#16
|
||||
|
||||
วันสองครับ
__________________
SKN #33 POSN 2012-2013 IPST 1/2014 TMO 10th Bronze & TMO 11th Silver medal |
#17
|
||||
|
||||
ข้อ 8 ใช้ A.M.-H.M. ครับ
ข้อ 12 Hint : แสดงให้ได้ว่า $AP=RM$,$BQ=RN$ ครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 15 พฤษภาคม 2013 23:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#18
|
|||
|
|||
Rough solutions 7-10
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#19
|
|||
|
|||
ข้อ 6 (Rough solution)
x=y=0 จะได้ f(0)= 0 กรณีที่ 1 :มี $ f(x_0) =0 \,\, ,\exists x_0 \neq 0 $ จะแทน $ x= x_0$ ดังนั้น $ (x_0^2+y^2)f(x_0 y) =0 $ ซึ่ง implies f is constant zero กรณีที่ 2 : $ f(x) \neq 0 \,\, \forall x \neq 0 $ นิยาม f(x) = xg(x) ทุก $ x \neq 0$ แทนค่ากลับในโจทย์จะได้ $ g(xy) = g(x)g(y) g(x^2+y^2) $ สังเกตว่า $ g(-xy) = g(-x)g(y) g(x^2+y^2) = g(x)g(-y) g(x^2+y^2) $ และเพราะ g nonzero ทำให้ $ g(-x)g(y) = g(x)g(-y) \Rightarrow g(x) = cg(-x) \,\, ,\exists c \neq 0$ ขณะเดียวกัน $ g(xy) = g(x)g(y) g(x^2+y^2) =g(-x)g(-y) g(x^2+y^2) $ solve for c = -1,1 ดังนั้น (a) g(x) = g(-x) or (b) g(x) = -g(-x) แทน y =1 , ดังนั้น $ g(x) = g(x)g(1)g(x^2+1)\Rightarrow g(t) = \frac{1}{g(1)} \,\, ,\forall t > 1 $ For 0<t< 1 ให้ $ x= t , y= \frac{1}{t} >1$ ดังนั้น $ g(1) = g(t) g(\frac{1}{t}) g(t^2+\frac{1}{t^2}) = g(t) \frac{1}{g(1)} \frac{1}{g(1)} \Rightarrow g(t) = g(1)^3 $ Take $ x= \sin \theta \,\, ,y =\cos \theta$ ( $\theta $ เป็นมุมแหลม) ดังนั้น $ g(1) = \frac{g(1)^3}{g(1)^3 \cdot g(1)^3} \rightarrow g(1) = 1,-1$ สรุปว่า For (a) , มี 2 คำตอบ คือ g(x) = 1 ทุก nonzero x และ g(x) = -1 ทุก nonzero x นั่นคือ f(x) =x และ f(x) =-x For (b) , มี 2 คำตอบเช่นกัน คือ g(x) = sgn(x) และ g(x) = -sgn(x) (Note : sign function : sgn(x) =1 เมื่อ x> 0 , เป็น -1 เมื่อ x< 0 และเป็น 0 เมื่อ x=0 ) นั่นคือ f(x) = (x)(sgn(x)) และ f(x) = (-x)(sgn(x)) ท้ายที่สุดลองแทนค่า check f(x) ทั้ง 5 คำตอบในโจทย์เองนะครับ ---------------------------------------------------------------- เพิ่มเติม ข้อ 12 ต่อจากคุณ Art_ty Hint ที่น้อง Art_ty ให้ไว้ เป็นส่วนหนึ่งของ USAMO 2001 และอ้าง B,Q,R,N collinear + A,P,M,R collinear ก็จะหาพื้นที่ได้ไม่ยากแล้วครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 16 พฤษภาคม 2013 11:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by เหตุผล: Add more comment |
#20
|
|||
|
|||
11.อุปนัยบน $m$ ว่า ญาญ่าเลือกสับเซตให้ได้ทองมากกว่าได้
$P(1)$ ชัดเจน สมมติ $P(k)$ จริง พิจารณา $B_{1},B_{2},...,B_{n}$ ที่ณเดชน์เลือกซึ่งเป็นสับเซตของ $\{1,2,...,k+1\}$ แยก $B_{i}$ เป็นพวก $C$ กับพวก $D$ โดย $C$ คือพวกที่ไม่มี $k+1$ เป็นสมาชิก พวก $D$ คือพวกที่มี สมมติพวก $C$ ประกอบไปด้วย $B_{1},B_{2},...,B_{t}$ และพวก $D$ คือ $B_{t+1},...,B_{n}$ ให้ $c=a_{1}+a_{2}+...+a_{t}$ และ $d=a_{t+1}+...+a_{n}$ ให้ $f(X,C)$ แทนทองที่ญาญ่าจะได้รับจากพวก $C$ เมื่อญาญ่าเลือกสับเซต $X$ นิยาม $f(X,D)$ ในทำนองเดียวกัน ดังนั้น เราต้องแสดงว่ามี $X$ ซึ่งเป็นสับเซตของ $\{1,2,...,k+1\}$ ซึ่ง $f(X,C)+f(X,D)>\frac{c+d}{2}$ เนื่องจากทุกๆ $B_{i}$ ที่เป็นพวก $C$ จะเป็นสับเซตของ $\{1,2,...,k\}$ ดังนั้นโดยสมมติฐานการอุปนัยจะมี $S\subset\{1,2,...,k\} $ ซึ่ง $f(S,C)>\frac{c}{2}$ หาก $f(S,D)>\frac{d}{2}$ ก็จะได้ $P(k+1)$ เป็นจริงทันที มิเช่นนั้นหาก $f(S,D)\leqslant \frac{d}{2}$ พิจารณา $S'=S\cup \{k+1\}$ เราทราบว่า $f(S',C)=f(S,C)$ (เพราะพวก $C$ ไม่มี $k+1$ เป็นสมาชิก) และ $f(S',D)=d-f(S,D)$ (เพราะเมื่อเพิ่มสมาชิก $k+1$ เข้ามา ทำให้ความเป็นคู่คี่ของ $\left|\,\right. S\cap B_{i}\left.\,\right| $ ในพวก $D$ เปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม) จึงได้ว่า $f(S',C)+f(S',D)>\frac{c+d}{2}$ เช่นเดียวกัน ดังนั้น $P(k+1)$ เป็นจริง |
#21
|
|||
|
|||
ถ้า $BC=2\sqrt{3}$ แล้ว $\triangle ABC$ จะกลายเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่ารึเปล่าครับ
ซึ่งผิดเงื่อนไขโจทย์ที่กำหนด $A\hat BC>A\hat CB$ แต่ผมก็ยังงงกับคำตอบของคุณฟินิกซ์ คุณฟินิกซ์ลองแทนค่ากลับไปแล้วได้ $PD=PE$ ตามเงื่อนไขโจทย์รึเปล่าครับ ผมก็อยากรู้ว่ารูปตามเงื่อนไขโจทย์มันเป็นแบบไหนกัน 16 พฤษภาคม 2013 17:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ artty60 |
#22
|
|||
|
|||
คำตอบเป็น $3+sqrt(3)$ ครับ
|
#23
|
|||
|
|||
คิดยังไงครับแล้วมุมACB เท่ากับกี่องศาครับ
|
#24
|
||||
|
||||
ได้เหรียญอะไรกันบ้างครับ
|
#25
|
||||
|
||||
ข้อ4เหมือนมีคนบอกว่า $a=b$ได้นะครับ
__________________
~การรู้ว่าตนเองไม่รู้ เป็นการก้าวไกลไปสู่ความรู้ ~ คนฉลาดเรียนรู้ข้อผิดพลาดของคนอื่น แต่คนโง่เรียนรู้ข้อผิดพลาดของตนเอง |
#26
|
||||
|
||||
1. 48
2. $3+\sqrt{3}=1+cot15^\circ$ (ในห้องสอบผมตอบในรูปตรีโกณ) สะท้อน D ข้าม AP จะได้ $P\hat{D}A=P\hat{E}A$ or $P\hat{D}A+P\hat{E}A=180^\circ$ ไล่มุมก็จะได้ $A\hat{P}B=120^\circ$ 3. อีกวิธี นั่นคือถ้า fix เส้น AB เอาไว้ จุด P จะเคลื่อนอยู่บนวงกลม เห็นได้ชัดว่าจะมี เส้นเชื่อมจุดสีเดียวกันยาว $\sqrt{3}$ 1 2 3 4 A . . . . B __.__ C . . . . $A_1,A_3,B$ &$A_2,A_4,B$ ห้ามเป็นสีเดียวกัน ขัดแย้ง 4. ผมคิดว่า $a=b$ ได้(แต่ยังไม่ได้ถามกรรมการ) รากที่เป็นไปได้จึงมี $0,-1,-2$ ตอบ $P(x)=x,x+1,x(x+1),x(x+2),x(x+1)(x+2)$ 5. $n=21301$ 6. $f(x)=0,x,-x,|x|,-|x|$ 7. พิสูจน์ว่าถ้ามี $n$ จุดจะมี $2n+4$ รูป แล้วก็ รังนกพิราบแบบ reverse 8. ตามพี่ Art_ty ครับ จัดรูปได้ $-(b_1^2+\cdots+b_{1006}^2) \cdot -b_1^2\cdots b_{1006}^2(\dfrac{1}{b_1^2}+\cdots+\dfrac{1}{b_{1006}^2})$ แล้ว A.M-H.M 9. ให้ AB ตัด CD ที่ E (อันนี้ต้องแยกเคสว่า AB ขนานกับ CD หรือไม่) จะได้ $\dfrac{MP}{NQ}=\dfrac{ME}{NE}$ ที่เหลือก็ไม่ยาก 10. แยกเคสไปเรื่อยๆ ได้ (2,14) 11. ผมทำคล้ายๆคุณ zzz123 แต่แยกเป็น พวกที่มีจำนวนสมาชิกเป็นคู่ กับคี่
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#27
|
|||
|
|||
ขอบคุณ#28#29มากครับ
$\triangle ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีมุมBเป็นมุมฉาก $BC=1+cot15^{\circ} =3+\sqrt{3} $ |
#28
|
|||
|
|||
ผมคิดว่ายากมากครับ
__________________
ความพยายามอยู่ที่ไหน ความสำเร็จอยู่ที่นั่น |
#29
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ตอนสุดท้ายที่ จุด $P$จะเคลื่อนอยู่บนวงกลม มันเอาไปใช้ทำอะไรหรอครับ |
#30
|
||||
|
||||
ลองหา ค่าต่ำสุดของ $\dfrac{r}{BC}$ ดูครับ
เมื่อ $r$ เป็นรัศมีวงกลมแนบใน [ดูว่า ถ้า fix $BC$ แล้ว $r$ จะมี min เป็นเท่าไร]
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
|
|