|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์ Number theoric function สอบวันนี้คับ
ทำไปไม่รู้เลยว่าถูกหรือเปล่า ยังไงก็ขอรบกวนด้วยนะครับ
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{d\left.\,\right| n} (-1)^\frac{n}{d}d = 2\sigma \left(\,\frac{n}{2}\right) -\sigma(n)$$
__________________
ได้แต่ถอนหายใจไปออนทู... เอ๊ย วันๆ 02 สิงหาคม 2010 18:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Chronon |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\sigma{(n)}=(2^{t+1}-1)\sigma{(m)}$ $\sigma{(n/2)}=(2^{t}-1)\sigma{(m)}$ ดังนั้น $2\sigma{(n/2)}-\sigma{(n)}=-\sigma{(m)}$ ในขณะเดียวกัน $\displaystyle{\sum_{d|n}(-1)^{n/d}d=\sum_{d|n}(-1)^d\dfrac{n}{d}}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=n\Big[\sum_{d|m}\dfrac{(-1)^d}{d}+\sum_{d|m}\dfrac{(-1)^{2d}}{2d}+\cdots+\sum_{d|m}\dfrac{(-1)^{2^td}}{2^td}\Big]}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=n\Big[-\sum_{d|m}\dfrac{1}{d}+\sum_{d|m}\dfrac{1}{2d}+\cdots+\sum_{d|m}\dfrac{1}{2^td}\Big]}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=n\Big[-1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^t}\Big]\sum_{d|m}\dfrac{1}{d}}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=-\dfrac{n}{2^t}\sum_{d|m}\dfrac{1}{d}}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=-\sum_{d|m}\dfrac{m}{d}}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=-\sum_{d|m}d}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~=-\sigma{(m)}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 28 มีนาคม 2013 09:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#3
|
||||
|
||||
วิธีคล้ายๆ กันเลยครับ แต่ของผมไม่ได้กลับตามสมการแบบนี้น่ะครับ
เอ้อ ตรงนี้มายังไงหรอครับ
__________________
ได้แต่ถอนหายใจไปออนทู... เอ๊ย วันๆ |
#4
|
|||
|
|||
มันเป็น trick ที่ใช้ในการเปลี่ยน index น่ะครับ
ถ้า $d$ เป็นตัวหารของ $n$ จะได้ว่า $\dfrac{n}{d}$ ก็เป็นตัวหารของ $n$ ด้วย ดังนั้นเราสามารถเปลี่ยน index ให้เป็น $e=\dfrac{n}{d}$ จะได้ $d=\dfrac{n}{e}$ $\displaystyle{\sum_{d|n}(-1)^{n/d}d=\sum_{\frac{n}{e}|n}(-1)^e\dfrac{n}{e}}$ $\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{e|n}(-1)^e\dfrac{n}{e}}$ บรรทัดสุดท้ายมันเท่ากับของเดิมเพราะว่าเราหาผลบวกสำหรับตัวหารทั้งหมดของ $n$ ครับ ไม่ว่าจะใช้ $e$ หรือ $\dfrac{n}{e}$ ยังไงผลบวกมันก็หาสำหรับทุกตัวหารของ $n$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ช่วยคิดหน่อยค่ะ เรื่อง function log | *~Dai-Dai~* | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 3 | 21 กรกฎาคม 2010 22:43 |
ข้อสอบ Function ยอด hit | peeradaj | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 2 | 18 มีนาคม 2010 22:04 |
โจทย์ Function ค่ะ | areenart | ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย | 4 | 12 สิงหาคม 2009 15:40 |
Function | JamesCoe#18 | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 2 | 22 กรกฎาคม 2009 13:50 |
ช่วยหาคำตอบFUNCTIONหน่อย | บาคุระ จัง | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 4 | 09 กุมภาพันธ์ 2006 17:29 |
|
|