ช่วยคิดโจทย์เลขให้หน่อยจ้า ของเพชรยอดมงกุฏอ่ะจ้า

[Fighting~]

ของเพชรยอดมงกุฏอ่ะจ้า

ข้อแรกเปนข้อที่ 37 ครั้งที่ 2

- กำหนด f(x) = x?g(x) ถ้า f`(x)=4x ยกกำลังสาม + 9x ยกกำลังสอง และ f(0)=0 กำหนดให้ h(x)=f(x)/g(x+1) จงหาค่าของ h`(-2)

ข้อที่สองเป็นข้อที่ 19 ครั้งที่ 3

- กำหนด f(n) คือกำลังสองของผลบวกของเลขโดดของ n เมื่อ n เป็นจำนวนนับและ fยกกำลังm(n)=[(f๐f๐f๐...๐f) จำนวน m ตัว]คูณกับ n แล้ว ค่าของ f ยกกำลัง 2005(2005)เท่ากับเท่าไร

ข้อสุดท้ายเป็นข้อที่ 14 ครั้งที่ 4 น้า

- ให้ M และ N เป็นเซตจำกัด กำหนดให้ M*N=(M-N)U(N-M) ถ้า A={2,3,4,6,7} B={2,4,5,8,9} C={2,3,5,10,11} และ D=(A*B)*C แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต D มีค่าเท่าใด

ช่วยด้วยน้า >< ขอบใจมากเลยจ้า คืดไม่ออกจิงๆงะ

[HIGG BOZON]

ข้อ 1 แคลคูลัสธรรมดานะครับ อินทิเกรต $f '(x)$ จะได้ $f(x)=x^4+3x^3+c$
จาก $f(0)=0$ จะได้ $c=0$ และจาก $f(x)=x\cdot g(x)$ จะได้ $g(x)=x^3+3x^2$
ทำให้ $g(x+1)=(x+1)^3+3(x+1)^2$ ดังนั้น $h(x)=\frac{x^4+3x^3}{(x+1)^3+3(x+1)^2}$
หาค่า $h '(x)$ โดยใช้สูตร diff ของผลหาร (ลองทำดูเองนะครับ) เสร็จแล้วแทนค่าด้วย $-2$
ถ้าคิดถูกจะได้ว่า $h '(-2) = -4$

ข้อ 2 เป็น composite function $2,005$ ครั้ง นั่นคือหาค่าของ $f(f(f(f(.....f(f(2,005))))))$ โดยมี f อยู่ $2,005$ ตัว พิจารณา $f(2,005) = (2+0+0+5)^2 = 49$ ดังนั้น $f^{2,005}(2,005) = f^{2,004}(49)$ พิจารณา $f(49) = (4+9)^2 = 169$ ดังนั้น $f^{2,004}(49) = f^{2,003}(169)$ พิจารณา $f(169) = (1+6+9)^2 = 256$ ดังนั้น $f^{2,003}(169) = f^{2,002}(256)$ พิจารณา $f(256) = (2+5+6)^2 = 169$ ดังนั้น $f^{2,002}(256) = f^{2,001}(169)$ สังเกตว่าเกิดการวนซ้ำ จะได้ว่า $f^{2,001}(169) = f^{2,000}(256) = f^{1,999}(169) = f^{1,998}(256) = .... = f^{2}(256) = f(169) = 256$ เพราะฉะนั้น $f^{2,005}(2,005) = 256$

ข้อ 3 ทำไปตามนิยามเซตที่โจทย์กำหนดธรรมดาครับ $A*B = (A-B)\bigcup (B-A) = ${3,5,6,7,8,9} ดังนั้น $D =$ {3,5,6,7,8,9}$*C = ${2,6,7,8,9,10,11} เพราะฉะนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $D$ คือ $2+6+7+8+9+10+11 = 53$