#16
|
||||
|
||||
จะต่อก็ไม่ยากมากนี่ครับ ถ้าถึงขั้น $f(f(y))=y$ แล้ว และเป็น bijection ด้วย (ไม่จำเป็นต้องใช้)
จาก $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$ แทน $x$ ด้วย $f(x)$ ก็จะได้ $f(xf(x)+f(y))=x^2+y$ ดังนั้น $f(x)^2=x^2$ ที่เหลือก็แค่พิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริง a,b ต่างกันซึ่งเกิดกรณีที่ $f(a)=a$ และ $f(b)=-b$ แต่เป็น $f(x)=x$ เสมอ ไม่เช่นนั้นก็ $f(x)=-x$ เท่านั้น (พิสูจน์ไม่ยากครับ ลองทำดูก่อน)
__________________
keep your way.
|
#17
|
||||
|
||||
Day 1:Problem 4 Let $n$ be a positive integer and $$T_n=1+2+...+n$$ Find all triples $(p,q,r)$ such that $p,q$ is prime and $r$ is a natural number with $T_p+T_q=T_r$ holds
จากสมการ $T_p+T_q=T_r$ เห็นได้ชัดว่า $p=q=2,r=3$ เป็นคำตอบเเละถ้า $p,q\ge 3$ได้ว่า $r>p,q$ กรณีที่ 1 ถ้า $p>q$ สมมุติให้ $r=p+k$ สำหรับบางจำนวนนับ $k$ จะได้ $$T_p+\frac{q}{2}(q+1)=T_p+k\Big(p+\frac{k+1}{2}\Big)\leftrightarrow q(q+1)=k(2p+k+1)>k(2q+k+1)$$ เมื่อจัดรูปได้ว่า $$q^2+(1-2k)q-k(k+1)>0$$ โดย Discreminant $(1-2k)^2+4k(k+1)<0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เเละหากเป็น กรณีที่ 2 ถ้า $p<q$ ก็เป็นไปไม่ได้เช่นกัน ดังนั้น $p=q$ ทำให้ได้ต่อไปว่า $2p^2+2p=2q^2+2q=r^2+r$ เห็นได้ชัดว่า $r=4a,p=q=2b+1$ สำหรับบางจำนวนนับ $a,b$ จะได้ $4a^2+a=2b^2+3b+1$ ถ้า $a<b$ จะได้ว่า $$\therefore b^2+3b+2a<2b^2+3b+1=4a^2+a<4b^2+b$$ นั่นคือ $$4b^2+b>2a+b^2+3b\leftrightarrow 3b^2-2b-2a>0$$ โดย Discreminant $4+24a<0$ เกิดข้อขัดเเ้ย้ง จึงไม่มีคำตอบ ถ้า $a\ge b$ $$\therefore 4a^2+1\le 4a^2+a=2b^2+3b+1$$ เเละโดย Discreminant $9+16a^2\le 0$ ซึ่งก็เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น $p=q=2,r=3$ เท่านั้น ปล1. #17 ตอนนี้ยังงงๆอยู่เลยครับ ว่ามันจะพิสูจน์ยังไง ปล2.bijection คืออะไรอ่ะครับ - -*
__________________
Vouloir c'est pouvoir 14 กุมภาพันธ์ 2012 20:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#18
|
||||
|
||||
#17
ใช่เหรอครับ ??
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#19
|
||||
|
||||
#17
bijection คือเป็นทั้ง 1-1 และ onto ส่วน discriminant ดูแล้วไม่เกี่ยวครับ อสมการสลับข้างด้วย ปล. discriminant สะกดอย่างนี้นะครับ
__________________
keep your way.
|
#20
|
||||
|
||||
ข้อสอบนี้คือคัดตัวแทนไปสอบหรอครับ หรือไปหามาได้ครับ
|
#21
|
||||
|
||||
Day 1:Problem 4 Let $n$ be a positive integer and $$T_n=1+2+...+n$$ Find all triples $(p,q,r)$ such that $p,q$ is prime and $r$ is a natural number with $T_p+T_q=T_r$ holds
เราจะได้ว่า $r<p+q \Rightarrow r-q<p$ โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้ $p\geqslant q$ จากโจทย์ $T_p+T_q=T_r$ ก็เขียนได้อีกแบบคือ $\frac{p(p+1)}{2}+\frac{q(q+1)}{2}=\frac{r(r+1)}{2} \Rightarrow p^2+p+q^2+q=r^2+r \Rightarrow p(p+1)=(r-q)(r+q+1) $ แต่จาก $r-q<p$ ทำให้ได้ $p\nmid (r-q) $ และได้ว่า $p|(r+q+1)\Rightarrow p|(p+q+r+1)$ ในทำนองเดียวกันจะได้ $q|(p+q+r+1) \Rightarrow pq|(p+q+r+1) \Rightarrow pq\leqslant p+q+r+1<2p+2q+1\leqslant 4q+1 < 5q $ จะได้ $pq<5q \Rightarrow p<5 \Rightarrow p=2,3 $ เท่านั้น case 1. ถ้า $p=2$ จาก $p\leqslant q$ได้ว่า $q=2$ เมื่อแทนค่าไปจะได้ $r=3$ case 2. ถ้า $p=3$ จาก $pq<2p+2q+1 \Rightarrow 3=p\leqslant q<7$ ทำให้ได้ว่า $q=3,5$ เมื่อแทนค่าจะได้ว่า $q=5 \Rightarrow r=6$ เป็นคำตอบ กรณี $p>q$ ก็จะได้ $p=5,q=3\Rightarrow r=6$ ดังนั้น$(p,q,r)=(2,2,3),(3,5,6),(5,3,6)$ เท่านั้น |
#22
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ช่วยชี้แนะหน่อยครับว่าถูกไหม มีรูปแบบคะแนนที่เป็นได้ $\binom{25}{6} $ วิธี แต่มีรูปแบบนึงถูกต้อง ดังนั้นเขาจึงมีวิธีเขียนผิด $\binom{25}{6} -1$ วิธี
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#23
|
||||
|
||||
Day II ข้อ 15
พิจารณาทีละ $\left\lfloor\,\sqrt{n}\right\rfloor $ Number of integer n possible = $\left\lfloor\,\frac{3}{1}\right\rfloor -\left\lfloor\,\frac{3}{2}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{8}{2}\right\rfloor - \left\lfloor\,\frac{8}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{15}{4}\right\rfloor - ... - \left\lfloor\,\frac{1935}{44}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2012}{44}\right\rfloor $ = $(\left\lfloor\,\frac{3}{1}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{8}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{15}{4}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\,\frac{1935}{43}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{2012}{44}\right\rfloor) - (\left\lfloor\,\frac{3}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{8}{3}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\,\frac{1935}{44}\right\rfloor )$ = $\sum_{i = 1}^{43}\left\lfloor\,\frac{i\times i+2i}{i}\right\rfloor + 45 - \sum_{i = 2}^{44}\left\lfloor\,\frac{i \times i-1}{i}\right\rfloor$ = $\sum_{i = 1}^{43}\left\lfloor\,i+2\right\rfloor + 45 - \sum_{i = 2}^{44}\left\lfloor\,i-\frac{1}{i}\right\rfloor$ = $\sum_{i = 1}^{43}(i+2) + 45 - \sum_{i = 2}^{44}(i-1)$ = $3+4+5+...+45+45-1-2-...-43$ = $131$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#24
|
|||
|
|||
สายวิชาการละว่าก็โจทย์ยากดี แต่สายอาชีพอาจมองว่าทำลายอาชีพเค้า ขัดกับการพัฒนาประเทศ ตกลงใครสรุปว่าไงคงไม่มี
|
#25
|
||||
|
||||
#20
ไปสอบมาอ่ะครับ #24 งง ครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#26
|
|||
|
|||
|
#27
|
||||
|
||||
ขอถาพี่ lightlucifer หน่อยครับว่า
ข้อ 9 วันที่สอง มีขอบเขตของค่า j อย่างไรครับ ? ปล. วันแรกผมได้แค่ข้อเดียวเอง T.T |
|
|