|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#136
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#137
|
|||
|
|||
เห็นโพสต์แล้วนึกถึงข้อสอบเตรียมโอลิมปิก ผมไม่เคยอบรมเดาว่าคงแบบนี้ สมัยนั้นหนีไปอ่าน Thesis ภาคคอมพิวเตอร์แทน แต่ก็ไม่ได้ใช้เพราะรู้น้อย
|
#138
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#139
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ให้ $l\in I$ และ $$\sqrt{x}+\sqrt{x-\sqrt{x}}=l$$ $$x-\sqrt{x}=l^2-2l\sqrt{x}+x$$ $$\sqrt{x}=\frac{l^2}{2l-1}$$ $$\rightarrow \sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{l^2-l}{2l-1}$$ สังเกตว่า $\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{x}}\in I$ ฉะนั้น $\frac{l}{2l-1}\in I \rightarrow l^2 \geq (2l-1)^2 \vee l=0$ นั่นคือ $l=0,1$ ดังนั้น $x=0,1$ |
#140
|
|||
|
|||
สมับผมเรียนปีหนึ่งมหาลัย ภาควิชาคณิตศาสตร์อยู่ในคณะวิทย์ ซึ่งหมายความว่ามีการลองผิดลองถูกอยู่ในกระบวนการคิด ที่สุดคิอคำตอบมีได้หลายชุดต่อหนึ่งปัญหา แต่กระนั้นความตั้งใจที่จะแต่งหนังสือก็ไม่สำเร็จผล อาจเพราะมัวทำโจทย์ ไม่ได้เจอกับปัญหาจริง อันเป็นต้นกำเนิดของสรรพวิชาในปัจจุบัน
เวลาไม่รอท่า ปํญหายุ่งยากเหมือนกับดัก เข้าใจได้ 10% 20% ... 50% จนถึงร้อยก็มี เราเองก็เป็นส่วนหนึ่งในสังคมโลก ใช่มั้ยครับ |
#141
|
||||
|
||||
หายไปนาน มาต่อแล้วนะครับ
อ้างอิง:
และ $(bx+ay-dz+ct)^2=(dz-bx-ay-ct)^2$ $\ \ \ \ \ (cx+dy+az-bt)^2=(bt-cx-dy-az)^2$ $\ \ \ \ \ (dx-cy+bz+at)^2=(cy-dx-bz-at)^2$ $$(ax-by-cz-dt)^2=((ax)^2+(by)^2+(cz)^2+(dt)^2)-2(abxy+acxz+adxt-bcyz-bdyt-cdzt)$$ $$(dz-bx-ay-ct)^2=((dz)^2+(bx)^2+(ay)^2+(ct)^2)-2(bdxz+adyz+cdzt-abxy-bcxt-acyt)$$ $$(bt-cx-dy-az)^2=((bt)^2+(cx)^2+(dy)^2+(az)^2)-2(bcxt+bdyt+abzt-cdxy-acxz-adyz)$$ $$(cy-dx-bz-at)^2=((cy)^2+(dx)^2+(bz)^2+(at)^2)-2(cdxy+bcyz+acyt-bdxz-adxt-abzt)$$ จะเห็นว่าถ้าทั้ง 4 บรรทัดบวกกันหมด วงเล็บหลังจะตัดกันหมด เหลือ 0 นำ 16 พจน์ที่เหลือมาจัดรูปจะได้ $a^2(x^2+y^2+z^2+t^2)+b^2(x^2+y^2+z^2+t^2)+c^2(x^2+y^2+z^2+t^2)+d^2(x^2+y^2+z^2+t^2)$ $=(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+t^2)$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#142
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$=[(x+y+z)^2-2xyz(x+y+z)+x^2y^2z^2]-4$ $=(x+y+z-xyz)^2-4$ $(x+y+z-xyz-2)(x+y+z-xyz+2)$ $=RHS$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#143
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$LHS=(a^2+b^2+c^2)^2\ \ \ = [(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]^2$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4(ab+bc+ca)^2---------(1)$ $RHS=2(a^4+b^4+c^4)\ \ =2[(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2[4(ab+bc+ca)^2-2(ab+bc+ca)^2+2abc(a+b+c)]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4(ab+bc+ca)^2---------(2)$ จาก $(1)$ และ $(2)$ ดังนั้น $LHS=RHS$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#144
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
พิจารณาตัวเศษ จะได้ว่า $(a+b-c)(a^2+b^2+c^2+bc+ca-ab)+c(c^2-3ab)=(a+b-c)[(a+b+c)^2-(bc+ca+3ab)]+c(c^2-3ab)$ $=(a+b-c)(a+b+c)^2-(a+b-c)[(a+b)c+3ab]+c(c^2-3ab)$ $=[(a+b)^2-c^2][(a+b)+c]-[(a+b)-c][(a+b)c+3ab]+c(c^2-3ab)$ $=(a+b)^3+(a+b)^2c-(a+b)c^2-c^3-(a+b)^2c-3ab(a+b)+(a+b)c^2+3abc+c^3-3abc$ $=(a+b)^3-3ab(a+b)$ $=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ ดังนั้น $$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}=a+b$$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#145
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\therefore LHS=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-4(b^2+d^2)(a^2+c^2)+2(ab-bc+dc+ad)^2$ $RHS=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-2(ab-ad+bc+dc)^2$ ดังนั้นจะพิสูจน์ว่า $2(b^2+d^2)(a^2+c^2)-(ab-bc+dc+ad)^2=(ab-ad+bc+dc)^2$ \[\begin{array}{cl}(ab-ad+bc+dc)^2&=&[(ab+dc)-(ad-bc)]^2\\&=&(ab+dc)^2+(ad-bc)^2-2(ab+dc)(ad-bc)\\&=&(a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2)-2(ab+dc)(ad-bc)\end{array}\] \[\begin{array}{cl}2(b^2+d^2)(a^2+c^2)-(ab-bc+dc+ad)^2&=&2(b^2+d^2)(a^2+c^2)-[(ab+dc)+(ad-bc)]^2\\&=&2(a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2)-(a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2)-2(ab+dc)(ad-bc)\\&=&(a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2)-2(ab+dc)(ad-bc)\end{array}\] ดังนั้น $2(b^2+d^2)(a^2+c^2)-(ab-bc+dc+ad)^2=(ab-ad+bc+dc)^2$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#146
|
||||
|
||||
เรียบร้อยไปอีกชุดครับ ชุดต่อไปดูโจทย์แล้วหนักหนาสาหัสครับ อาจใช้เวลามากกว่าเดิม (พอดีช่วงนี้ยุ่งๆด้วยครับ)
ท่านใดสนใจจะลุย เชิญได้เลยนะครับ 2. จงพิสูจน์เอกลักษณ์ในข้อต่อไปนี้ภายใต้เงื่อนไข $a+b+c=0$ 2.1 $\ \ 2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)$ 2.2 $\ \ 5(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=6(a^5+b^5+c^5)$ 2.3 $\ \ a^5+b^5+c^5=-5abc(bc+ca+ab)$ 2.4 $\ \ 3(a^2+b^2+c^2)(a^5+b^5+c^5)=5(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4)$ 2.5 $$-\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\bigg)=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^3+c^3}$$ #ขอแก้โจทย์ตามที่คุณ Keehlzver ได้แสดงไว้ในข้อความข้างล่างนะครับ#
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 24 กันยายน 2011 22:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper เหตุผล: แก้ไขโจทย์ที่ผิด |
#147
|
||||
|
||||
ผมขอกวาดข้อ 2 ละกันนะครับ
มีเอกลักษณ์กำลัง 3 และ 5 ที่ต้องรู้คือ $x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ และ $(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)(x+y)(y+z)(z+x)$ และก็ที่น่าจะรู้กันอยู่แล้วคือ $(x+y)(y+z)(z+x)+xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)$ (เอกลักษณ์พวกนี้พิสูจน์ได้ด้วยความเป็นตัวประกอบของพหุนามสมมาตรหรือจะถึกเอาก็ได้ครับ) กำหนดให้ $p=a+b+c$ $q=ab+bc+ca$ $r=abc$ เราจะ List เอกลักษณ์ออกมาแบบนี้ $a+b+c=p$ $a^2+b^2+c^2=p^2-2q$ $a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r$ $a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+4pr+2q^2$ $a^5+b^5+c^5=p^5-5p^3q+5p^2r+5pq^2-5qr$ ข้อ 2.3 จากเอกลักษณ์ตัวสุดท้าย แทน $p=0$ จะได้ $a^5+b^5+c^5=-5qr=-5abc(ab+bc+ca)$ ข้อ 2.1 จาก $a^2+b^2+c^2=p^2-2q$ แทน $p=0$ ได้ $a^2+b^2+c^2=-2q$ และจาก $2(a^5+b^5+c^5)=2(-5qr)=5r(-2q)=5abc(a^2+b^2+c^2)$ ข้อ 2.2 จากเอกลักษณ์$a^2+b^2+c^2=p^2-2q$ และ $a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r$ แทน $p=0$ จะได้ $5(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=5(3r)(-2q)=6(-5qr)=6(a^5+b^5+c^5)$ 2.4 จากเอกลักษณ์ $a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+4pr+2q^2$ แทน $p=0$ จะได้ $a^4+b^4+c^4=2q^2$ ดังนั้น $3(a^2+b^2+c^2)(a^5+b^5+c^5)=3(-2q)(-5qr)=5(3r)(2q^2)=5(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4)$ 2.5 โจทย์ผิด ต้องมีเครื่องหมายลบครับ ต้องเป็นแบบนี้ $\frac{-2}{3}(\frac{ab+bc+ca}{abc})=\frac{-2q}{3r}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^3+c^3}$ จบไปอีก 1 ชุดครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#148
|
||||
|
||||
โอ้ววววว..ต้องขอบคุณคุณ Keehlzver มากเลยครับ กลายเป็นเรื่องง่ายเลย
เดี๋ยวขอนั่งทำดูก่อนนะครับ หากมีข้อสงสัยจะเข้ามาถามครับ งั้นเพิ่มโจทย์เลยล่ะกันครับ 3. ถ้า $(x+y+z)\bigg(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\bigg)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(x+y)(y+z)(z+x)=0$ 4.ถ้า $a+b+c=s$ จงพิสูจน์ว่า $(s-3a)^3+(s-3b)^3+(s-3c)^3=3(s-3a)(s-3b)(s-3c)$ 5.ถ้า $a+b+c=2s$ จงพิสูจน์ว่า 5.1 $s^2+s(s-a)+s(s-b)+s(s-c)=2s^2$ 5.2 $a^2+b^2+c^2=s^2+(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2$ 6. ถ้า $a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}=0$ จงแสดงว่า$(a+b+c)^3-27abc=0$ 7. ถ้า $x=b+c-a\ \ ,y=c+a-b\ \ ,z=a+b-c$ จงแสดงว่า$$x^3+y^3+z^3-3xyz=3(a^3+b^3+c^3-3abc)$$ 8. เมื่อกำหนดให้ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ จงพิสูจน์ว่า 8.1 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$ 8.2 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{\sqrt{a^2+c^2+e^2}}{\sqrt{b^2+d^2+f^2}}$ 9. ถ้า $a^3+b^3+c^3=3abc$ จงพิสูจน์ว่า $a+b+c=0$ หรือ $a=b=c$ 10. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$$ 11. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $a_1+a_2+...+a_n=\frac{ns}{2}$ แล้ว $$(s-a_1)^2+(s-a_2)^2+...+(s-a_n)^2=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2$$ 12. สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ กำหนดให้ $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$ จงพิสูจน์ว่า $$nS_n=n+\bigg(\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1}\bigg)$$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 16 พฤศจิกายน 2011 22:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper |
#149
|
||||
|
||||
$$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=0$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#150
|
||||
|
||||
5.ถ้า $a+b+c=2s$ จงพิสูจน์ว่า
5.1 $s^2+s(s-a)+s(s-b)+s(s-c)=2s^2$ $$s^2+s(s-a)+s(s-b)+s(s-c)=s^2+s(3s-(a+b+c))=2s^2$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
|
|