marathon:ม.ปลาย

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

งั้นลองตั้งดูเล่นๆนะครับ
แต่คำตอบคงไม่สวยเท่าไหร่
กำหนดให้ $x_1+\frac{2}{x_2} =1, x_2+\frac{2}{x_3} =8, x_3+\frac{2}{x_4} =1, ...
,x_{100}+\frac{2}{x_1} =8$
จงหาค่า $x_1+x_2+...+x_{100}$

ถ้ามองแบบคุณกระบี่ก็จะได้ $x_1=x_3=x_5=...=x_{99}=\frac{1}{2}$
และ $x_2=x_4=x_6=...=x_{100}=4$
ดังนั้น $x_1+x_2+x_3+...+x_{100}=225$

[Siren-Of-Step]

ผมคิดได้ 225 อะครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

คุณpoperคงรีบไปนิดหน่อยครับ
ขอบคุณ คุณน้องsiren of step ที่เอาโจทย์สวยๆมาแบ่งปันนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ตอบ 5เหรียญครับ
$P(ออกหัวอย่างน้อย 2 เหรียญ)=P(ไม่ออกหัวเลย)+P(ออกหัว 1 เหรียญ)+P(ออกหัว 2 เหรียญ)$
$=\frac{1}{2^n}+\frac{n}{2^n}+\frac{n(n-1)}{2\cdot 2^n}$
$=\frac{n^2+n+2}{2\cdot 2^n}=\frac{1}{2}$
$n^2+n+2=2^n$
พบว่า $5^2+5+2=2^5$ ดังนั้น $n=5$ ครับ

น่าจะพิมพ์ว่าอย่างมากไหมครับ

[Siren-Of-Step]

เอาโจทย์มาแบ่งต่อ
ให้ $a>0$ และให้ $P(x)$ เป็นพหุนามซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดย
$P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a$
$P(2)=P(4)=P(6)=P(8)= - a$

ค่าของ $a$ ที่น้อยที่สุดเป็นเท่าใด

[poper]

รีบไปหน่อยโทษทีครับ
แก้แล้วนะครับ

[tongkub]

ขอขุดหน่อยนะครับ

จงหาจำนวนซับเซต ของ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }โดยไม่ให้เลข 2 ตัวใดๆติดกัน
เช่น {1 , 2 } ไม่ได้ครับ
{ 1 ,3 ,5 } ได้่ครับ
{1 , 6 , 7 } ไม่ได้ครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ขอขุดหน่อยนะครับ

จงหาจำนวนซับเซต ของ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }โดยไม่ให้เลข 2 ตัวใดๆติดกัน
เช่น {1 , 2 } ไม่ได้ครับ
{ 1 ,3 ,5 } ได้่ครับ
{1 , 6 , 7 } ไม่ได้ครับ

มีตัวเดียวได้ไหมครับ

[tongkub]

ได้ครับ เซตว่างก็ได้เช่นกันครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

เอาโจทย์มาแบ่งต่อ
ให้ $a>0$ และให้ $P(x)$ เป็นพหุนามซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดย
$P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a$
$P(2)=P(4)=P(6)=P(8)= - a$

ค่าของ $a$ ที่น้อยที่สุดเป็นเท่าใด

ลูกหลับแล้วแอบย่องมาทำข้อนี้ หลังจากกระทู้นี้หลับไปนาน
จาก$P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a$
ได้$p(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)M(x)+a$...$(1)$
จาก$P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=a$
ได้$p(x)=(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)N(x)-a$...$(2)$
นำ$(1)+(2)$
ได้$2p(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)M(x)+(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)N(x)$
แทน$x=1$ได้$2a=105N(1)$
แทน$x=3$ได้$2a=-15N(3)$
แทน$x=5$ได้$2a=9N(5)$
แทน$x=7$ได้$2a=-15N(7)$
แทน$x=2$ได้$-2a=15M(2)$
แทน$x=4$ได้$-2a=9M(4)$
แทน$x=6$ได้$-2a=-15M(6)$
แทน$x=8$ได้$-2a=105M(8)$
ถ้า$p(x)$มีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนเต็ม
เทอม $N(1),N(3),N(5),N(7),M(2),M(4),M(6),M(8)$
ต้องมีค่าเป็นจำนวนเต็มด้วย
สรุปว่าค่า$a$น้อยที่สุดคือค.ร.น.ของ 9 ,15,105ตอบ 315

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ขอขุดหน่อยนะครับ

จงหาจำนวนซับเซต ของ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }โดยไม่ให้เลข 2 ตัวใดๆติดกัน
เช่น {1 , 2 } ไม่ได้ครับ
{ 1 ,3 ,5 } ได้่ครับ
{1 , 6 , 7 } ไม่ได้ครับ

ลองแจกดูแล้วได้ 34 สับเซตอ่ะครับ
1) สมาชิก 0 ตัว มี $\phi$ (1เซต)
2) สมาชิก 1 ตัว มี $1,2,3,4,5,6,7$ (7 เซต)
3) สมาชิก 2 ตัว มี $(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),
(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),
(3,5),(3,6),(3,7),
(4,6),(4,7),
(5,7)$ (15เซต)
4) สมาชิก 3 ตัว มี $(1,3,5),(1,3,6),(1,3,7),(1,4,6),(1,4,7),
(1,5,7),(2,4,6),(2,4,7),(2,5,7),(3,5,7)$ ( 10 เซต)
5) สมาชิก 4 ตัว มี $(1,3,5,7)$ (1 เซต)
เซตที่มีสมาชิก 5 ตัวขึ้นไปไม่สมารถสร้างโดยไม่มีเลขติดกันได้
ดังนั้นรวมทั้งหมดมี 34 สับเซต

[tongkub]

ถูกแล้วครับแต่มีวิธีคิดข้อนี้แบบเร็วๆไหมครับ

ที่ผมคิดไว้มี 2 วิธีอ่าครับ

1.คิดแบบแยกแล้วลบออก
คือ กรณี 2 เซต = ทั้งหมดแล้วลบออกด้วยพวก 12_ 23_ 34_ เพราะว่าเป็นเซตเมื่อสลับที่ไม่เกิดวิธีใหม่ แต่ไม่ต่างกับไล่วิธีตรงเลยครับ
2.เสียบลูกชิ้น เราก็ไล่ไป ว่าต้องเสียบกี่ตัว ถึงจะไม่ติดกัน แต่ผมว่าวิธีนี้มันทะแม่งๆอยู่ยังไงไม่รู้เลยครับ เหมือนมันผิดมากๆ

ปล.เชิญคุณ proper ตั้งข้อต่อไปเลยครับ จะได้ไม่เงียบเหงา

[-InnoXenT-]

1. Let $r,s,t$ be the roots of $x^3+ax^2+bx+c=0$

Determine $(rs)^2+(st)^2+(rt)^2$

2. Given that $x,y,k \in \mathbf{R}^{+}$ and

$$3=k^2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+k(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$

Find the maximum possible value of $k$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

1. Let $r,s,t$ be the roots of $x^3+ax^2+bx+c=0$

Determine $(rs)^2+(st)^2+(rt)^2$

ข้อ 1 ครับ $x^3+ax^2+bx+c=(x-r)(x-s)(x-t)=0$
จะได้ว่า $r+s+t=-a , rs+st+tr=b , rst=-c$
จาก $rs+st+tr=b$ ยกกำลัง2 ทั้ง2ข้าง
$(rs)^2+(st)^2+(tr)^2+2(rs^2t+st^2r+tr^2s)=b^2$
$(rs)^2+(st)^2+(tr)^2+2(rst)(s+t+r)=b^2$
$(rs)^2+(st)^2+(tr)^2+2(-c)(-a)=b^2$
$(rs)^2+(st)^2+(tr)^2+=b^2-2ac$

[poper]

ข้อ 2 ของคุณ -InnoXenT- ครับ
$$3=k^2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+k(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$ ให้ $\frac{x}{y}=t$
$$3=k^2(t^2+\frac{1}{t^2})+k(t+\frac{1}{t})$$
$$3=k^2[{(t+\frac{1}{t})}^2-2]+k(t+\frac{1}{t})$$ ให้ $t+\frac{1}{t}=A$
$$3=k^2(A^2-2)+kA$$
$$(A^2-2)k^2+kA-3=0$$
$$k=\frac{-A\pm\sqrt{13A^2-24}}{2(A^2-2)}$$
เนื่องจาก k>0
$$k=\frac{-A+\sqrt{13A^2-24}}{2(A^2-2)}$$
ค่า A ที่เป็นไปได้คือ $13A^2-24\geqslant 0$----------->$A\geqslant \frac{2\sqrt{78}}{13}$
ค่า k จะมากสุดเมื่อ A มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้น $A=\frac{2\sqrt{78}}{13}$
แทนค่า A ได้
$$k=\frac{\sqrt{78}}{2}$$
ไม่รู้ถูกป่าวครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

เนื่องจาก k>0
$$k=\frac{-A+\sqrt{13A^2-24}}{2(A^2-2)}$$
ค่า A ที่เป็นไปได้คือ $13A^2-24\geqslant 0$----------->$A\geqslant \frac{2\sqrt{78}}{13}$
ค่า k จะมากสุดเมื่อ A มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้น $A=\frac{2\sqrt{78}}{13}$
แทนค่า A ได้
$$k=\frac{\sqrt{78}}{2}$$
ไม่รู้ถูกป่าวครับ

ค่าขอบเขตล่างของ $A$ ที่เป็นไปได้ยังน้อยเกินไปครับ ควรหยิบทั้งก้อนสีแดงมาจับให้มากกว่า $0$

แล้วแก้อสมการหาขอบเขตล่างของ $A$ จริงๆแล้วเราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $A\geq 2 \Leftrightarrow \Big(\sqrt{t}-\dfrac{1}{\sqrt{t}}\Big)^2\geq 0$

ถ้าใช้อสมการที่ผมกล่าวมาข้างต้นก็จะง่ายขึ้นเยอะเลยครับ

เนื่องจาก $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\geq 2,\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\geq 2$

เราจะได้ว่า

$3=k^2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+k(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

$~~\geq 2k^2+2k$

แก้อสมการหาค่า $k$ ได้ว่า $\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2}\leq k\leq\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}$

ดังนั้น ค่ามากสุดของ $k$ คือ $\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}$ สมการเกิดขึ้นได้จริงเมื่อ $x=y$

ใครอยากตั้งโจทย์ต่อก็เชิญเลยครับ