#16
|
||||
|
||||
Number
2.Lemma $gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(m,n)}-1$ Let $d=gcd(m,n)$ so $m=dx_0,n=dy_0$ with $gcd(x_0,y_0)=1$ By Euclidean algorithm \[x_0= a_0y_0+b_0,0<b_0<y_0\] \[y_0=a_1b_0+b_1,0<b_1<b_0\] \[\cdots\] \[b_{k-2}=a_kb_{k-1}+b_k,0<b_k<b_{k-1}\] and $b_k=1=gcd(x_0,y_0)$ Consider the fact $(a,bc)\wedge (a,c)=1\rightarrow (a,bc)=(a,b)$ and $(a,b)=(a\pm nb,b)$ $$L=(a^m-1,a^n-1)=(a^d-1)\Big(\frac{a^x_0-1}{a-1},\frac{a^y_0-1}{a-1}\Big)$$ \[=(a^d-1)\Big(\frac{(a^{x_0}-1)-(a^{y_0}-1)}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)=(a^d-1)\Big(\frac{a^{y_0}(a^{x_0-y_0}-1)}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)\] but $(a^n,a^n-1)=1$ so \[L=(a^d-1)\Big(\frac{a^{x_0-y_0}-1}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)=...=(a^d-1)\Big(\frac{a^{x_0-a_0y_0}-1}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)\] \[=(a^d-1)\Big(\frac{a^{b_0}-1}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)=...(a^d-1)\Big(\frac{a^{b_{k-1}}-1}{a-1},\frac{a^{b_k}-1}{a-1}\Big)\] but $b_k=1$ so $L=a^d-1$ as desired We have $3^{2^\alpha t} \equiv3^n\equiv 1\pmod {2^n}$ and from $(2^n,3)=1$ so $3^{2^{n-1}}\equiv 3^{\phi(2^n)}\equiv 1\pmod {2^n}$ by using Lemma and the fact $n-1=2^\alpha t-1\ge 2^\alpha-1\ge \alpha$ we get $$3^{2^\alpha}=3^{(2^{n-1},2^\alpha t)}\equiv 1\pmod {2^n}\rightarrow 2^n|(3^{2^\alpha}-1)$$ Thus, $2^n=2^{2^\alpha t}\le 3^{2^\alpha}-1$ assume that $t\ge 3$ we get $8^{2^\alpha}=2^{3\cdot 2^\alpha}\le 2^{2^\alpha t}\le 3^{2^\alpha}-1$ contradiction so $t=1$ gives $n=2^\alpha$ Consider $$3^{2^\alpha}-1=2\cdot 4(3^{2^1}+1)(3^{2^2}+1)...(3^{2^{\alpha-1}}+1)$$ and assume $4|3^{2^k}+1$ when $k\ge 1$ so $2=(-1)^{2^k}+1\equiv 3^{2^k}+1\equiv 0\pmod 4$ ctd so it have only $2$ with divides $3^{2^k}+1$ but $2^{2^\alpha}|3^{2^\alpha}-1$ so $2^{2^\alpha}|2^{\alpha+2}\rightarrow 2^\alpha\le \alpha+2\rightarrow \alpha=0,1,2$ so $n=1,2,4$ ผมคิดเรขาตั้งเเต่ข้อ 2 ไม่ได้เลยอ่ะครับ โง่มากๆๆ TT
__________________
Vouloir c'est pouvoir 30 มีนาคม 2013 19:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#17
|
||||
|
||||
คอมบิ 1
เทียบแแบบคนต่อคน ถ้า A อยู่หน้า B และ A สูงกว่า B A จะได้บอลน้ำเงิน B จะได้บอลแดง ถ้า A อยู่หน้า B และ A เตี้ยกว่า B จะไม่ได้บอลทั้งคู่ ให้ $x_i$ แทนจำนวนบอลสีแดงที่คนที่ i ได้รับ ให้ $y_i$ แทนจำนวนบอลสีน้ำเงินตั้งแต่คนที่ 1 ถึงคนที่ i-1 ที่ได้รับเมื่อเทียบความสูงกับคนที่ i จะได้ $x_i=y_i$ 30 มีนาคม 2013 19:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133 |
#18
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
3. ใช้ lemma ที่ well-known กัน $p \equiv 1 \pmod{4}$ ก็ต่อเมื่อ $p|n^2+1$ 4. จำนวนวิธีจับคู่ของเลข 1 ในแต่ละแถวทั้งเป็นไปได้อย่างมาก 66 แบบ แล้วที่เหลือก็หานกจากที่โจทย์ให้ |
#19
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
หมุนสามเหลี่ยมรูปนี้รอบ 12 เหลี่ยม ให้เป็นคนละสีกันหมด จะได้ตรงตามโจทย์ครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 01 เมษายน 2013 08:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#20
|
||||
|
||||
เติมโจทย์ให้ครับ เรขาคณิตจากคาซัคสถาน ถ้ารู้ทฤษฎีบทอันนึงก็จะง่ายมากๆเลยครับ
(KSA National MO 2013 Grade 9) สามเหลี่ยม $ABC$ มีจุด $I,O$ เป็น incenter และ circumcenter ตามลำดับ จุด $P,Q$ อยู่บนวงกลม $O$ โดยที่มีเงื่อนไขว่า $ \angle API=\angle CPI $ และ $ \angle BQI=\angle CQI $ จงแสดงว่า $BP,AQ,OI$ ตัดกันที่จุดเดียว แถมอีกข้อ เผื่อยากเกิน สามเหลี่ยม $ABC$ แนบในวงกลมที่มี $O$ เป็นจุดศูนย์กลาง มี $E,G$ เป็นจุกึ่งกลางด้าน $AB,AC$ ตามลำดับ และมีจุด $H$ เป็นจุดบน $BC$ ที่ทำให้ $AH\bot BC$ $CO,HE$ ตัดกันที่ $F$ และ $BO,HG$ ตัดกันที่ $D$ จงแสดงว่า $E,F,D,G$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 02 เมษายน 2013 08:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#21
|
||||
|
||||
เรขายากจริงอะไรจริง ผมขอโจทย์เพิ่มหน่อยครับ รู้สึก 2 ข้อข้างบนทำไม่ได้เลย
|
#22
|
||||
|
||||
คอมบิของ#16ทำไงหรอครับข้อ2 อ่านhintในอีกกระทู้แล้วยังงงๆ
|
#23
|
||||
|
||||
เติมโจทย์
ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกและ $abc=\frac{1}{8}$ จงแสดงว่า $$\sqrt{\frac{1}{a+1}}+\sqrt{\frac{1}{b+1}}+\sqrt{\frac{1}{c+1}} \leqslant \sqrt{6}$$
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#24
|
||||
|
||||
แทน x=2a,y=2b,z=2c ดังนั้น xyz=1 กลายเป็นเราต้องพิสูจน์
$\sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{x+2}} \leq \sqrt{ 3}$ จาก CS จะได้ $\sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{x+2}} \leq \sqrt{3} \sqrt{\sum_{cyc} \dfrac{1}{x+2}}$ ถ้าเราพิสูจน์ได้ว่า $\sum_{cyc} \dfrac{1}{x+2} \leq 1$ ก็จบ ซึ่งอสมการดังกล่าวสมมูลกับ $xy+yz+zx \geq 3$ เราคูณกระจายออกจะได้ สิ่งที่เราต้องพิสูจน์คือ $xy+yz+zx+4(x+y+z)+12 \leq 8+4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)+xyz$ ซึ่งก็จริงตาม AM-GM 02 เมษายน 2013 20:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย เหตุผล: อธิบายเพิ่ม+แก้ไข |
#25
|
||||
|
||||
เรขาข้อแรกใช้ radical axis สินะครับ (radical axis ทั้งสามเส้นจะ concurrent กันที่จุดๆหนึ่ง)
|
#26
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เติมโจทย์ครับ 1. ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า $$\left(\,\frac{a}{a+b+c}\right)^2+\left(\,\frac{b}{b+c+d}\right)^2+ \left(\,\frac{c}{c+d+a}\right)^2+\left(\,\frac{d}{d+a+b}\right)^2 \geqslant \frac{4}{9}$$ 2. หาจำนวนจริง $x,y$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการ $$ \begin{array}{rcl} 33x^3-56x^2y+33xy^2-56y^3 & = & x \\ 56x^3+33x^2y+56xy^2+33y^3 & = & -y \end{array} $$ 3. ให้ $a,b,c>0$ และ $k$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จงแสดงว่า $$\left(\,\frac{a}{b+c}\right)^k+\left(\,\frac{b}{c+a}\right)^k+\left(\,\frac{c}{a+b}\right)^k \geqslant \frac{3}{2^k}$$ 4. (เรขาซักข้อ) ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มี $I$ เป็นจุด incenter $AI$ ตัด $BC$ ที่จุด $D$ จงแสดงว่า $AI+CD=AC$ ก็ต่อเมื่อ $\angle B=60^{\circ}+\frac{1}{3}\angle C$
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 02 เมษายน 2013 23:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 10 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ เหตุผล: เติมโจทย์ + พิมพ์ผิด |
#27
|
||||
|
||||
#27 ผมขอเวลาคิดแปปนะครับเหมือนจะทดผิด ถึงว่าทำไมมันออกง่ายจัง
|
#28
|
||||
|
||||
2. ตอบ $(0,0),(\dfrac{7}{65},-\dfrac{4}{65}),(-\dfrac{7}{65},\dfrac{4}{65})$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#29
|
||||
|
||||
ข้อสองเรขามันจริงหรอครับ ?? ผมทำแล้วมันเป็นกรณีเฉพาะอ่ะครับ
ผมอาจจะทำผิดก็"ด้ครับ ลองช่วยอธิบายหน่อยครับ 03 เมษายน 2013 17:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย |
#30
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
Triangle $ ABC $ is inscribed in a circle $ (O) $ and let $H$ be the feet of altitude from $A$. Let $E$,$G$ be midpoints of $AB$,$AC$ respectively. Let $F,D$ are intersections points of $CO,HE$ and $BO,HG$. Prove that four points $E,F,D,G$ are concyclic.
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
|
|