|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#166
|
||||
|
||||
62. $\arctan(\frac{2k}{2+k^2+k^4})=\arctan(\frac{(n^2+n+1)-(n^2-n+1)}{1+(n^2+n+1)(n^2-n+1)})=\arctan(n^2+n+1)-\arctan(n^2-n+1)$
ดังนั้นsumก็คือ $\arctan(3)-\arctan(1)+\arctan(7)-\arctan(3)+ \cdots +\arctan(n^2+n+1)-\arctan(n^2-n+1) $ = $\arctan(n^2+n+1)-\arctan(1)$
__________________
I'm kak. |
#167
|
||||
|
||||
ขอต่อจากคุณ Tohn อีกนิดนึงนะครับ
$arctan(n^2+n+1)-arctan(1)=arctan(\frac{n^2+n+1-1}{1+(n^2+n+1)(1)})=arctan(\frac{n^2+n}{n^2+n+2})$ |
#168
|
||||
|
||||
65.
$$z=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}+1)i}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)i}$$ $$z=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}+1)i}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)i}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)i}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)i}\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)i}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)i}$$ $$= \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)i}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)i}$$ จะได้ว่า $$\bar z = \frac{1}{z}$$ นั่นคือ $${\vert z \vert}^2=1$$ ดังนั้น $$\frac{z^{2551^{2552}}}{z^{2007^{2008}}}=\frac{z^{2552}}{z^{2008}}=1$$ ข้อ63ให้ทำอะไรหรอคับ
__________________
I'm kak. 03 พฤษภาคม 2008 04:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Tohn เหตุผล: latex |
#169
|
||||
|
||||
คิดว่าหาค่า $x_i$ ของแต่ละ $x_i$ นะครับ
|
#170
|
||||
|
||||
ข้อ 61. เห็นยังไม่มีเฉลยๆขอโพสเลยนะคับ
พิจารณา $\frac{1}{2}\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1-(1-\tan^2\frac{\alpha}{2})}{2\tan\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2}\cot\frac{\alpha}{2}-\cot\alpha$ เพราะฉะนั้น $$\frac{1}{2}\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\cot\frac{\alpha}{2}-\cot\alpha\qquad(1) $$ จาก $(1)$ คูณตลอดด้วย $\frac{1}{2}$และแทน$\alpha$ด้วย$\frac{\alpha}{2}$จะได้$$\frac{1}{4}\tan\frac{\alpha}{4}=\frac{1}{4}\cot\frac{\alpha}{4}-\frac{1}{2}\cot\frac{\alpha}{2}\qquad(2) $$ จาก $(2)$ คูณตลอดด้วย $\frac{1}{2}$และแทน$\alpha$ด้วย$\frac{\alpha}{2}$จะได้$$\frac{1}{8}\tan\frac{\alpha}{8}=\frac{1}{8}\cot\frac{\alpha}{8}-\frac{1}{4}\cot\frac{\alpha}{4}\qquad(3) $$ $$\cdot$$ $$\cdot$$ ในทำนองเดียวกันก็จะได้$$\frac{1}{2^n}\tan\frac{\alpha}{2^n}=\frac{1}{2^n}\cot\frac{\alpha}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}\cot\frac{\alpha}{2^{n-1}}\qquad(n) $$ นำสมการที่ได้ทั้งหมดมาบวกกันจะได้$$ \frac{1}{2} \tan\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{4}\tan \frac{\alpha}{4}+ \cdots+ \frac{1}{2^{n}}\tan\frac{\alpha}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n}}\cot \frac{\alpha}{2^{n}}-\cot\alpha $$ นำ $\tan\alpha$ บวกทั้งสองข้าง ได้ $$\tan\alpha+\frac{1}{2}\tan\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}\tan\frac{\alpha}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\tan\frac{\alpha}{2^n}=\frac{ 1}{2^{n}}\cot\frac{\alpha}{2^{n}}-(\cot\alpha-\tan\alpha)$$ $$=\frac{1}{2^{n}}\cot\frac{\alpha}{2^n}-(\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha})=\frac{1}{2^{n}}\cot\frac{\alpha}{2^n}-2\cot2\alpha$$
__________________
I'm kak. 03 พฤษภาคม 2008 07:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Tohn เหตุผล: ภาษา |
#171
|
||||
|
||||
ข้อ 65 อีกวิธีนึงครับ
จะพบว่า $z=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}+1)i}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)i}=\frac{cos\frac{3\pi}{10}+isin\frac{3\pi}{10}}{cos\frac{\pi}{10}+isin\frac{\pi}{10}}=cos\frac{2\pi}{10}+isin\frac{2\pi}{10}$ จาก $2551^{2552}$ ลงท้ายด้วย $1$ และ $2007^{2008}$ ลงท้ายด้วย $1$ $\therefore 10|2551^{2552}-2007^{2008}$ $\therefore\frac{z^{2551^{2552}}}{z^{2007^{2008}}}=(cos\frac{2\pi}{10}+isin\frac{2\pi}{10})^{2551^{2552}-2007^{2008}}$ $=cos2k\pi+isin2k\pi$ เมื่อ $10k=2551^{2552}-2007^{2008}$ ดังนั้น $k\in\mathbb{Z}$ $=1$ 03 พฤษภาคม 2008 17:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin |
#172
|
||||
|
||||
เห็นกระทู้มันเงียบๆ บวกกับยังทำข้อ 63 ไม่ได้ ก็เลยฝากโจทย์ที่(คิดว่า)ไม่ยากมาเพิ่มครับ
66.หาคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมดที่ทำให้ $|sinx+cosx|=\sqrt{2}(y^2+2y+2)$ 67.ถ้า $A,B,C$ เป็นมุมทั้งสามของสามเหลี่ยม จงพิสูจน์ว่า $tan^2\frac{A}{2}+tan^2\frac{B}{2}+tan^2\frac{C}{2}\geq 1$ 68.ให้ $A\in (0,\pi )$ และ $B\in (0,\pi )$ และ $cosAcosBcos(A+B)=-\frac{1}{8} จงหา\frac{A}{B}$ 69.ให้ $2sinxcosy=cos^{2}x-cos^{2}y$ และ $2cosxsiny=1.5$ โดยที่ $0\leqslant x\leqslant \pi$ และ $0\leqslant y\leqslant \pi$ จงหาค่าของ $x-y$ 70.จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ $cosx-cosy=sin(x+y)\cdots \cdots (1)$ และ $\left| x \right| + \left| y \right|=\frac{\pi }{4}\cdots \cdots (2)$ |
#173
|
||||
|
||||
>,<
ของม.ไหนหรอคะเนี่ย U__________U
__________________
ยิ้มเท่านั้นที่ครองโลก
5555 |
#174
|
||||
|
||||
67.$(\tan\frac{A}{2}-\tan\frac{B}{2})^2+(\tan\frac{B}{2}-\tan\frac{C}{2})^2+(\tan\frac{C}{2}-\tan\frac{A}{2})^2 \geq 0 $
$\tan^2\frac{A}{2}+\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2} \geq \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}$ และจาก $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}$ ดังนั้น$\tan(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})=\tan(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2})$ $\frac{\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}}{1-\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}=\frac{1}{\tan\frac{C}{2}}$ $\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1$ เพราะฉะนั้น $\tan^2\frac{A}{2}+\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2} \geq 1$ -------------------------------------------------------------------- ข้อ 66กับ69 ใช่ตอบอย่างงี้มั้ยคับ ไม่อยากพิมพ์เยอะๆแล้วลบ อิๆ 66.$({180^\circ}n+{45^\circ},-1)$ 69.$270^\circ$
__________________
I'm kak. |
#175
|
||||
|
||||
ข้อ 66 ถูกครับ แต่ข้อ 69 นี่... ยังไม่ถูกครับ
(แล้วคราวหน้าคิดว่าตอบเป็นแบบ radian จะดีกว่าครับ) |
#176
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> |
#177
|
||||
|
||||
ทำไม $x\not =y$ ครับ?
|
#178
|
||||
|
||||
เอาวิธีทำมาแปะอีก2ข้อคร้าบ
66. จัดรูปใหม่จะได้ $\vert \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \vert -1=(y+1)^2 $ $\vert \sin(x+\frac{\pi}{4}) \vert -1 = (y+1)^2$ $\vert \sin(x+\frac{\pi}{4}) \vert \geq 1$ $\because -1\leq \sin\theta \geq 1$ จะได้ $\sin(x+\frac{\pi}{4})=1,-1$ $(n\pi+\frac{\pi}{4},-1)$ ------------------------------------- 68. $2\cos A\cos B\cos(A+B)=-\frac{1}{4}$ $$4\cos^2(A+B)+4\cos(A-B)\cos(A+B)+1=0$$ เนื่องจาก $\cos(A+B)$เป็นจำนวนจริง ดังนั้น discriminant เท่ากับ 0 จาก $0<A<\pi$ , $0<B<\pi$ จะได้ A-B=0 เพราะฉะนั้น $\frac{A}{B}=1$
__________________
I'm kak. |
#180
|
||||
|
||||
ุคุณ brownian ช่วยเฉลยข้อ 63 กับข้อ 70 ด้วยจะได้ไหมครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|