ตัวอย่างข้อสอบโควต้า มศว ปี 2551 กับ 2552

[กิตติ]

จัดเรียงคน6คนได้$6!$ วิธี
จับผู้หญิงนั่งติดกันก่อนแล้วเรียงสลับได้$2!5!$ วิธี
จำนวนวิธีที่ผู้หญิงไม่นั่งติดกันเท่ากับ $6! -2!5! = 4\times 5! = 480$ วิธี



แบ่งคน10คนเป็นกลุ่มๆละ5คนได้$\frac{10!}{5!5!} $ กรณีนี้ผมไม่เอา$2!$ไปหาร
เพราะการจัดลงโต๊ะกลมคนละตัวถือว่าการแบ่งกลุ่มนั้นมีความแตกต่างกัน แต่ละวงสลับกันได้$4!$
รวมแล้วจัดลงได้$\frac{10!}{5!5!}\times 4!\times 4!= 24192$ วิธี

[กิตติ]

$a_{10} = S_{10} - S_9 =5(10^2-9^2) =19\times 5 =95$



ให้สามพจน์ติดกันคือ $a-d,a,a+d$ ผลรวมสามพจน์เท่ากับ$12$
$3a=12 \rightarrow a=4$
$(a-d)(a)(a+d)=a(a^2-d^2) =4(16-d^2)=28$
$d^2+5 =14$



ซ้ำกันกับข้อ8

[กิตติ]

ข้อนี้ให้หาว่าจำนวนอะไรที่อยู่ระหว่าง $1-100$ ที่ $3,7,21$ หารไม่ลงตัว
หาว่ามีจำนวนไหนที่ $21$ หารลงตัวก่อนมี $4 $จำนวน
มีจำนวนไหนที่ $3$ หารลงตัวก่อนมี $11 $จำนวน
มีจำนวนไหนที่ $7$ หารลงตัวก่อนมี $14 $จำนวน
รวมแล้ว $29$ จำนวน

$n(A) = 100-29 = 71$ จำนวน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

โจทย์ไม่ได้กำหนดว่า $x$ เป็นจำนวนจริงบวกหรือลบ ดังนั้นคำตอบควรตอบ $\pm 18$
โจทย์ข้อนี้ท่าน สว.ทำหลายครั้งแล้ว น่าจะลืมครับ

ขอบคุณครับ

แก่แล้วครับ หลงๆลืมๆบ่อย

กะว่า วันจันทร์นี้จะไปขึ้นทะเบียน รับเงินผู้สูงอายุ เดือนละ 500 บาท

[กิตติ]

เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านละ 4 หน่วย
$x^2+y^2=x^2+(y-4)^2$
$(y-4)^2-y^2 = 0$
$-4(2y-4)=0 \rightarrow y=2$
$x^2 = 16-4 = 12 \rightarrow x = \pm 2\sqrt{3} $
โจทย์ไม่ได้กำหนดว่าเป็นจุดในควอรันต์ไหน น่าจะตอบไปทั้งสองจุดคือ $(2\sqrt{3},2),(-2\sqrt{3},2)$
ดังนั้น$x+y = 2\sqrt{3}+2 , \ 2- 2\sqrt{3}$

[กิตติ]

$f(x)= x^2 , x\geqslant 0$
$f(x)= -x^2 , x<0$
$f'(x) = 2x , x\geqslant 0$
$f'(x) = -2x , x<0$
$f'(-3)+f'(-7) = -2(-3+(-7)) = 20$

[กิตติ]

แปลงอสมการก่อน $\frac{3\left|\,1-x\right| }{x+1}+x <0 $
$\frac{3\left|\,1-x\right| +x^2+x}{x+1} <0$
$(x+1)(3\left|\,1-x\right| +x^2+x) <0$......$x\not= -1$

กรณีแรก $x\leqslant 1,x\not= -1$
จะได้เป็น$(x+1)(x^2-2x+3) <0$
$(x+1)((x-1)^2+2) <0 \rightarrow x< -1$
ได้ช่วงคำตอบคือ$x< -1$

กรณีที่สอง $x> 1$
จะได้เป็น$(x+1)(x^2+4x-3) <0$
$x < -1$ หรือ $x^2+4x-3<0$
$x < -1$ หรือ $x^2+4x+4-7<0$
$x < -1$ หรือ $(x+2)^2-7<0 \rightarrow (x+2+\sqrt{7} )(x+2-\sqrt{7} )<0$
$2-\sqrt{7}<x<2+\sqrt{7}$
ได้ช่วงคำตอบคือ $1<x<2+\sqrt{7}$

เซตคำตอบของสมการคือ$\left\{\,x\left|\,\right. x\epsilon (-\infty ,-1) หรือ \ x\epsilon (1,2+\sqrt{7}) \right\} $

[กิตติ]

ให้สมการวงกลมเป็น$x^2+(y-k)^2=25$
แทน$y= x$ ได้สมการเป็น$2x^2-2kx+(k^2-25) = 0$
$x= \dfrac{2k\pm \sqrt{4k^2-4(2)(k^2-25)} }{4} $
$x=\frac{k\pm \sqrt{100-k^2}}{2} $
โจทย์กำหนดให้วงกลมสัมผัสเส้นตรง ดังนั้น$100-k^2 =0 \rightarrow 100=k^2 $
แทน$y= -x$ ได้สมการเป็น$2x^2+2kx+(k^2-25) = 0$
$x= \dfrac{-2k\pm \sqrt{4k^2-4(2)(k^2-25)} }{4} $
ได้เงื่อนไขเหมือนกันคือ $100-k^2 =0$
ดังนั้นค่าของ$k^2$ เท่ากับ $100$

[กิตติ]

ฟังก์ชั่น $A$ ไปทั่วถึง $B$ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเท่ากับ $A$ และมีเรนจ์เท่ากับ $B$
$A= \left\{\,1,2,3,4,5,6\right\} $
$B= \left\{\,1,2\right\} $
สมาชิกแต่ละตัวใน$A$ เลือกจับสมาชิกในเซต$B$ ได้ 2 ตัว
ดังนั้น จำนวนฟังก์ชั่นจาก$A$ ไป $B$ มีได้เท่ากับ $2^6$
มีกรณีที่ไม่ถือว่าเป็นฟังก์ชัน$A$ ไปทั่วถึง $B$ คือ กรณีที่สมาชิกของเซต$A$ จับกับสมาชิกตัวหนึ่งตัวใดของเซต$B$ คือ$\left\{\,(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)\right\} $ กับ $\left\{\,(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)\right\} $
ดังนั้นต้องลบไปอีก 2 ฟังก์ชั่น
ฟังก์ชั่น $A$ ไปทั่วถึง $B$ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเท่ากับ $2^6-2 = 62$ ฟังก์ชั่น

[กิตติ]

หาsample spaceได้เท่ากับ$\binom{15}{3} $
จำนวนวิธีที่หยิบได้หลอดเสีย3หลอดพร้อมกันเท่ากับ$\binom{5}{3} $
โอกาสที่หยิบหลอดเสียได้3หลอดพร้อมกันเท่ากับ $\frac{\binom{5}{3}}{\binom{15}{3}} =\frac{1}{81} $
จำนวนวิธีที่หยิบได้หลอดเสีย1หลอดเท่ากับ$\binom{5}{1} \binom{10}{2} $
โอกาสที่หยิบหลอดเสียได้3หลอดพร้อมกันเท่ากับ $\frac{\binom{5}{1}\binom{10}{2}}{\binom{15}{3}} =\frac{45}{81} = \frac{5}{9} $
จำนวนวิธีที่หยิบได้หลอดเสีย2หลอดพร้อมกันเท่ากับ$\binom{5}{2} \binom{10}{1} $
โอกาสที่หยิบหลอดเสียได้3หลอดพร้อมกันเท่ากับ $\frac{\binom{5}{2}\binom{10}{1}}{\binom{15}{3}} =\frac{20}{81} $

[กิตติ]

ที่แน่ๆคือ $x\not= 0$
กรณีแรก$\left|\,x-\frac{4}{x} \right| = x-\frac{4}{x}$ เมื่อ $x-\frac{4}{x} \geqslant 0$
ได้ช่วงค่า$x$ เท่ากับ $x\geqslant 2,x\leqslant -2$
$x-\frac{4}{x}\leqslant 3$
$x^2-3x-4\leqslant0$
$(x-4)(x+1)\leqslant0$
$x\geqslant 4,x\leqslant -1$ ที่ถูกคือ....$-1\leqslant x \leqslant 4$
เทียบกับขอบเขตที่หาไว้ก่อน จะได้ว่า $x\geqslant 4,x\leqslant -2$....ที่ถูกคือ....$2\leqslant x \leqslant 4$


กรณีที่สอง$\left|\,x-\frac{4}{x} \right| = -(x-\frac{4}{x})$ เมื่อ $x-\frac{4}{x} < 0$
ได้ช่วงค่า$x$ เท่ากับ $ -2<x<2$
$x-\frac{4}{x}\geqslant -3$
$x^2+3x-4\geqslant0$
$(x+4)(x-1)\geqslant0$
$x\geqslant1,x\leqslant -4$
เทียบกับขอบเขตที่หาไว้ก่อน จะได้ว่า $1\leqslant x<2$

ค่าของ$x$ คือ $x\geqslant 4,1\leqslant x<2,x\leqslant -2$
....ที่ถูกคือ....$1\leqslant x \leqslant 4$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ที่แน่ๆคือ $x\not= 0$
กรณีแรก$\left|\,x-\frac{4}{x} \right| = x-\frac{4}{x}$ เมื่อ $x-\frac{4}{x} \geqslant 0$
ได้ช่วงค่า$x$ เท่ากับ $x\geqslant 2,x\leqslant -2$
$x-\frac{4}{x}\leqslant 3$
$x^2-3x-4\leqslant0$
$(x-4)(x+1)\leqslant0$
$x\geqslant 4,x\leqslant -1$
เทียบกับขอบเขตที่หาไว้ก่อน จะได้ว่า $x\geqslant 4,x\leqslant -2$

กรณีที่สอง$\left|\,x-\frac{4}{x} \right| = -(x-\frac{4}{x})$ เมื่อ $x-\frac{4}{x} < 0$
ได้ช่วงค่า$x$ เท่ากับ $ -2<x<2$
$x-\frac{4}{x}\geqslant -3$
$x^2+3x-4\geqslant0$
$(x+4)(x-1)\geqslant0$
$x\geqslant1,x\leqslant -4$
เทียบกับขอบเขตที่หาไว้ก่อน จะได้ว่า $1\leqslant x<2$

ค่าของ$x$ คือ $x\geqslant 4,1\leqslant x<2,x\leqslant -2$

คำตอบไม่จริงนะครับ ลองแทน x เป็น 5 หรือ -10 ดูก็ได้ครับ
แก้โดยใช้นิยามของ absolute เลยก็ได้ครับ แล้วแบ่งกรณีเอา
$|x| \leqslant a$ จะได้ว่า $-a \leqslant x \leqslant a$

[กิตติ]

ดูเครื่องหมายผิดครับ.....เดี๋ยวขอกลับไปแก้คำตอบใหม่ครับ

[iamtonz]

ของคุณกิตติเหมือนคำตอบขาดหรือป่าวครับ หรือผมคิดผิดอะครับ

ผมคิดแบบนี้นะครับ
กำหนดให้ $x\not= 0$
ใช้สมบัติค่าสัมบูรณ์จะได้ว่า
$-3\leqslant x-\frac{4}{x}\leqslant 3 $
$แยกคิด สองกรณี คือ x-\frac{4}{x}\geqslant -3 และ x-\frac{4}{x}\leqslant 3$
$ \frac{x^2-4}{x}\geqslant -3 และ \frac{x^2-4}{x}\leqslant 3$
$คูณด้วย x^2 ทั้งสองข้างของอสมการ$
$(ผมไม่แน่ใจว่า x เป็นค่าบวกหรือลบ ผมจึงใช้ x^2 ในการคูณ เพราะ x^2>0 และ เพื่อป้องกันคำตอบหาย)$
$ x^3-4x\geqslant -3x^2 และ x^3-4x\leqslant 3x^2$
$x^3+3x^2-4x\geqslant 0 และ x^3-3x^2-4x\geqslant 0$
$x(x^2+3x-4)\geqslant 0 และ x(x^2-3x-4)\geqslant 0$
$x(x+4)(x-1)\geqslant 0 และ x(x-4)(x+1)\geqslant 0$

เขียนกราฟ (เอาแบบพอดูได้นะ 555)
อสมการแรก
.............ทึบ________โปล่ง.................ทึบ______
________,___________,____________,_______
.....-......-4........+......0..........-........1.....+
อสมการสอง
________ทึบ...............โปล่ง_________ทึบ
________,___________,____________,_______
.....-......-1........+......0..........-........4.....+



นำมาอินเตอร์เซกกันจะได้ $ -4\leqslant x\leqslant -1 หรือ 1\leqslant x\leqslant 4$

ดังนั้นคำตอบของสมการคือ$-4\leqslant x\leqslant -1 หรือ 1\leqslant x\leqslant 4$

ช่วยดูข้อผิดพลาดให้หน่อยนะครับ
ลืมๆเลือนๆไปอยู่เหมือนกัน

[aiampond]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อนี้ให้หาว่าจำนวนอะไรที่อยู่ระหว่าง $1-100$ ที่ $3,7,21$ หารไม่ลงตัว
หาว่ามีจำนวนไหนที่ $21$ หารลงตัวก่อนมี $4 $จำนวน
มีจำนวนไหนที่ $3$ หารลงตัวก่อนมี $11 $จำนวน
มีจำนวนไหนที่ $7$ หารลงตัวก่อนมี $14 $จำนวน
รวมแล้ว $29$ จำนวน

$n(A) = 100-29 = 71$ จำนวน

แก้สักนิดนะครับ ดังรูปนะครับ จะได้เป็น

100 - 21 = 79 ครับ