#1
|
||||
|
||||
ช่วยหน่อยครับ
$x,y,z$ be positive real numbers such that $xyz = 1$
Prove $\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)} + \dfrac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \dfrac{z^3}{(1+x)(1+y)} \geqslant \dfrac{3}{4}$
__________________
Fortune Lady
|
#2
|
||||
|
||||
็Hint ก็ได้ครับ ถ้าไม่อยากเสียเวลาพิมพ์ เฉลย
__________________
Fortune Lady
|
#3
|
|||
|
|||
AM-GM$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+ \frac{1+y}{8} +\frac{1+z}{8}\geqslant \frac{3x}{4}$
$\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \frac{1+z}{8} +\frac{1+x}{8}\geqslant \frac{3y}{4}$ $\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}+ \frac{1+x}{8} +\frac{1+y}{8}\geqslant \frac{3z}{4}$ รวมทุกสมการจะได้$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)} \geqslant \frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4} \geqslant \frac{3}{4} (จากAM-GM และ xyz=1)$ |
#4
|
||||
|
||||
Prove that
$\sqrt{a} +\sqrt{b} + \sqrt{c} \geqslant ab+bc+ca$ $a+b+c = 3$
__________________
Fortune Lady
14 พฤษภาคม 2010 10:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Siren-Of-Step |
#5
|
|||
|
|||
ต้องมี $ a+b+c=3$ ด้วยรึเปล่าครับ ไม่งั้นมันไม่จริงอ่ะ
|
#6
|
||||
|
||||
ใช่แล้วครับ ลืมพิมพ์
__________________
Fortune Lady
|
#7
|
|||
|
|||
จากAM-Gm $a^2+\sqrt{a}+ \sqrt{a}\geqslant 3a$
$b^2+\sqrt{b}+ \sqrt{b}\geqslant 3b$ $c^2+\sqrt{c}+ \sqrt{c}\geqslant 3c$ รวมทุกสมการจะได้ $(a^2+b^2+c^2)+2(\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c} )\geqslant 3(a+b+c)$ แต่จากโจทย์ $a+b+c=3 แทน 3=a+b+c ใน LHS แล้วกระจาย$ จะได้ $ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}\geqslant ab+bc+ca$ |
|
|