|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
การประยุกต์เเคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
จงแสดงว่าสมการ $e^x+x=0$ มีเพียงหนึ่งคำตอบที่เป็นจำนวนจริงในช่วง [-1,0]
f(x) = $e^x+x$ f'(x) = $e^x+1 \geqslant 0$ เมื่อ -$\infty$<x<$\infty$ f(x) เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นทางเดียว $\lim_{x \to -\infty}$ f(x) = $-\infty$ ,$\lim_{x \to \infty}$ f(x) = $\infty$ จากทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง มีจำนวนจริงเพียงหนึ่งค่าที่เป็นคำตแบของ f(x)=0 เนื่องจากf(-1) =$ \frac{1}{e}<0$ ,f(0) =1>0 สมการที่กำหนดให้มีเพียงหนึ่งคำตอบที่เป็นจำนวนจริงในช่วง [-1,0] *สงสัยว่าเราจำเป็นต้องหา เมื่อ $-\infty<x<\infty$ f(x) เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นทางเดียว $\lim_{x \to -\infty}$ f(x) = $-\infty$ ,$\lim_{x \to \infty}$ f(x) = $\infty$ ด้วยเหรอค่ะ |
#2
|
|||
|
|||
ไม่จำเป็นต้องหาลิมิต เพราะตรงที่อ้างว่า
$f(-1)=\dfrac{1}{e}-1<0$ $f(0)=1>0$ นั้นเพียงพอที่จะสรุปว่าสมการมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบจาก Intermediate value theorem แต่พิสูจน์ว่า $f$ เป็น strictly increasing function นั้นจำเป็นครับ เพราะอันนี้จะทำให้ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าสมการ $f(x)=0$ จะมีคำตอบเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
จงพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยโดยใช้ทฤษฎีบทของโรลล์
[พิสูจน์] ให้ $F(x)= f(x) - [ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)] (a\leqslant x\leqslant b)$ F(a)=F(b)=0 $F'(x)=f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ จากทฤษฎีบทของโรลล์ จะได้ว่าฟังก์ชัน F(x)มีค่าc อย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วง(a,b) ที่ทำให้F'(c)=0 จาก$F'(c)=f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ *อยากทราบว่าเรารู้ได้อย่างไรว่า F(a)=F(b)=0 |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|