|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#181
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
พิจารณา $\cos x-\cos y = \sin (x+y)$ $\Rightarrow -2\sin (\frac{x+y}{2})\sin (\frac{x-y}{2}) = 2\sin (\frac{x+y}{2})\cos (\frac{x+y}{2}) = 0$ $\Rightarrow \sin (\frac{x+y}{2})(\sin (\frac{x-y}{2}) + \cos (\frac{x+y}{2})) = 0$ $\Rightarrow \sin (\frac{x+y}{2}) = 0$ หรือ $\sin (\frac{x-y}{2}) + \cos (\frac{x+y}{2}) = 0$ $1^{st}$case: $\sin (\frac{x+y}{2}) = 0$ จะได้ว่า $x+y = 2n\pi$ เมื่อพิจารณาร่วมกับสมการ $|x|+|y|=\frac{\pi}{4}$ โดยการแยกกรณี จะพบว่า $(x,y) = (\frac{\pi}{8},-\frac{\pi}{8}), (-\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{8})$ เท่านั้นที่เป็นคำตอบ $2^{nd}$case: $\sin (\frac{x-y}{2}) + \cos (\frac{x+y}{2}) = 0 \Leftrightarrow \cos (\frac{x+y}{2}) = \sin (\frac{y-x}{2}) \Rightarrow \frac{1+\cos (x+y)}{2} = \frac{1-\cos (y-x)}{2}$ $\Rightarrow \cos (x+y)+\cos (y-x) = 0$ $\Rightarrow \cos x\cos y = 0 \Rightarrow x= 2k_1\pi\pm \frac{\pi}{2} \vee y= 2k_2\pi\pm \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x+y \in \{(2k_1+2k_2+1)\pi, (2k_1+2k_2)\pi, (2k_1+2k_2-1)\pi\}$ เมื่อพิจารณาโดยแยกกรณีร่วมกับสมการ (2) จะพบว่าไม่มีคำตอบ ดังนั้น $(x,y) = (\frac{\pi}{8},-\frac{\pi}{8}), (-\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{8})$
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> |
#182
|
||||
|
||||
เฉลยข้อ 63&65
โทดทีครับ ถ้าเฉลยช้า ผมคิดว่ายังมีบางคนกำลังคิดอยู่ครับ
เฉลย ข้อ 63. Solution ให้ $k\in\left\{1,2,3,...,n-1\right\}$ จากนั้น คูณ สมการ ที่ i ด้วย $\sin k\frac{i\pi}{n}$ ทั้งหมด n-1 สมการ แล้วจับสมการทั้งหมดบวกกัน จะได้ว่า $$A_1x_1+A_2x_2+...+A_{n-1}x_{n-1} = a_1\sin k\frac{\pi}{n}+a_2\sin k\frac{2\pi}{n}+...+a_{n-1}\sin \frac{(n-1)\pi}{n}$$ และ $$A_i = \sum_{m = 1}^{\ n-1} \sin i\frac{m\pi}{n}\sin k\frac{m\pi}{n}$$ และ เราจะได้ว่า $A_i = 0$ ถ้า $i\not= k$ และ $A_i = \frac{n}{2}$ ถ้า $i = k$ ดังนั้น $$x_k = \frac{2}{n} (a_1\sin k\frac{\pi}{n} + a_2\cos k\frac{2\pi}{n}+...+a_{n-1}\sin k\frac{(n-1)\pi}{n})$$ โดยที่ $k=1, 2, 3, ... ,n-1$ เฉลยข้อ 65 Solution ให้ $u = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}+1)i.}{4}$ และ $w = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)i.}{4}$ จะได้ว่า $z = \frac{u}{w}$ เนื่องจาก $u = \cos 54^{\circ} + i\sin 54^{\circ}$ และ $w = \cos 18^{\circ} + i\sin 18^{\circ}$ จึงได้ว่า u และ w เป็นรากที่ 20 ของ 1 ดังนั้น $z^{20}=(\frac{u}{w})^{20} = \frac{u^{20}}{w^{20}} = 1$ พิจารณา $2551^{2552}\equiv 1\pmod{5}$ และ $2007^{2008}\equiv 1\pmod{5} \Rightarrow 2551^{2552}-2007^{2008}\equiv 0\pmod{5}$ ในทำนองเดียวกัน จะได้ $2551^{2552}-2007^{2008}\equiv 0\pmod{4}$ ดังนั้น $2551^{2552}-2007^{2008}\equiv 0\pmod{20}$ $$\frac{z^{2551^{2552}}}{z^{2007^{2008}}} = z^{2551^{2552}-2007^{2008}} = z^{20k} = 1^k = 1$$
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> 21 พฤษภาคม 2008 12:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Brownian |
#183
|
||||
|
||||
เฉลยข้อ 60
Solution ให้ $\frac{\sin x}{a}=\frac{\sin y}{b}=\frac{\sin z}{c}=k$ จะได้ $\sin x=ak, \sin y=bk, \sin z=ck$ และ $\sin z=\sin (\pi-(x+y))=\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$ ดังนั้น จะได้ว่า $a\cos y+b\cos x=c$ และ $b\cos z+c\cos y=a$ และ $c\cos x+a\cos z=b$ เมื่อแก้ระบบออกมา จะได้ $\cos x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\cos y=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$, $\cos z=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ ดังนั้น $$x=\cos^{-1}(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}), y=\cos^{-1}(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}), z=\cos^{-1}(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})$$
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> |
#184
|
||||
|
||||
มาเสริมโจทย์ครับ เห็นกระทู้มันเงียบ ๆ
71.Prove that $\sum\nolimits_{k = 1}^{38} sin{\frac{{k^8 \pi }}{{38}}} = \sqrt {19} $ 26 พฤษภาคม 2008 11:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anonymous314 เหตุผล: Add sine |
#185
|
|||
|
|||
ผมจำได้ว่า วิธีทำข้อ 71 นี้ ต้องใช้ group theory มาช่วย
หรือคุณ Anonymous314 มีวิธีที่ง่ายกว่าครับ อยากเห็นจังเลย
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#186
|
||||
|
||||
คุณ passer-by ช่วยแสดงวิธีที่ใช้ group theory ได้ไหมครับ
|
#187
|
|||
|
|||
ไม่รู้จะอธิบายยังไงดีครับ น่าจะมีคนอื่นที่นี่ อธิบายเรื่องนี้ได้ดีกว่าผมนะ
ที่ผมจำได้เพราะ ผมเคย post คำถามข้อนี้ แล้วก็เอา solution มาให้ดูครั้งนึงแล้ว ลอง click อ่านเองดูนะครับ CLICK
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#188
|
||||
|
||||
ผมก็เอาโจทย์มาจากที่นี่เหมือนกับคุณ passer-by เหมือนกันครับ
เป็นโจทย์ของ Missouri Journal of Mathematics and Science 1990 แต่ผมหา Solution ไม่เจอครับ ว่าแต่คุณ passer-by เอามาจากที่ไหนครับ solution Edit:เจอแล้วครับ 26 พฤษภาคม 2008 23:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anonymous314 |
#189
|
|||
|
|||
เจอแล้วครับ จะได้ไม่ต้อง upload file อีกรอบในอนาคต
เข้าไปที่ web ด้านล่าง แล้วลอง click ตรง solutions ครับ MJMS อืมม...ไม่ได้ post นานแล้ว งั้นขอต่อด้วยข้อ 72 นะครับ หาค่า $$ \sum_{k=1}^{89} \cos^{2008} k^{\circ}$$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#190
|
||||
|
||||
ข้อ 71 ยากดีแท้ หะหะ
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> |
#191
|
||||
|
||||
ข้อ 72 ทำไงหรอครับ ทำไม่ได้ ห่ะห่ะ...
เอาข้อ 73 ที่ง่ายกว่า มาฝากครับ 73. จงพิสูจน์ว่า $169\sqrt{13}\sin({5\arctan\frac{2}{3}})=122$
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> |
#192
|
|||
|
|||
HINT :ใช้ complex number มาช่วยครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#193
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
\tan \theta = \frac{2}{3} \] จะได้ \[ \sin \theta = \frac{2}{{\sqrt {13} }} \] และ \[ \cos \theta = \frac{3}{{\sqrt {13} }} \] จะได้\[ 169\sqrt {13} \sin \left( {5\arctan \frac{2}{3}} \right) = 169\sqrt {13} \sin \left( {5\theta } \right) \] \[ = 169\sqrt {13} \sin \left( {3\theta + 2\theta } \right) \] \[ = 169\sqrt {13} \left( {\sin 3\theta \cos 2\theta + \cos 3\theta \sin 2\theta } \right) \] \[ = 169\sqrt {13} \left( {\left( {3\sin \theta - 4\sin ^3 \theta } \right)\left( {\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta } \right) + \left( {4\cos ^3 \theta - 3\cos \theta } \right)\left( {2\sin \theta \cos \theta } \right)} \right) \] แทนค่า จะได้ \[ 169\sqrt {13} \sin \left( {5\arctan \frac{2}{3}} \right) = 169\sqrt {13} \left( {\left( {3\left( {\frac{2}{{\sqrt {13} }}} \right) - 4\left( {\frac{2}{{\sqrt {13} }}} \right)^3 } \right)\left( {\left( {\frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right)^2 - \left( {\frac{2}{{\sqrt {13} }}} \right)^2 } \right) + \left( {4\left( {\frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right)^3 - 3\left( {\frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right)} \right)\left( {2\left( {\frac{2}{{\sqrt {13} }}} \right)\left( {\frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right)} \right)} \right) = 122 \] |
#194
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับที่อัพเดทกระทู้ หลังจากหายไปเกือบ 6 เดือนเต็มของกระทู้นี้
|
#195
|
||||
|
||||
ไม่ได้มาดูนานมาก
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|