$ คุณ tunococ ได้สิทธิ์ถามข้อต่อไปครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#30
|
||||
|
||||
มาตั้งโจทย์หน่อยสิครับ อยากลองคิดดู(ทั้งๆที่คิดไม่เป็น)
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Inequality Marathon | nongtum | อสมการ | 155 | 17 กุมภาพันธ์ 2011 00:48 |
|
|