|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
รบกวนอธิบายเกี่ยวกับ อสมการจัดเรียงและอื่นๆครับ
1.อยากทราบว่าทฤษฏีของอสมการจัดเรียงคืออะไรอ่ะครับ
2.อยากทราบเกี่ย่วกับพหูนามเอกพันธุ์ว่าทำไม่เราสามารถสมมติได้ว่า a+b+c=1 อ่ะครับ 3.อยากทราบว่าอสมการเชบีเชฟใช้ทำอะไรได้บ้างอ่ะครับ ขอบคุณมากครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... |
#2
|
|||
|
|||
อสมการการจัดเรียงคืออสมการที่พิจารณาค่าสูงสุดต่ำสุดของผลคูณในรูป
$a_1b_1+\cdots+a_nb_n$ ถ้าเรานำ $a_1,...,a_n$ มาเรียงค่าจากน้อยไปมากได้เป็น $c_1,...,c_n$ และนำ $b_1,...,b_n$ มาเรียงค่าจากน้อยไปมากได้เป็น $d_1,...,d_n$ เราจะได้อสมการการจัดเรียงคือ $c_nd_1+c_{n-1}d_2+\cdots+c_1d_n\leq a_1d_1+a_2d_2+\cdots+a_nd_n\leq c_1d_1+c_2d_2+\cdots c_nd_n$ อสมการนี้จริงบนจำนวนจริงใดๆ ----------------------------------------------------------------------------------- สมมติเป็นอสมการเอกพันธ์ในตัวแปร $a,b,c$ เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ $x=\dfrac{a}{a+b+c},y=\dfrac{b}{a+b+c},z=\dfrac{c}{a+b+c}$ เนื่องจากเป็นอสมการเอกพันธ์ การถ่วงน้ำหนักตัวแปรด้วยค่าคงที่ใดก็ตามจะไม่ส่งผลต่ออสมการ หมายความว่าถ้าเราแทนค่า $a=x(a+b+c),b=y(a+b+c),c=z(a+b+c)$ เข้าไปในอสมการเดิม แต่ละเทอมจะมีตัวประกอบที่อยู่ในรูป $(a+b+c)^k$ เสมอซึ่งสุดท้ายเราสามารถตัดทอนกันได้หมด อสมการที่เหลืออยู่ก็คืออสมการในรูปแบบเดิมทุกประการแต่อยู่ในรูปตัวแปร $x,y,z$ ทั้งหมด แต่จะเห็นได้ว่า $x+y+z=1$ สุดท้ายก็เลยได้ว่า เราต้องพิสูจน์อสมการเดิมในรูปตัวแปรใหม่ แต่มีเงื่อนไข $x+y+z=1$ เข้ามาแทน ดังนั้นถ้ามองย้อนกลับไปที่ตัวแปรชุดเดิม การสมมติว่า $a+b+c=1$ ตั้งแต่ต้นก็ไม่ได้เสีย นัยทั่วไปในการพิสูจน์แต่อย่างใด ตัวอย่าง $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$$ ให้ $x=\dfrac{a}{a+b+c},y=\dfrac{b}{a+b+c},z=\dfrac{c}{a+b+c}$ แทนค่า $a=x(a+b+c),b=y(a+b+c),c=z(a+b+c)$ ลงไปจะได้ $$\dfrac{x(a+b+c)}{y(a+b+c)+z(a+b+c)}+\dfrac{y(a+b+c)}{z(a+b+c)+x(a+b+c)}+\dfrac{z(a+b+c)}{x(a+b+c)+y(a+b+c)}\geq\dfrac{3}{2}$$ $$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\geq\dfrac{3}{2}$$ สำหรับการสมมติเงื่อนไขอื่นก็ทำโดยการเปลี่ยนตัวแปรเหมือนกันเช่น ถ้าเปลี่ยนตัวแปรเป็น $x=\dfrac{a}{\sqrt[3]{abc}},y=\dfrac{b}{\sqrt[3]{abc}},z=\dfrac{c}{\sqrt[3]{abc}}$ เราก็จะได้อสมการเดิมแต่มีเงื่อนไข $xyz=1$ เพิ่มขึ้นมา
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
ถามเพิ่มครับ
เราสามารถให้ a+b+c=n เมื่อ n เป็นจำนวนเต้มบวกใดๆเท่านั้นใช่ไหมครับ หรือแทนได้เฉพาะกรณี n=1 ครับ สองเราสามารถแทน ab+bc+ca=n เมื่อ n เป็นจำนวนเต้มบวกใดๆเท่านั้นใช่ไหมครับ หรือแทนได้เฉพาะกรณี n=1 ขอบคุณครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$ab+bc+ca=r$ $abc = r$ $a^2+b^2+c^2=r$ เมื่อ $r>0$ เป็นจำนวนจริงใดๆ แทนได้หมดครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|