เพชรยอดมงกุฎครั้งที่ ๖

[banker]

1.รูปสามเหลี่ยมที่แนบในครึ่งวงกลมรัศมี r หน่วยที่มีพื้นที่มากที่สุด มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

$\frac{1}{2} \cdot 2r \cdot r = r^2 $ ตารางหน่วย

[banker]

4.ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าย AC , BC และ AB เท่ากับ 24 เซนติเมตร 10 เซนติมเตร และ 26 เซนติเมตรตามลำดับ รัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ABC ยาวเท่ากับกี่เซนติเมตร

พื้นที่สามเหลี่ยม $ = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 $ ตารางหน่วย (ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก)


$r = \dfrac{\triangle }{s}$

$r = \dfrac{120 }{\dfrac{10+24+26}{2}} = 4 $ เซนติเมตร

[banker]

5.ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เป็นมุมฉาก AD และ BE เป็นเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า AD และ BR ยาว 5 และ $\sqrt{40}$ หน่วยแล้ว AB ยาวกี่หน่วย

$y^2 + 4x^2 = 40 $ ..........(1)

$4y^2 + x^2 = 25 $ ..........(1)

จาก (1) และ (2) จะได้ $x^2 = 9 \ \ \ \ \ y^2 = 4$


$AB^2 = 4x^2 + 4y^2 = 36 + 16 = 4 \times 13$

$AB = 2 \sqrt{13} $

[banker]

24.ให้ ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมตางหมู BC//AD, $A\hat DC=57^{\circ},D\hat AB=33^{\circ}$, BC ยาว 6หน่วย และ AD ยาว 10 หน่วย
ถ้า M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน BC และ AD ตามลำดับแล้ว $M\hat NA $



ต่อ AB และ DC พบกันที่จุด E จะได้สามเหลี่ยม AED เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก (33+57) โดยมี มุมAED เป็นมุมฉาก
ดังนั้น สามเหลี่ยม AED แนบในครึ่งวงกลมที่มี AD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ EN เป็นรัศมี

จะได้ AEN เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว NAE = NEA = 33 องศา
ดังนั้น มุมENA = 141 องศา = มุมMNA


ข้อ 25

25.จากโจทย์ข้อที่ 24 ข้างต้น หาว่า MN ยาวเท่าไร

สามเหลี่ยม EBC คล้ายสามเหลี่ยม AED จะได้

$\frac{BC}{AD} = \frac{6}{10} = \frac{BE}{EA} = \frac{CE}{ED} = \frac{EM}{EN} = \frac{BM}{AN} = \frac{MC}{ND} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $

แต่ $NE = NA = 5 $ (รัศมี), ดังนั้น $ \frac{EM}{EN} = \frac{EM}{5} = \frac{3}{5} ----> EM = 3, MN = 2 $

[banker]

22.ให้ A,B,C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แต่ละวงรัศมียาว 2 หน่วย และแต่ละวงสัมผัสวงกลมอีกสองวงที่เหลือ ให้ X เป็นวงกลมที่มีจุกศูนย์กลางที่ C ทำให้ AX+XB = AC+CB แล้วพื้นที่สามเหลี่ยม AXB เท่ากับกี่ตารางหน่วย

$AB = BC = CA = 4$

$AC +CB = AX +BX = 8 $

$ 8 = (1+7), (2+6), (3+5), (4+4) $

แต่ $(1+7), (2+6)$ ไม่สามารถสร้างเป็นสามเหลี่ยม $AXB$ ได้ (ด้านสองด้านรวมกันต้องยาวกว่าด้านที่ 3)

สามเหลี่ยม $AXB$ จึงมีด้าน $3, 4, 5$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มีพื้นที่ 6 ตารางหน่วย

6 มีใน choice หรือเปล่าครับ
ไม่ค่อยชัวร์ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

โจทย์ข้อ 34 ที่ถูกเป็นแบบนี้ครับ

ให้ $x$ เป็นคำตอบของสมการ $4^x+4^{-x}=7$
จงหาค่าของ $8^x+8^{-x}$

$ 4^x+4^{-x} = (2^2)^x+(2^2)^{-x} = 2^{2x} + 2^{-2x}=7$ ...........(1)

ให้ $2^x + 2^{-x} = A $

$(2^x + 2^{-x})^2 = A^2 $

$2^{2x} +2 + 2^{-2x} = A^2$

$2^{2x} + 2^{-2x} = A^2 - 2 = 7 ----> A =3$

$2^x + 2^{-x} = 3 $ ..............(2)

(2) * (1) $ \ \ \ (2^x + 2^{-x})( 2^{2x} + 2^{-2x}) = 3 *7$

$ (2^{3x} + 2^{-3x}) + (2^x +2^{-x}) = 21$

$(8^x +8^{-x} ) + 3 =21$

$(8^x +8^{-x} ) = 18$ Ans.

[banker]

6.กำหนดให้วงกลมวงหนึ่งและสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน ให้ p แทนพื้นที่ของวงกลมนั้น และ q แทนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้น ข้อสรุปใดถูกต้อง
•p=q
•p=$\frac{\pi q}{4}$
•q=$\frac{\pi p}{4}$
•p=$\pi q$

เส้นรอบรูปเท่ากัน

$2\pi r = 4x$

$\pi r = 2x$ .........(*)

พื้นที่วงกลม $ \ \ \ p = \pi r^2$ ..........(1)

พื้นที่จัตุรัส $\ \ \ q = x^2$ .........(2)

$\frac{p}{q} = \frac{ \pi r^2}{x^2}$

แทนค่า จะได้ $\frac{p}{q} = \frac{4}{\pi }$

จะได้ว่า •q=$\frac{\pi p}{4}$ เป็นข้อสรุปที่ถูกต้อง

[banker]

เพื่อให้กระทู้นี้สมบูรณ์ เอาตัวข้อสอบมาลงให้ครับ

[banker]