|
|
#136
01 มกราคม 2012, 16:12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
Vouloir c'est pouvoir 
|
|
#137
01 มกราคม 2012, 16:39
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
 ปล. Cauchy ก็เหมือนกันครับ
|
|
#138
01 มกราคม 2012, 17:26
|
||||
|
||||
|
ลองคูณดีๆดิครับ = = ส่วนเรขาผมวาดรูปเเล้วงงมากอ่ะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#139
01 มกราคม 2012, 18:21
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
------------------------------------------------------------------------------------------------------ ส่วนข้อเรขาคณิต ผมว่า วาดรูปไม่ยากนะครับ ใจความของโจทย์ คือ incircle สัมผัส AB ที่ Q ต่อมา ลากเส้นขนานกับ CQ และผ่าน incenter โดยเส้นนี้ตัด AB ที่ T จาก T ลากเส้นตรงมาสัมผัส incircle ที่ $K \neq Q$ และเส้นสัมผัสดังกล่าวตัดเส้นตรง AC, BC ที่ L,N ตามลำดับ พิสูจน์ $TL=TN$ Big Hint : ข้อนี้ ครึ่งหลังมันจบแบบสั้นๆด้วย well-known lemma ที่เคยใช้ใน TMO ครั้งที่ 6 ครับ และ incircle ของสามเหลี่ยม ABC เป็น incircle ของ..... ------------------------------------------------------------------------------------------------------- สำหรับวิธีทำ อสมการข้อ 2 อีกแบบ สังเกตว่า $$ \frac{2}{4-\sqrt{ab}} = 1- \frac{2-\sqrt{ab}}{4-\sqrt{ab}}= 1- \frac{4-ab}{(2+\sqrt{ab})(4-\sqrt{ab})} \leq 1 -\frac{4-ab}{9} $$ อสมการก้อนหลังสุดที่มาจบที่ 9 สมมูลกับ $ (\sqrt{ab}-1)^2 \geq 0 $ ที่เหลือ take sigma แล้วอ้าง $ab+bc+ca \leq 3 $ ก็จบครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 01 มกราคม 2012 18:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by
|
|
#141
02 มกราคม 2012, 06:24
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
จุดตัดของเส้นตรง CQ กับ LN
|
|
#142
02 มกราคม 2012, 07:36
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
จะได้ว่า $p(n)=k^2+1$ อันนี้ค่อนข้างชัวร์ครับ (สังเกตมาเหมือนเดิม  )พิจารณา โดย Discreminant $$k^2+1=p(n)\ge c\cdot 2^{[\sqrt{n}]}\leftrightarrow c\le \frac{1}{2^{[\sqrt{n}]}}$$ เห็นได้ชัดว่า มี $c>0$ เเน่ๆ ทำนองเดียวกันหากพิจารณา $p(n)$ เมื่อ $n$ เป็นเลขคี่ ให้ $n=2k+1$ สำหรับ $k\in\mathbb{N}$ จะได้ว่า $p(n)=k^2+k+1$ เเล้วลงล็อคเดิมครับ  ปล.เรขาก็ยังอึนเหมือนเดิม  ปล.2 ตอนเเรกผมคิดว่ามันจะเป็นลำดับฟีโบนักชีจริงๆซะอีกอ่ะนะ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 02 มกราคม 2012 08:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
|
|
#144
02 มกราคม 2012, 08:19
|
||||
|
||||
|
ขอโทษครับ ( เบลอได้อีกอ่ะ = =" ) เเก้เเล้วครับ
จริงๆผมว่ามันเเปลกๆอ่ะเเหละ เลยลองคิดใหม่ ( ตอนเล่นเกม )
__________________
Vouloir c'est pouvoir 02 มกราคม 2012 08:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
|
|
#145
02 มกราคม 2012, 14:00
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
p(6) = 11 เพราะมี 6, 1+5 ,4+2 ,3+3, 1+2+3, 2+2+2, 1+1+4,1+1+1+3, 1+2+1+2, 1+1+1+1+2,1+1+1+1+1+1
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#146
02 มกราคม 2012, 14:47
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
เพราะมันจะบอกได้แค่ว่าคำตอบนั้น เป็นจริงสำหรับทุก $x \in (1,\infty)-\{2,3\}$ จากที่โจทย์บอกว่าสำหรับ $x\not= y$
__________________
keep your way.
|
|
#147
02 มกราคม 2012, 18:40
|
||||
|
||||
|
ลองทำดูแล้วไม่ยากนะครับ มายากตรงจัดรูปเนี่ยแหละ (ใช้ wolfram ช่วยแยกแฟคเตอร์
 )อ้างอิง:
Claim 1 : $f(x^2)=\dfrac{f(x)}{x}$ เพราะ $x^m=x^n$ ไม่มีคำตอบสำหรับจำนวนนับ $m \not= n$ ในช่วง $x \in (1,\infty)$ เสมอ จากสมการที่กำหนดให้จะได้ $$f(x^2)-f(x^3)=(x^3-x^2)f(x^5)$$ $$f(x)-f(x^4)=(x^4-x)f(x^5)$$ ตัด $f(x^5)$ โดยการแทนลงไปได้ $$[x^4-x][f(x^2)-f(x^3)]=[x^3-x^2][f(x)-f(x^4)]$$ แทนกลับลงไปโดยการเปลี่ยน $f(x^3),f(x^4)$ ให้อยู่ในรูปของ $f(x),f(x^2)$ กล่าวคือ $f(x^4)=\dfrac{f(x)-f(x^3)}{x^3-x}$ ต่อด้วย $f(x^3)=\dfrac{f(x)-f(x^2)}{x^2-x}$ แล้วจัดรูปได้ $$f(x^2)=\frac{f(x)}{x}$$ ซึ่งสมการนี้เป็นจริงสำหรับ $x \in (1, \infty )$ ใดๆ Claim 2 : $f(x)=\dfrac{a}{x}$ เมื่อ $a \in \mathbb{R}$ พิจารณา $$f(x^2 \cdot y^2)=\frac{f(x^2)-f(y^2)}{y^2-x^2}=\frac{yf(x)-xf(y)}{xy(y^2-x^2)}$$ $$f((xy)^2)=\frac{f(xy)}{xy}=\frac{f(x)-f(y)}{xy(y-x)}$$ ดังนั้น $$yf(x)-xf(y)=(x+y)f(x)-(x+y)f(y)$$ จัดรูปเป็น $xf(x)=yf(y)$ ซึ่งเป็นจริงสำหรับ $x \not= y$ ใดๆ ดังนั้น $xf(x)$ เป็นค่าคงที่ ได้คำตอบเป็น $f(x)=\dfrac{a}{x}$ สำหรับ $a \in \mathbb{R}$ #
__________________
keep your way.
|
|
#148
02 มกราคม 2012, 18:42
|
||||
|
||||
|
#145ขอ Hint เลยดีกว่าครับ = =
เเต่พอลองจินตนาการเล่นๆเเลว ถ้า $n=2k$ จะได้ $$p(n)=k^2+n-\phi(n)-1$$ หรือเปล่าครับ #146 ผมไม่รู้จะเเทนอะไรเเล้วอ่ะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#149
02 มกราคม 2012, 19:09
|
|||
|
|||
|
Hint ข้อ 7
start บรรทัดแรกให้แล้วกันครับ For $n \geq 2$ ,พิจารณา จำนวนนับ t ใหญ่สุดที่ $ 1+2+...+t \leq \frac{n}{2}$ ---------------------------------------------------------------------------------------------------- เติมโจทย์ให้อีก 2 ข้อ Plane geometry 9. สี่เหลี่ยมนูน ABCD มี M,N เป็นจุดกึ่งกลาง AB,CD ตามลำดับ ,E เป็นจุดตัดเส้นทแยงมุม พิสูจน์ เส้นแบ่งครึ่งมุม $B\hat{E}C$ ตั้งฉากกับ MN ก็ต่อเมื่อ AC= BD Inequalities 10. a,b,c >0 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{a^2+b+4}} \leq \sqrt[4]{\frac{3}{4}(a+b+c)}$$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#150
02 มกราคม 2012, 21:04
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$BD$ และ $AC$ ตัด $MN$ ที่ $G$ และ $F$ ตามลำดับ ให้ G เป็นจุดตัดที่ E ลากผ่าน BC ถ้า $EG \bot MN$ พิจารณา $\bigtriangleup DGN$ และ$\bigtriangleup CFN$ และ โดย law of sine จะได้ว่า $FC=DG$ ในทำนองเดียวกัน $BG=AF$ แล้วนำมาบวกัน เพราะฉะนั้น $AC=BD$ ถ้า $AC=BD$ และ เส้นแบ่งครึ่งมุม $E$ ตัด $MN$ ที่ $H$ พิจารณา $B \hat{E} H=C\hat{E}H=\alpha $ และ $F\hat{H}E= \beta$ ทำให้ได้ $E\hat{G}F=\beta-\alpha$ และ $G\hat{F}E=180-\alpha-\beta$ $DG \cdot \sin (\beta-\alpha)=FC \cdot \sin(180-\alpha-\beta)$ $AF \cdot \sin (180-\alpha-\beta)= BG \cdot \sin (\beta-\alpha)$ นำมาบวกกันได้ $\beta = 90^{\circ}$ เพราะฉะนั้น $EG \bot MN$ 03 มกราคม 2012 20:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ BLACK-Dragon
|
  |
|
|
