|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
|.ต้องการแนวคิดครับ.|
1. สนามเด็กเล่นมีขอบเขตเป็นรูปสามเหลี่ยม มีเสาสปอตไลท์ ที่มีลักษณะเหมือนกันทุกประการ (เสาสูงเท่ากันและเมื่อเปิดสปอตไลท์ จะพบว่าสปอตไลท์ทั้งสามส่องแสงลงบนพื้นครอบคลุมบริเวณภายในวงกลมขนาดเท่ากัน)ตั้งอยู่ที่จุดยอดมุม จุดละหนึ่งต้น คืนหนึ่ง ด.ช.พิเรนทร์ ได้แอบย้ายเสาสปอตไลท์ ไปตั้งไว้ที่ขอบสนามแต่ละด้าน ด้านละหนึ่งต้น และทดลองเปิดสปอตไลท์ พบว่าขอบเขตอาณาบริเวณรูปวงกลมที่สปอตไลท์ทั้งสามส่องไป
ถึง พบกันที่จุดจุดหนึ่งพอดี และเมื่อย้ายเสาสปอตไลท์ต้นหนึ่งไปปักไว้ที่จุดนั้น พบว่าแสงจาก สปอตไลท์ต้นนี้ยังคงส่องอยู่เฉพาะภายในสนามเด็กเล่นโดยไม่ส่องล้ำออกไปภายนอกเลย จงหาว่าจุดภายในสนามเด็กเล่นดังกล่าว เป็นจุดจวบชนิดใดของรูปสามเหลี่ยม |
#2
|
||||
|
||||
ไม่ค่อยแน่ใจนะครับ เรื่องเรขาคณิตนี่ใบ้รับประทานเลย
จากการทดลองวาดรูปโดยวงเวียนดู จะพบว่าจุดดังกล่าวจะมีระยะห่างไปยังเสาไฟทั้งสามที่ย้ายมาเท่า ๆ กัน ดังนั้นจุดดังกล่าวสมควรเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยมรูปนั้น |
#3
|
|||
|
|||
2. ให้ \( A=\{1,2,3,...,n\},\ (n\geq 5) \)
\( S_{n}=\{f|f:A\rightarrow A\} \) (เป็นฟังก์ชัน 1ต่อ1) \( I_{n}=\{(x,x)|x\in A\} \) จงพิสูจน์ว่า 2.1 \( f\circ g\in S_{n} \) ทุกๆ \( f,g\in S_{n} \) 2.2 ทุกๆ \( f\in S_{n} \) จะมี \( g\in S_{n} \) ที่ทำให้ \( f\circ g\in I_{n} \) 2.3 ให้ \( X=\{f\in S_{n}|f\circ f=I_{n}\} \) จงหา |X| 06 ธันวาคม 2005 08:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Tony |
#4
|
||||
|
||||
2.1 Trivial เพราะ \(|A|<\infty\ \Rightarrow\ f,g\in{}S_n\) เป็น bijection
2.2 ให้ f=p(x) เป็น permutation บน A จะได้ g=p-1 ซึ่งทำให้ \(f\circ{}g=id\in{}I_n\) 2.3 (ไม่ชัวร์นะครับ) \(|\{f\in S_{n}|f\circ f=id\}|=|\{f\in S_{n}|f=f^{-1}\}|\) จาก 2.2 จะได้ว่า x=p(x) นั่นคือ |X|=1
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#5
|
|||
|
|||
อย่างข้อ 2.3
ถ้าให้ \( A=\{1,2,3,4\} \) จะมี f1={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} f2={(1,1),(2,2),(3,4),(4,3)} f3={(1,1),(2,4),(3,3),(4,2)} f4={(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)} f5={(1,4),(2,2),(3,3),(4,1)} f6={(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)} f7={(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} f8={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)} f9={(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)} f10={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} ที่ทำให้ \( f\circ f\in I_{n} \) |
#6
|
|||
|
|||
ข้อ 2.3 นะครับ
ผมขอเริ่มดูที่ \(\ S_7\ \) ละกัน จะได้ดูง่ายๆ การที่ composite แล้วจะได้ Identity นั้น มี 2 กรณีคือ 1.) เลือก ตัวเอง 2.) เลือกตัวอื่น แล้วตัวอื่นมาเลือกตัวนั้น (จับคู่สลับกันเลือก) นั่นคือ สมมติเรามี \(\ S_7\ \) อยู่ ก็แบ่งกลุ่มดังนี้ ไม่จับเลย???????(1111111) จับ 1 คู่ ????????(11)(11111) จับ 2 คู่ ????????(11)(11)(111) จับ 3 คู่ ????????(11)(11)(11)(1) ปล. ตัวหนาคือเลือกจับตัวเองนะครับ ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| (\( i\)) ไม่จับเลย ก็ ง่ายๆคือ \[ 1 \] วิธีครับ ---------------------------------------------------------------- (\( ii\)) จับ 1 คู่ มีอยู่ 7 เลือก 2 คือ \[ {7 \choose 2} \] ---------------------------------------------------------------- (\( iii\)) จับ 2 คู่ มีอยู่ 7 เลือก 2 คู่คือ \( {7 \choose 2}{5 \choose 2} \) แต่ในขณะที่ 2 กลุ่มนั้น (ที่มีจำนวนเท่ากันคือ 2) สลับกัน ไม่ทำให้เกิดกลุ่มใหม่ ก็เลยต้องหารด้วย 2! เป็น \[ \frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2} }{2!} \] ---------------------------------------------------------------- (\( iiii\)) จับ 3 คู่ มีอยู่ 7 เลือก 3 คู่คือ \( {7 \choose 2}{5 \choose 2}{3 \choose 2} \) แต่ในขณะที่ 3 กลุ่มนั้น (ที่มีจำนวนเท่ากันคือ 2) สลับกัน ไม่ทำให้เกิดกลุ่มใหม่ ก็เลยต้องหารด้วย 3! เป็น \[ \frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2}{3 \choose 2} }{3!} \] ---------------------------------------------------------------- ดังนั้น จำนวน ฟังก์ชันที่ composite กันแล้วได้ Identity ของ \(\ S_7\ \)คือ \[ 1+\frac{{7 \choose 2}}{1!} +\frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2} }{2!}+\frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2}{3 \choose 2} }{3!}=\ 337 \] ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| ขยายไปสู่รูปทั่วไปคือ จำนวน ฟังก์ชันที่ composite กันแล้วได้ Identity ของ \(\ S_n\ \)คือ \[ \LARGE \sum_{k=1}^{ \lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \frac{\Pi_{j=1}^k {n-2j+2 \choose 2}}{j!}+1 \] ดูยุ่งยากมากๆ ไม่ทราบว่าสามารถลดทอนอะไรได้บ้าง ลองเช็คกับ \(\ S_4\ \) ดูนะครับ \[ \sum_{k=1}^{2} \frac{\Pi_{j=1}^k {4-2j \choose 2}}{j!}+1\ =\ 6+3+1\ =\ 10 \]
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ |
#7
|
|||
|
|||
ที่น้อง R-Tummykung de Lamar เขียนมาเยี่ยมมากครับ แต่ผมมีความเห็นเพิ่มเติมดังนี้
1. ผลลัพธ์ในกรณี S7 คือ 232 ไม่ใช่ 337 2. ตรง j! ในสูตร ที่ถูกต้องเป็น k! 3. สูตรยังยุบต่อได้ อย่างเช่นลองสังเกตว่า\[{7\choose2}{5\choose2}{3\choose2}= \frac{7!}{2!\,5!}\cdot\frac{5!}{2!\,3!}\cdot\frac{3!}{2!\,1!}= \frac{7!}{2^3}\]ซึ่งหลังจากยุบแล้วควรจะได้อะไรคล้ายๆแบบนี้\[ \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{n!}{2^kk!(n-2k)!}\] 4. ลองอ่านเรื่อง Permutation Involution เพิ่มเติมดูนะครับ |
#8
|
|||
|
|||
อืม ขอบคุณพี่ warut มากเลยยครับ
สำหรับข้อ 1 ผมเห็นด้วยกับพี่ gon ครับ ว่าเป็นจุด Incenter เยื่องจาก ระยะห่างจุดตัดของสปอตไลท์กับด้าน ด้านหนึ่ง เท่ากับ ระยะห่างระหว่างสปอตไลท์กับด้านด้านนั้น (เข้าใจไหมเนี่ย ) แต่มันไม่ล้นออกนอกกรอบ แสดงว่าต้องสัมผัสกับด้าน ด้านนั้น สรุปแล้วมันคือจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม หรือ (Incenter : I)นั่นเอง
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ |
#9
|
|||
|
|||
ขอบคุณสำหรับทุกๆ แนวคิด กับ link ครับ
แต่ช่วยอธิบายข้อ 2.1 กับ 2.2 ด้วยครับ ไม่เข้าใจเลย |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
f(x)=|x| exp(-|x|*Squareroot(|sin x|)) ??? | Spinor | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 5 | 28 สิงหาคม 2001 15:03 |
|
|