#151
|
|||
|
|||
แนวคิดของผมก็ไม่มีอะีไรมากครับ
$a_1 = 1+2 = (1+2) - (0) $ $a_2 = 3+4+5+6 = (1+2+3+4+5+6) - (1+2) $ $a_3 = 7+8+9+10+11+12 = (1+2+3+...+12) - (1+2+...+6) $ พิจารณาลำดับ $2, 6, 12, ...$ จะมีพจน์ทั่วไปคือ $i^2+i$ ดังนั้นลำดับ $0, 2, 6, ... $ จะมีพจน์ทั่วไปคือ $(i-1)^2+(i-1) = i^2-i$ จากนั้นก็หาสูตรพจน์ทั่วไปของอนุกรมซิกมา i ตามปกติ |
#152
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้ามองโจทย์ออกก็ง่ายไปเลยนะครับเนี่ย แล้วเรื่องตัวเลือกนี่เห็นด้วยเลยครับ ตอนแรกว่าจะไม่ลงตัวเลือกแล้ว แต่กลัวจะไปไม่ถูก ตั้งข้อต่อไปได้เลยครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 24 กรกฎาคม 2010 22:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper |
#153
|
|||
|
|||
ผมไม่ค่อยได้ตุนโจทย์เอาไว้ครับ ขอตั้งครั้งเดียว 2 ข้อเลยแล้วกัน ถ้าร่วมสนุกอีกผมขอยกสิทธิ์ให้แก่ใครก็ได้ที่จะตั้งปัญหาข้อต่อไปแทนผมก็แล้วกันนะครับ
1. จงแก้สมการ $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{5})^x$ 2. จงแก้อสมการ $(\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{20}{3})^x \ge 3^x + 4^x + 5^x$ |
#154
|
||||
|
||||
ข้อ 1 ผมเขียนกราฟคร่าวๆ แล้วไม่ตัดกันเลยครับ
ข้อ 1 ไม่มีค่า x ที่เป็นไปได้ครับ |
#155
|
|||
|
|||
ใช่แล้วครับ คำตอบคือไม่มีผลเฉลย แต่ถ้าจะให้สมบูรณ์ คงต้องให้เหตุผลโดยใช้ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องครับ.
|
#156
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ถ้า $x\geq 0$ จะได้ว่า $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x>(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~>(\sqrt{5})^x$ ถ้า $x<0$ จะได้ว่า $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-x}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-x}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~>(\sqrt{5})^{-x}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~>\Big(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Big)^{-x}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=5^x$ |
#157
|
|||
|
|||
วิธีคิดของผมนะครับ
นำ $(\sqrt{5})^x$ หารตลอด จะได้ $(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}})^x + (\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}})^x = 1$ สมมติให้ $p = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ แล้ว $0 < p < 1$ แล้ว $p^x$ เป็นฟังก์ชันลด $q = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ แล้ว $q > 1$ แล้ว $q^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม $p^x+q^x=1$ กรณีที่ 1, $x \ge 0$ จะำได้ $0 < p^x \le 1$ , $q^x \ge 1$ ดังนั้น $p^x + q^x > 1$ กรณีที่ 2, $x < 0$ จะำได้ $p^x > 1$ , $0 < q^x < 1$ ดังนั้น $p^x + q^x > 1$ เช่นกัน |
#158
|
||||
|
||||
ข้อ 2 นี่เห็นแน่ๆแล้วว่ามี 0 เป็นคำตอบหนึ่งแน่นอน คิดมาหลายวันแล้วก้ไม่ออกสักทีว่ามีคำตอบอื่นอีกมั้ยอะไรบ้าง
ถ้าให้ $3^x=a,4^x=b,5^x=c$ แล้วทำแบบนี้ $\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geqslant a+b+c$ $({ab)}^2+{(ac)}^2+{(bc)}^2\geqslant abc(a+b+c)$ $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2\geqslant 0$ $(b^2-bc+c^2)a^2-bc(b+c)a^2+b^2c^2\geqslant 0$ หา discriminant ได้ $D=-3b^4c^2+6b^3c^3-3b^2c^4=-3b^2c^2{(b-c)}^2\leqslant 0$ ดังนั้นจะสรุปได้มั้ยครับว่าอสมการเป็นจริงทุกค่า a ทำให้เป็นจริงทุกค่า x ด้วย (เพราะไม่ว่า b,c จะเป็นอะไรจะทำให้อสมการมากกว่า 0 เสมอ) และจะเท่ากับ 0 เมื่อ b=c ซึ่งจะทำให้ x=0 แต่ก็ยัง งงงง อยู่ รบกวนคุณสามดาวช่วยด้วยครับ ไม่ไหวแล้ว
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#159
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ถูกแล้วล่ะครับ อีกวิธีคือ สร้าง SOS แบบนี้ $\dfrac{1}{2}[(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2]\geq 0$ หรือถ้าใครรู้จัก Cauchy - Schwarz inequality ก็พิสูจน์ได้ไม่ยาก |
#160
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ขอบคุณคุณ nooonuii ครับ แสดงว่าอสมการนี้เป็นเอกลักษณ์สินะครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#161
|
|||
|
|||
ข้อต่อไปครับ
จงแก้สมการ $$\dfrac{x+3}{x+2}+\dfrac{x+4}{x+3}+\dfrac{x+6}{x+5}=\dfrac{x-1}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-3}+\dfrac{x-4}{x-5}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#162
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$ (\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b})^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#163
|
||||
|
||||
รบกวนช่วย Check ด้วยนะครับ
$$\dfrac{x+3}{x+2}+\dfrac{x+4}{x+3}+\dfrac{x+6}{x+5}=\dfrac{x-1}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-3}+\dfrac{x-4}{x-5}$$ เเจกหารป.6 ออกมา $\frac{(x+2)+1}{x+2}=1+\frac{1}{x+2}$ ข้างขวาก็ $\frac{(x-2)+1}{x-2}=1+\frac{1}{x-2}$ ทำเเบบนี้ไปทุกเทอม โจทย์จะทอนความยากลงเหลือเเค่ $$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x-5}$$ $$(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3})+(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x+5})=\frac{(x+2)-(x-2)}{x^2-4}+\frac{(x+3)-(x-3)}{x^2-9}+\frac{(x+5)-(x-5)}{x^2-25}=0$$ ทีนี้ก็ร่วมส่วนป.6อีกครั้งหนึ่ง $$\frac{4(x^2-9)(x^2-25)+6(x^2-4)(x^2-25)+10(x^2-4)(x^2-4)}{(x^2-9)(x^2-9)(x^2-25)}=0$$ เมื่อ $x\not= \pm 2,\pm 3,\pm 5$ กระจายออกมา $x^4-22x^2+93=0$ เเก้หา $x$ ออกมาได้ $x=\pm\sqrt{11\pm 2\sqrt{7}}$ เป็นคำตอบ จงหาจำนวนจริง $m$ ที่ทำให้ $m^2+5,m^2-5$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ (โจทย์อาจจะเก่ามากๆนะครับ เพราะโจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ที่ฟีโบนักชีโดนถาม )
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#164
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$$\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}=0$$ $$\frac{4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{10}{x^2-25}=0$$ $$2x^4-68x^2+450+3x^4-87x^2+300+5x^4-65x^2+180=0$$ $$x^4-22x^2+93=0$$ $$x^2=11\pm2\sqrt{7}$$ $$x=\pm\sqrt{11\pm2\sqrt{7}}$$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#165
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ถ้าตอบ $m\geq \sqrt{5}$ หรือ $m\leq -\sqrt{5}$ จะได้หรือไม่ เพราะ $m^2+5=\Big(\sqrt{m^2+5}\Big)^2$ และ $m^2-5=\Big(\sqrt{m^2-5}\Big)^2$ แต่คิดว่าไม่ใช่อยู่แล้วล่ะ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
แฟนพันธุ์แท้ คณิตศาสตร์ Marathon | nooonuii | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 318 | 01 ตุลาคม 2021 21:29 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Marathon - มัธยมต้น | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 254 | 08 สิงหาคม 2010 20:47 |
Marathon ##วิทย์คำนวณ## | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย | 24 | 13 พฤษภาคม 2010 21:19 |
Marathon race... | Fearlless[prince] | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 3 | 14 กุมภาพันธ์ 2008 15:53 |
|
|