|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จะได้ว่า $a^2b+a^2c+1\geqslant a^2b+a^2c+abc = a(ab+bc+ca)=3a\rightarrow \frac{1}{3a}\geqslant \frac{1}{a^2b+a^2c+1} $ $\therefore \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+a^2c+1} $ $\leftrightarrow \frac{1}{3}(\frac{ab+bc+ca}{abc})\geqslant \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+a^2c+1} $ $\leftrightarrow \frac{1}{abc}\geqslant \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+a^2c+1} \ \ \ \square$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#17
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc}\leq \frac{3}{2}\leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc}-3\leq \frac{3}{2}-3\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4} $ จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ $\sum_{cyc} \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4}$ โดยอสมการ Cauchy-Schwarz $(\sum_{cyc}\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc})(\sum_{cyc}(bc+ba)(ac+bc)) \geq (\sum_{cyc}bc)^2\leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc}) \geq \frac{(\sum_{cyc}bc)^2}{\sum_{cyc}((bc+ba)(ac+bc))}$ ให้ $ab+bc=x,bc+ca=y,ca+ab=z$ จะได้ $\frac{(\sum_{cyc}bc)^2}{\sum_{cyc}((bc+ba)(ac+bc))}=\frac{(\frac{x+y+z}{2})^2 }{xy+yz+zx} $ พิจรณา $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx \leftrightarrow 4(\frac{x+y+z}{2} )^2 \geq 3(xy+yz+zx)\leftrightarrow \frac{(\frac{x+y+z}{2})^2 }{xy+yz+zx} \geq \frac{3}{4} $ นั่นคือ $\sum_{cyc}\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc} \geq \frac{(\sum_{cyc}bc)^2}{\sum_{cyc}((bc+ba)(ac+bc))}=\frac{(\frac{x+y+z}{2})^2 }{xy+yz+zx} \geq \frac{3}{4} $ จาก $a+b+c=1$ จะได้ว่า $ \sum_{cyc}\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{b}{c+a}\cdot \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{b}{1-b}\cdot \frac{c}{1-c} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{bc}{1-(b+c)+bc} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4} \square$ ปล. Post ที่ 2,222 ของห้อง อสมการพอดีเลย ^^
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 13 มกราคม 2011 17:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer เหตุผล: เพิ่ม ปล. |
#18
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq 3(\sum_{cyc} a^2)\leftrightarrow (a+b+c)\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq 3(\sum_{cyc} a^2)\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^3}{b}+\sum_{cyc}\frac{ab^2}{c} \geq 2(\sum_{cyc} a^2)$ จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ $\sum_{cyc} \frac{a^3}{b}+\sum_{cyc}\frac{ab^2}{c} \geq 2(\sum_{cyc} a^2)$ โดยอสมการ Cauchy-Schwarz $(\sum_{cyc} \frac{a^3}{b})(ab+bc+ca)=(\sum_{cyc} \frac{a^4}{ab})(ab+bc+ca)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^3}{b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}....(1)$ โดยอสมการ Cauchy-Schwarz $(\sum_{cyc} \frac{ab^2}{c})(ab+bc+ca)=(\sum_{cyc} \frac{a^2b^2}{ac})(ab+bc+ca)\geq (ab+bc+ca)^2\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{ab^2}{c} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}....(2)$ $(1)+(2)$ $\sum_{cyc} \frac{a^3}{b}+\sum_{cyc}\frac{ab^2}{c} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}$ โดย Power Mean จะได้ว่า $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq 2(a^2+b^2+c^2)$ $\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2 \geq 4(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)$ $\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2+(ab+bc+ca)^2 \geq 2(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)$ ซึ่งเป็นจริงโดย $AM-GM \square$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#19
|
||||
|
||||
ขอ Hint ข้อ 7 หน่อยครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#21
|
||||
|
||||
ข้อ 7 ผมยกกำลังสองทั้งสองข้างก่อนอะครับ แล้วก็พยายามทำให้ทุกก้อนข้างซ้ายไม่ติดรากที่สองด้วยวิธีที่เหมาะสม (กรณีนี้ผมใช้ Cauchy นะ แต่มีเทคนิคหน่อยก่อนใช้ Cauchy) สุดท้ายจบด้วย Schur อะครับ
#ทำได้หรือยังเอ๋ย? อยากได้เฉลยหรือยัง :'D
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity 08 มีนาคม 2011 00:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RoSe-JoKer |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ใครมี Problems from the book บ้างครับ? | Aรักการเรียนครับป๋ม | ฟรีสไตล์ | 1 | 11 มกราคม 2011 19:47 |
Function problems | Far | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 4 | 23 กรกฎาคม 2009 05:09 |
รบกวนผู้รู้ variation problems คืออะไรครับ | LichKing | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 6 | 08 กรกฎาคม 2009 08:15 |
congruence problems | tatari/nightmare | ทฤษฎีจำนวน | 5 | 18 กันยายน 2008 19:13 |
Complex A. Problems | Mastermander | Calculus and Analysis | 6 | 26 ตุลาคม 2006 13:23 |
|
|