|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#136
|
||||
|
||||
เอ...ข้อ 52 ดูเหมือนยังหาคนตอบไม่ได้ ?
ถ้าไม่มี $\cos u$ ก็คงง่ายเหมือนปอกกล้วยเข้าปากเลย แต่พอมีมันแล้ว หินขึ้นเยอะใช่ไหมครับ ไม่รู้ว่ายากหรือง่ายกว่าการแปลคำว่า "แอ๊บแบ๊ว"
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 10 มิถุนายน 2007 07:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#137
|
|||
|
|||
ผมไม่แน่ใจว่า คุณ Switchgear ต้องการคำตอบแบบข้างล่างนี้หรือเปล่า คือผมแยกได้
$(z^n+a^ne^{iu})(z^n+a^ne^{-iu}) $
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#138
|
|||
|
|||
ผมก็ได้เหมือนคุณ passer-by ครับ แต่คิดว่าเจ้าของโจทย์อยากได้คำตอบที่เป็น linear or quadratic factors หรือเปล่า
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#139
|
||||
|
||||
ความเห็นคุณ passer-by กับคุณ nooonui ก็ถูกต้องครับ แต่คำตอบนั้นเขาว่ายังแยกต่อได้อีก
ลองดูคำตอบที่ผมเจอในหนังสือโบราณ ไม่รู้เหมือนกันว่าถูกต้องหรือเปล่า ? $z^{2n} + 2a^n z^n\cos u + a^{2n}$ $= (z^2 - 2az\cos \frac{2+u}{n} + a^2)(z^2 - 2az\cos \frac{6+u}{n} + a^2) \cdot \cdot \cdot (z^2 - 2az\cos \frac{2(2n-1)+u}{n} + a^2)$
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#140
|
||||
|
||||
มีข่าวมาแจ้งว่า ใครที่ชอบตรีโกณฯ มาก ขนาดนอนฝันว่าตัวเองนั่งแก้โจทย์ตรีโกณฯ
รีบไปหาซื้อหนังสือ "โลกตรีโกณมิติ" ของ รศ.ดำรงค์ ทิพย์โยธา มาอ่านได้แล้ว เพิ่งออกเดือนกรกฎาคม 2550 นี้เอง (ตามที่พิมพ์แจ้งไว้ในหนังสือ) หน้าปกเข้าชุดกับ "โลกอสมการ" และ "โลกอสมการ 2" ซึ่งคิดว่าหลายคนอ่านแล้ว ราคาตามปก "โลกตรีโกณมิติ" คือ 295 บาท แต่ช่วงนี้ลด 15% ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#141
|
|||
|
|||
ขุดอีกรอบครับ
53. Evaluate $$ \sum_ {n=1}^{\infty} \arcsin(\frac{4n^2}{4n^4+1})$$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#142
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$$\arcsin(\frac{4n^2}{4n^4+1}) = \arcsin(\frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1})-\arcsin(\frac{2n^2-2n}{2n^2-2n+1})$$ ตอนนี้พิสูจน์ได้แต่แบบลุยแหลก ถ้าคิดวิธีแบบดูดีหน่อยได้จะเอามาโพสต์ แต่ $$\arcsin(\frac{2n^2-2n}{2n^2-2n+1}) = \arcsin(\frac{2(n-1)^2+2(n-1)}{2(n-1)^2+2(n-1)+1})$$ ทำให้ $$\sum_ {n=1}^{\infty} \arcsin(\frac{4n^2}{4n^4+1}) = \sum_ {n=1}^{\infty} \left[\arcsin(\frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1})-\arcsin(\frac{2(n-1)^2+2(n-1)}{2(n-1)^2+2(n-1)+1})\right]$$ ซึ่งทางขวาเมื่อกระจายแทนค่า $n$ ก็จะตัดกันไปหมด จะได้ $$\sum_ {n=1}^{\infty} \arcsin(\frac{4n^2}{4n^4+1}) = \lim_{n \to \infty} \arcsin(\frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}) = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$$
__________________
Heir of Ramanujan |
#143
|
|||
|
|||
คำตอบถูกแล้วครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#144
|
||||
|
||||
มาเพิ่มโจทย์ให้ครับ
54. Let $p(n)=A(n+3)^2+B+C(-1)^n+Dcos\frac{2\pi n}{3}$ n is an integer Prove that there exists the following relationship $$p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-4)+p(n-5)-p(n-6)=0$$
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> 26 เมษายน 2008 21:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Brownian |
#145
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
LHS. = $A[(n+3)^2 + (n-1)^2 + (n-2)^2] + 3B + C[ (-1)^n + (-1)^{n-4} + (-1)^{n-5} ] + D[\cos \frac{2\pi n}{3} + \cos \frac{2\pi (n-4)}{3} + \cos \frac{2\pi (n-5)}{3}]$ = $A(3n^2 + 14) + 3B + C(-1)^{n+1} + D[\cos \frac{2\pi n}{3} - \cos (\frac{2\pi n}{3} + \frac{\pi}{3}) - \cos (\frac{2\pi n}{3} - \frac{\pi}{3})]$ RHS. = $A[(n+2)^2 + (n+1)^2 + (n-3)^2] + 3B + C[ (-1)^{n-1} + (-1)^{n-2} + (-1)^{n-6} ] + D[\cos \frac{2\pi (n-1)}{3} + \cos \frac{2\pi (n-2)}{3} + \cos \frac{2\pi (n-6)}{3}]$ = $A(3n^2 + 14) + 3B + C(-1)^{n+1} + D[- \cos (\frac{2\pi n}{3} + \frac{\pi}{3}) - \cos (\frac{2\pi n}{3} - \frac{\pi}{3}) + \cos \frac{2\pi n}{3} ]$ เห็นได้ชัดว่า LHS. = RHS. |
#146
|
||||
|
||||
แนวคิดของคุณ gon เป็นวิธีที่ตรงและสั้นกว่ามากๆ เลยครับ
มีมาฝากอีกข้อ 55. จง rationalize (ทำให้ส่วนไม่ติดรูท) เศษส่วนต่อไปนี้ $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{sinA}+\sqrt{sinB}+\sqrt{sinC}}$$ โดยที่ a,b,c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B,C ตามลำดับของรูปสามเหลี่ยม
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> |
#147
|
||||
|
||||
เฉลย ข้อ 55
โดยกฎของไซน์ กำหนดให้ $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{x}$ ดังนั้น $sinA = ax$, $sinB = bx$, $sinC = cx$ และ $x = \frac{sinA+sinB+sinC}{a+b+c}$ และ $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{sinA}+\sqrt{sinB}+\sqrt{sinC} = (1+\sqrt{x})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$ จากนั้น ก็ rationalize ตามปกติครับ
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> |
#148
|
||||
|
||||
แล้ว $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ นี่ rationalize ยังไงครับ
|
#149
|
||||
|
||||
งั้นเฉลยจนจบเลยละกันครับ
จาก $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{sinA}+\sqrt{sinB}+\sqrt{sinC}}=\frac{1}{(1+\sqrt{x})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$$ $=\frac{(1-\sqrt{x})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})}{(1-x)(a+b-c+2\sqrt{ab})}$ $=\frac{(1-\sqrt{x})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{(1-x)(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc)}$ $$=\frac{(\sqrt{a+b+c}-\sqrt{sinA+sinB+sinC})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})\sqrt{a+b+c}}{(a+b+c-sinA-sinB-sinC)(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca)}$$ ครับ (หืดขึ้นคอ) พิมพ์ Texจนตาลายแล้ว ผิดถูกตรงไหน ก็ท้วงได้นะครับ
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> 27 เมษายน 2008 11:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Brownian |
#150
|
||||
|
||||
มีมาอีกข้อ
56. Let $0\leqslant x<\frac{\pi}{2}$ prove that: $$x-sinx\leqslant \frac{x^3}{6}$$ 57. Evaluate $sin 3^{\circ} $ 58. จงแสดงว่า ถ้า $$tan x + tan 2x + tan 3x + tan 4x = 0$$ แล้ว $5x = k\pi$ หรือไม่ก็ $8 cos 2x = 1\pm \sqrt{17}$
__________________
"จงรักตัวเองด้วยการช่วยเหลือผู้อื่น และรักผู้อื่นด้วยการพัฒนาตัวเอง" << i'm lovin' it>> 27 เมษายน 2008 23:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Brownian |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Geometry marathon | Char Aznable | เรขาคณิต | 78 | 26 กุมภาพันธ์ 2018 21:56 |
Algebra Marathon | nooonuii | พีชคณิต | 199 | 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08 |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
Marathon | Mastermander | ฟรีสไตล์ | 6 | 02 มีนาคม 2011 23:19 |
Calculus Marathon | nooonuii | Calculus and Analysis | 222 | 26 เมษายน 2008 03:52 |
|
|