รบกวนตรวจสอบการพิสูจน์

[M@gpie]

เช่นเคยครับ รบกวนตรวจสอบ แหะๆ โจทย์มีอยู่ว่า
Prove that a sequence $\{ f_n \}$, with the pointwise limit $f$ on $D$, converge uniformly to $f$ on $D$ if and only if the sequence $ {\displaystyle \sup_{x\in D}\mid f_n(x) - f(x) \mid }$ converges to zero.
$(\Leftarrow )$
Form definition we have $ \mid f_n(x) - f(x) \mid \leq {\displaystyle \sup_{x\in D} }\mid f_n(x) - f(x) \mid$
if $ {\displaystyle \sup_{x\in D}\mid f_n(x) - f(x) \mid } \rightarrow 0$ there exist $N(\epsilon )$ where ${\displaystyle \sup_{x\in D} }\mid f_n(x) - f(x) \mid < \epsilon, \; $ $\forall n \geq N$
Hence, \[ \mid f_n(x) - f(x) \mid \leq \epsilon, \; \; \; \forall n \geq N \]
$f_n$ converges uniformly to $f$ on $D$

$(\Rightarrow )$
Because $f_n$ converges uniformly to $f$ on $D.$ There exist natural number where $\mid f_n(x) - f(x) \mid < \frac{\epsilon}{2}, $ $\forall n \geq N(\frac{\epsilon}{2} ).$
We can see that $\frac{\epsilon}{2}$ is a upper bound of $\mid f_n(x) - f(x) \mid $,
then ${\displaystyle \sup_{x \in D} \mid f_n(x) - f(x) \mid } \leq \frac{\epsilon}{2} < \epsilon $ and ${\displaystyle \sup_{x \in D} \mid f_n(x) - f(x) \mid } \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$

ปล. แก้ไขแล้วครับพี่ warut

[nooonuii]

มีบางรายละเอียดที่ถูกละไปบ้าง แต่ไม่ผิดครับ

[warut]

$M_n$ คืออะไรเหรอครับ ไม่เห็นบอกไว้เลย

[M@gpie]

มีจุดสงสัยเพิ่มครับ คือ การพิสูจน์นี้ มีการละ $\{ f_n\}$ มีขอบเขตไว้ใช่รึเปล่าครับ เพราะว่าถ้า $\{ f_n\}$ ไม่มีขอบเขต ก็จะหา supremum ไม่ได้โดยอัตโนมัติ อย่างเช่น
\[ f_n(x) = \frac{x}{n}, \; \; \; \; x \in \mathbb{R}\]
\[ g_n(x) = \frac{x}{n}, \; \; \; \; x \in [0,1] \]
จะได้ว่า $f_n$ ไม่ uniform convergence แต่ว่า $g_n$ uniform convergence
อันนี้ ผมเข้าใจถูกรึเปล่าครับเพราะว่าในหนังสือเล่มนึงไม่ได้เขียนไว้ แต่อีกเล่มนึงเขียนไว้ เริ่ม งง ถ้าเขียนไว้ทฤษฏีน่าจะรัดกุมกว่า

[nooonuii]

ผมว่ามันขึ้นอยู่กับเซต D นั่นแหละครับ ตัวอย่างแรก $D = R$ ฟังก์ชันอาจจะไม่มีขอบเขตได้ แต่ตัวอย่างสอง $D$ เป็น compact set เลยไม่มีปัญหาเรื่องการมีขอบเขตของฟังก์ชันครับ

[M@gpie]

คราวนี้ เป็นการพิสูจน์ว่า ปริภูมิ $C[0,1]$ เป็นปริภูมิบานาค ครับ
ให้ $C[0,1]$ เป็นเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $[0,1]$ ที่มี นอร์มซูพรีมัม $\| f \| = {\displaystyle \sup_{x\in [0,1]} \mid f(x) \mid }$
และให้ $\{ f_n\}$ เป็นลำดับโคชีใน $C[0,1]$ จะได้ว่า ทุกค่า $x_0\in [0,1]$ จะมีลำดับโคชี $\{ f_n(x_0)\}$ เนื่องจาก
\[ \mid f_n(x_0)-f_m(x_0) \mid \leq \sup_{x \in [0,1]} \mid f_n(x_0)-f_m(x_0) \mid = \| f_n(x_0)-f_m(x_0) \| \rightarrow 0 \; \; \; \text{as} \; \; \; m,n \rightarrow \infty \]
เนื่องจาก $\mathbb{R}$ เป็นเซตบริบูรณ์จะได้ว่ามีลิมิตใน $\mathbb{R}$ คือมีฟังก์ชันซึ่ง
\[ f_n(x) \rightarrow f(x), \; \; x \in [0,1] ...(*)\] โดยที่เป็นการลู่เข้าแบบแต่ละจุด (pointwise converge)
ต่อไปจะแสดงว่า $f \in C[0,1]$ ดังนี้
ให้ $x, x_0 \in [0,1]$
\[ \mid f(x) - f(x_0) \mid \leq \mid f(x) - f_n(x)\mid + \mid f_n(x)-f_n(x_0)\mid + \mid f_n(x_0) -f(x_0) \mid \]

$\mid f_n(x)-f_n(x_0)\mid \rightarrow 0 $ เนื่องจาก $f_n$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $[0,1]$

จาก (*) จะได้ว่า $\mid f(x) - f_n(x)\mid \rightarrow 0$ และ $\mid f(x_0) - f_n(x_0)\mid \rightarrow 0$

นั่นคือ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด $x=x_0$ ทุก $x_0 \in [0,1] $

จึงได้ว่า $C[0,1]$ ที่มีนอร์มซูพรีมัม เป็นปริภูมิบานาค #

(ฉบับแก้ไขครับของเก่ารู้สึกจะผิด อิอิ)

[nooonuii]

งงกับบรรทัดนี้เหมือนกันครับ วันนี้ผมเบลอๆ ยังไม่ได้อ่านแบบละเอียดเลยครับ

[SOS_math]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
มีจุดสงสัยเพิ่มครับ คือ การพิสูจน์นี้ มีการละ $\{ f_n\}$ มีขอบเขตไว้ใช่รึเปล่าครับ เพราะว่าถ้า $\{ f_n\}$ ไม่มีขอบเขต ก็จะหา supremum ไม่ได้โดยอัตโนมัติ อย่างเช่น
\[ f_n(x) = \frac{x}{n}, \; \; \; \; x \in \mathbb{R}\]
\[ g_n(x) = \frac{x}{n}, \; \; \; \; x \in [0,1] \]
จะได้ว่า $f_n$ ไม่ uniform convergence แต่ว่า $g_n$ uniform convergence
อันนี้ ผมเข้าใจถูกรึเปล่าครับเพราะว่าในหนังสือเล่มนึงไม่ได้เขียนไว้ แต่อีกเล่มนึงเขียนไว้ เริ่ม งง ถ้าเขียนไว้ทฤษฏีน่าจะรัดกุมกว่า

การพิสูจน์ถูกต้องครับ ตัวอย่างที่ให้มาก็ไม่ได้ขัดแย้งแต่อย่างใด

[SOS_math]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
คราวนี้ เป็นการพิสูจน์ว่า ปริภูมิ $C[0,1]$ เป็นปริภูมิบานาค ครับ
ให้ $C[0,1]$ เป็นเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $[0,1]$ ที่มี นอร์มซูพรีมัม $\| f \| = {\displaystyle \sup_{x\in [0,1]} \mid f(x) \mid }$
และให้ $\{ f_n\}$ เป็นลำดับโคชีใน $C[0,1]$ จะได้ว่า ทุกค่า $x_0\in [0,1]$ จะมีลำดับโคชี $\{ f_n(x_0)\}$ เนื่องจาก
\[ \mid f_n(x_0)-f_m(x_0) \mid \leq \sup_{x \in [0,1]} \mid f_n(x_0)-f_m(x_0) \mid = \| f_n(x_0)-f_m(x_0) \| \rightarrow 0 \; \; \; \text{as} \; \; \; m,n \rightarrow \infty \]
เนื่องจาก $\mathbb{R}$ เป็นเซตบริบูรณ์จะได้ว่ามีลิมิตใน $\mathbb{R}$ คือมีฟังก์ชันซึ่ง
\[ f_n(x) \rightarrow f(x), \; \; x \in [0,1] ...(*)\] โดยที่เป็นการลู่เข้าแบบแต่ละจุด (pointwise converge)
ต่อไปจะแสดงว่า $f \in C[0,1]$ ดังนี้
ให้ $x, x_0 \in [0,1]$
\[ \mid f(x) - f(x_0) \mid \leq \mid f(x) - f_n(x)\mid + \mid f_n(x)-f_n(x_0)\mid + \mid f_n(x_0) -f(x_0) \mid \]

$\mid f_n(x)-f_n(x_0)\mid \rightarrow 0 $ เนื่องจาก $f_n$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $[0,1]$

จาก (*) จะได้ว่า $\mid f(x) - f_n(x)\mid \rightarrow 0$ และ $\mid f(x_0) - f_n(x_0)\mid \rightarrow 0$

นั่นคือ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด $x=x_0$ ทุก $x_0 \in [0,1] $

จึงได้ว่า $C[0,1]$ ที่มีนอร์มซูพรีมัม เป็นปริภูมิบานาค #

(ฉบับแก้ไขครับของเก่ารู้สึกจะผิด อิอิ)

บทพิสูจน์ถูกต้องครับ เข้าใจถูกต้อง แต่เขียนยังไม่ดีนะครับ ถ้าจะแก้เป็นแบบนี้

ต่อไปจะแสดงว่า $f \in C[0,1]$ ดังนี้สำหรับแต่ละ $x_0\in[0,1]$
เราพบว่า แต่ละจำนวนนับ $n$ นั้น
$$\lim_{x\to x_0}|f(x)-f(x_0)|
\leq |f(x) - f_n(x)| + \lim_{x\to x_0}|f_n(x)-f_n(x_0)| +| f_n(x_0) -f(x_0) |$$
และจาก $\lim_{x\to x_0}|f_n(x)-f_n(x_0)|=0$ จึงได้ว่า
$$\lim_{x\to x_0}|f(x)-f(x_0)|
\leq \lim_{n\to \infty}|f(x) - f_n(x)| +\lim_{n\to \infty}| f_n(x_0) -f(x_0) |=0$$
หรือ $f$ ต่อเนื่องที่ $x_0$ นั่นเอง

[M@gpie]

ขอบคุณคุณ SoSmath กับ พี่ Noonuii มากนะครับที่ให้คำชี้แนะ
แล้วถ้ามีคำถามผมจะรบกวนอีกนะครับ แหะๆ