|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#136
|
||||
|
||||
อึ้งไปประมาณ 5 วินาที
ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง $$(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})^2=(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b})^2$$ จะได้ $$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2a}{c}+\dfrac{2c}{b}=\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{c^2} +\dfrac{c^2}{b^2}+\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2b}{c}+\dfrac{2c}{a}$$ $\because$ $$\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2b}{c}+\dfrac{2c}{a}=\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2a}{c}+\dfrac{2c}{b}$$ $\therefore $ $$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{b^2}$$ ขอบคุณ คุณ nooonuii มากครับ
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ 19 พฤษภาคม 2007 08:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kanakon เหตุผล: แก้พจน์ที่มีเลข 2 |
#137
|
||||
|
||||
36. find the real roots of the equation.
$$x^2+2ax+\frac{1}{16} = -a +\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )} $$
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ 19 พฤษภาคม 2007 08:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kanakon เหตุผล: ใส่เลขข้อ |
#138
|
|||
|
|||
ผมก็อึ้งกับคำตอบเหมือนกันครับ แต่ตอนกระจายกำลังสองน่ะครับ รู้สึกว่าเทอมที่มีเลข 2 มันสลับข้างกันอยู่
งั้นเอาใหม่ ยากกว่าเดิมนิดนึง 37. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ โดยที่ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}= \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}$ จงพิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$ $$\Big(\frac{a}{b}\Big)^n+\Big(\frac{b}{c}\Big)^n+\Big(\frac{c}{a}\Big)^n=\Big(\frac{b}{a}\Big)^n+\Big(\frac{a}{c}\Big)^n +\Big(\frac{c}{b}\Big)^n$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 19 พฤษภาคม 2007 08:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#139
|
||||
|
||||
37. จาก $\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}}$
ดังนั้น $\displaystyle{\Big(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\Big)+\Big(\frac{b}{c}-\frac{c}{b}\Big)+\Big(\frac{c}{a}-\frac{a}{c}\Big)=0}$ คูณตลอดด้วย $abc$ จะได้ $0=c(a^2-b^2)+a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)=(a-b)(b-c)(c-a)$ ดังนั้น $a=b$ หรือ $b=c$ หรือ $c=a$ โดยไม่เสียนัยสำคัญ ให้ $a=b$ ฉะนั้น $$\displaystyle{\Big(\frac{a}{b}\Big)^n+\Big(\frac{b}{c}\Big)^n+\Big(\frac{c}{a}\Big)^n=1+\Big(\frac{a}{c}\Big)^n+\Big(\frac{c}{ a}\Big)^n=\Big(\frac{b}{a}\Big)^n+\Big(\frac{a}{c}\Big)^n+\Big(\frac{c}{b}\Big)^n}$$ 19 พฤษภาคม 2007 15:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mathophile |
#140
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จัดรูปให้อยู่ในรูปพหุนามกำลังสองในตัวแปร $a$ จากนั้นก็แก้สมการกำลังสองหาค่า $a$ ในรูปของ $x$ ก็จะได้ตัวประกอบยุ่งๆออกมา เสร็จแล้วก็แก้สมการกำลังสองธรรมดาครับ คำตอบที่ได้จะขึ้นอยู่กับค่า $a$ ครับ ซึ่งต้องแยกกรณีพิจารณาว่าอยู่ในช่วงไหนบ้าง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#141
|
|||
|
|||
38. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า พหุนาม $P(x)=x^3+ax-b$ มีรากจริงเพียงค่าเดียว
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#142
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จำนวนเชิงซ้อนอีก 2 จำนวนแต่ solution ค่อนข้างยุ่งยากเหลือเกิน
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ |
#143
|
|||
|
|||
ข้อ 38 มีวิธีที่ง่ายกว่านั้นและใช้แค่การวิเคราะห์ธรรมดาครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#144
|
|||
|
|||
38. เนื่องจาก พหุนามดีกรี 3 และ สปส. เป็นจำนวนจริง ดังนั้น ย่อมมีรากจริงอย่างน้อย 1 รากอยู่แล้ว เท่ากัับว่า การพิสูจน์ Existence จบไป ต่อไปก็เหลือแต่พิสูจน์่ uniqueness
ให้ $ r_1 ,r_2 $ เป็นรากจริง 2 รากของ $P(x)$ ดังนั้น $$ 0 = P(r_1)-P(r_2)= (r_1-r_2)(r_1^2+r_1r_2+r_2^2 +a) $$ เพราะวงเล็บหลังเป็น positive number ดังนั้น $ r_1=r_2 $ NOTE: ในส่วนของการ show uniqueness สามารถทำได้อีกวิธีโดยใช้ Rolle 's Theorem มาอ้างครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#145
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
\therefore x^2+2ax+a^2&=&a^2-a-\frac{1}{16}+\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}\\ (x+a)^2&=&a^2+x-\frac{1}{16}+\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}-x-a\\ (x+a)^2+(x+a)&=&a^2+x-\frac{1}{16}+\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}\\ \end{array}$ ให้ $p=x+a,q=\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}$ จะได้ $p^2+p=q^2+q\Rightarrow q=p,-(p+1)$ นั่นคือ $\sqrt{(a^2+x-\frac{1}{16} )}=x+a,-(x+a+1)$ ดังนั้น $\displaystyle{x=\frac{2-4a\pm \sqrt{(16a^2-16a+3)}}{4},\frac{-2-4a\pm \sqrt{(16a^2-16a-13)}}{4}}$ ส่วนการเช็คว่า $x$ ที่ได้จะเป็นจำนวนจริงหรือไม่และเป็นเมื่อไหร่ คงต้องให้ท่านอื่นมาช่วยเช็คแล้วล่ะครับ ตอนนี้ตาลายแล้วครับ ตรงนี้คุณ passer-by ใช้ทฤษฏีอะไรหรอครับ และมีแหล่งค้นคว้าศึกษาเกี่ยวกับทฤษฏีนี้ไหมครับ |
#146
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ส่วน existence พิสูจน์เหมือนคุณ passer-by ครับ ส่วน uniqueness จะพิสูจน์โดยใช้ข้อขัดแย้ง สมมติว่าพหุนามมีรากจริงทั้งสามราก สังเกตได้ไม่ยากว่าทุกรากเป็นจำนวนจริงบวก แต่เราทราบว่าผลบวกของรากทั้งสามมีค่าเป็นศูนย์ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง ใครจะต่อข้อต่อไปเชิญเลยครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#147
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ลองนึกถึงความเป็นจริงว่า พหุนามมี3 ราก แยกออกมาเป็น $ (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3) $ ถ้า ทั้ง 3 รากเป็นจำนวนจินตภาพ ทำให้ผลคูณทั้ง 3 วงเล็บ กลายเป็น พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์บางตัวเป็นจำนวนจินตภาพ ซึ่งขัดแย้งกัับโจทย์ ดังนั้นต้องมีรากจริงอย่างน้อย 1 รากครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#148
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จะได้ $pq+qr+rp = a >0$ และ $p+q+r = 0$ นั่นคือ $p^2+q^2+r^2 = -2(pq+qr+rp)$ $p^2+q^2+r^2 = -2a < 0$ แต่จำนวนจริงยกกำลังสองมากกว่า 0 เสมอ จะได้ว่าต้องมีจำนวนเชิงซ้อน จาก P(x) มีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า conjugate มันก็ต้องเป็นราก และมีรากจริงเพียง 1 ราก 27 พฤษภาคม 2007 21:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ pathpot |
#149
|
|||
|
|||
ในเมื่อไม่มีใครตั้ง ผมก็ขอปั่นกระทู้ต่อ
39. จงพิสูจน์ว่าระบบสมการ $$ \begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} & = & 1 \\ x\, + y\, +\, z & = & 2 \\ x^2+y^2+z^2 & = & 3 \end{array}$$ ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#150
|
||||
|
||||
จากสมการที่ 1 และ 2 และ 3จะได้ $xy+yz+zx=xyz=\frac{1}{2} $
จาก AM.GM. จะได้ $$\frac{x+y+z}{3}\geq\sqrt[3]{xyz}$$ $$\therefore {x+y+z}\geq\sqrt[3]{\frac{27}{2} }>2$$ ซึ่งขัดแย้งกับสมการที่ 2 จึงไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Algebra คืออะไร | [C++] | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 15 | 30 มกราคม 2021 11:31 |
โจทย์ Algebra | Crazy pOp | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 28 กรกฎาคม 2020 03:14 |
ปัญหา MOdern Algebra อีกแล้วครับ | เรียวคุง | พีชคณิต | 1 | 09 กันยายน 2006 22:02 |
ช่วยแสดงข้อนี้ให้ดูทีครับ (Modern Algebra) | เรียวคุง | พีชคณิต | 3 | 06 กันยายน 2006 15:27 |
คำถามพีชคณิตเชิงเส้น Linear Algebra | M@gpie | พีชคณิต | 4 | 17 พฤษภาคม 2006 10:31 |
|
|