|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#151
|
|||
|
|||
47. จงหาค่าของ $$\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\cdots }$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 30 กันยายน 2006 09:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#152
|
||||
|
||||
ผมคิดได้แบบนี้อะครับ
$$S=\int_0^1 \frac{1+x+x^2+x^3-x^4-x^5-x^6-x^7}{1-x^8}\ dx$$ Compute by Mathematica $$\frac{(1+2\sqrt2)\pi+\ln 4}{8}$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#153
|
|||
|
|||
อธิบายเพิ่มเติมจากน้อง Mastermander นะครับ
เราสามารถเขียน integrand ได้ใหม่เป็น $\frac{1+x+x^2+x^3}{1+x^4} $ (โดยดึงตัวร่วมและใช้ผลต่างกำลังสอง) จากนั้นก็ integrate แยก 3 ส่วนดังนี้ครับ $$ S= \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4}\, dx + \int_0^1 \frac{x}{1+x^4}\, dx +\int_0^1 \frac{x^3}{1+x^4}\, dx $$ เทอมที่ 2 กับ 3 คงจะ integrate ได้ไม่ยากนัก ส่วนเทอมที่ 1 ให้นำ $x^2$ หารทั้งเศษและส่วนก่อน แล้วจึงให้ $ u= x-\frac{1}{x} $ ....สุดท้ายจะสามารถเปลี่ยนให้กลายเป็น $$ \int_{-\infty}^0 \frac{1}{u^2+2}\, du $$ ซึ่งอินทิเกรตได้อย่างง่ายดาย
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#154
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณ passer-by มากครับ ที่ช่วยแนะนำทางที่ดีกว่า
ตอนแรกผม partial fraction พอเห็นแล้วก็...กดเครื่องเลยดีกว่า 48. คำนวน $$\int _0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xy} \ dxdy$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#155
|
|||
|
|||
เป็นเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปรที่น่าทึ่งจริงๆครับคุณ passer-by
48. คงต้องใช้ Fubini's Theorem อีกแล้วครับ $\displaystyle{ \int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1-xy}dxdy }$ $\displaystyle{ = \int_0^1(\int_0^1 \frac{1}{1-xy}dx) }dy$ $\displaystyle{ = - \int_0^1 \frac{\ln{(1-y)}}{y} dy }$ $\displaystyle{ = \int_0^1 \frac{1}{y}(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}) dy }$ $\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{y^{n-1}}{n} dy }$ $\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} }$ $\displaystyle{ = \frac{\pi^2}{6} }$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#156
|
|||
|
|||
เปลี่ยนเป็นแนวอนุพันธ์บ้างดีกว่า (ขอฉวยโอกาศแทน nooonuii แล้วกัน)
49. ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงนิยามบนช่วงปิด $[0,1]$ ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ และสอดคล้องสมการ \[ f''(x)+xf'(x)=(f(x))^2 \] และ $f(0)=f(1)=0\,\,$ จงพิสูจน์ว่า $f(x)\equiv0$ (ไม่เกินความรู้ Calculus 1 แน่นอนครับผม) 04 ตุลาคม 2006 13:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#157
|
|||
|
|||
เพิ่งเห็นว่ามีโจทย์ของพี่ Punk ครับ งั้นแถมข้อนี้ด้วยละกัน
50. จงหาค่าของ $$\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{(4n)!} +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+1)!}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+2)!}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+3)!}}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 01 ตุลาคม 2006 11:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#158
|
||||
|
||||
$$ BesselI[-\frac{1}{2},1]$$
$$ BesselJ[-\frac{1}{2},1]$$ มันคืออะไรครับ (ผลจากการแอบกดเครื่องมา)
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#159
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#160
|
||||
|
||||
เห็นคำตอบแล้วผมคงทำข้อนี้ไม่ได้หรอกครับ
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#161
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ความฉลาดของผมไม่สามารถสร้างโจทย์ที่ผมแก้ไม่ได้ครับ ถ้าผมไม่ได้คิดอะไรผิดนะครับ เพราะเป็นโจทย์ที่ผมตั้งเอง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#162
|
|||
|
|||
ตอนแรกนึกว่าโจทย์ของคุณ nooonuii ผิด แต่ตอนนี้คิดออกแล้วครับว่าคำตอบคือ $$ e + \frac1e + \sin 1 + \cos 1 $$ เป็นโจทย์ที่สวยงามมากครับ
|
#163
|
||||
|
||||
หลังจากที่กด Mathematica เห็นตอบก็..เลิกล้มความคิดที่จะทำ
แต่พอมาถามน้องเปิ้ล...กลับได้คำตอบที่ง่ายกว่า
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#164
|
||||
|
||||
51.$$ \frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}+2y=4e^{-x}\sec^3x $$
when$\quad; y(0)=1\quad,y'(0)=0$ Determine $\;y(x)$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#165
|
||||
|
||||
ปัญหา ODE ข้อนี้ไม่น่ารวมเป็น Calculus นะครับ อิอิ แถมยังป่าเถื่อนไม่เบาทีเดียวครับ หุหุ
\[ y''(x) + 2y'(x)+2y(x)=4e^{-x}\sec^3 x\] พิจารณากรณี Homogeneous \[ y''(x) + 2y'(x)+2y(x) = 0 \] ให้ $y=e^{mx}$ จะได้ \[ m^2+2n+2=0 \rightarrow m= -1\pm j\] ได้ Complementrary solution เป็น \[ y_c(x) = c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\] โดยที่ \[ y_1(x) = e^{-x}\cos x , \quad y_2(x)=e^{-x} \sin x\] หา particular solution โดยวิธีการ parameter variation โดย $ y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)$ หา $u_1(x), u_2(x)$ จาก \[ \bmatrix{y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2}\bmatrix{u_1' \\ u'_2 } = \bmatrix{0 \\ 4e^{-x} \sec^3x }\] แก้สมการมา (ถ้าผมทำไม่ผิดจะได้) \[ u_1(x) = -2\sec ^2 x, \quad \quad u_2(x)=4\tan x\] ดังนั้น \[ y(x) = y_c(x)+y_p(x) = e^{-x}(c_1\cos x+ c_2 \sin x) -2e^{-x}\cos x \sec^2 x +4e^{-x}\tan x\sin x\] หาค่า $c_1,c_2$ จากการแทนค่า initial condition $y(0)=1,y'(0)=0$ ครับ (ทำต่อเองนะครับกระผมหมดแรงแล้ว แหะๆ)
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Inequality Marathon | nongtum | อสมการ | 155 | 17 กุมภาพันธ์ 2011 00:48 |
|
|