|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ข้อสอบประกายกุหลาบ ม.ต้น
ครั้งที่ 3 นะครับ
ตอนที่ 1 มีทั้งหมด 17 ข้อ 1. ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(x^{2}-\frac{1}{x}=1\) จงหาค่าของ \(x^{4}-x^{3}-x^{2}\) 2. กำหนดพาราโบลา \(P_1,P_2\) ดังนี้ \(\qquad P_1\) มีจุดยอดที่ \((2005,2547)\) มีสมการเป็น \(y=a_1 x^{2}+ a_2 x+ a_3 ; a_1,a_2,a_3\) เป็นจำนวนจริง \(\qquad P_2\) มีจุดยอดที่ \((2547,2005)\) มีสมการเป็น \(x=b_1 y^{2} + b_2 y + b_3 ; b_1,b_2,b_3\) เป็นจำนวนจริง \(\qquad P_1,P_2\) ตัดกันได้อย่างมากกี่จุด 3. การสอบคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน โจทย์แต่ละข้อจะมีนักเรียนทำได้ 7 คนพอดี ถ้านักเรียน 9 คนทำได้คนละ 4 ข้อ นักเรียนคนที่ 10 จะทำโจทย์ได้กี่ข้อ 4. กำหนดให้ \(A=[(3\times 21)^{\frac{1}{2}}+8]^{\frac{1}{3}}-[(3\times 21)^{\frac{1}{2}}-8]^{\frac{1}{3}}\) \(\qquad\qquad B=[20-(14\times 2)^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{3}}+[20+(14\times 2)^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{3}}\) \(\qquad\qquad C=[5^{\frac{1}{2}}+2]^{\frac{1}{3}}+[5^{\frac{1}{2}}-2]^{\frac{1}{3}}\) ข้อใดสรุปถูกต้อง ก. \(A,B,C \) เป็นจำนวนนับ \(\qquad\) ข. \(A > C \qquad\) ค. \(C>B \qquad\) ง. ผิดทุกข้อ 5. โจรสลัดกลุ่มหนึ่ง(มากกว่า 9 คน แต่ไม่เกิน 20 คน)ได้โขมยถุงมาถุงหนึ่งซึ่งมีเหรียญทองคำ 2717 เหรียญ แต่ละเหรียญมีขนาดเท่ากัน โจรสลัดกลุ่มนี้ต้องการจะแบ่งเหรียญทองคำให้เท่า ๆกัน แต่ปรากฎว่าเหลือเศษอยู่ 2 เหรียญ จึงตกลงกันไม่ได้ ขณะโต้เถียงกันนั้นโจรสลัดคนหนึ่งถูกฆ่าตาย โจรสลัดที่ยังมีชีวิตอยู่ก็พยายามแบ่งเหรียญใหม่ให้ได้เท่าๆกัน แต่ปรากฏว่าเหลือเศษอยู่ 1 เหรียญจึงตกลงกันไม่ได้อีก ขณะโต้เถียงกันนั้นโจรสลัดคนหนึ่งถูกฆ่าตาย โจรสลัดที่ยังมีชีวิตอยู่ก็พยายามจะแบ่งเหรียญใหม่ให้ได้เท่าๆกัน ปรากฏว่าคราวนี้แบ่งลงตัวพอดี จงหาความน่าจะเป็นของจำนวนสมาชิกโจรสลัดซึ่งสามารถเกิดสถานการณ์ตามที่กำหนดให้ได้ |
#2
|
|||
|
|||
ข้อ 1 เนื่องจาก x น 0 จึงสามารถคูณ-หาร ตลอดสมการได้
\( \displaystyle{\begin{array}{rcr,rcl,rcr}&&x^2+\frac{1}{x}&=&1&...(0)\\&&x^4-x&=&x^2&...(1)\\ จาก (0)&&\frac{x^3-1}{x}&=&1\\&&x^3-1&=&x&...(2)\\เอา (2)ไปแทนใน(1)&&x^4-(x^3-1)-x^2&=&0\\&&x^4-x^3-x^2&=&-1\end{array}} \)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ |
#3
|
|||
|
|||
ข้อ 5
ให้โจรสลัดกลุ่มนี้มี n+2 คน จะได้ \( \displaystyle{\begin{array}{rrcl} &n&|&2717\\&n+1&|&2717-1=2716\\&n+2&|&2717-2=2715 \end{array}} \) ลองแยกตัวประกอบดู ได้ \( \displaystyle{2717 = 11\times13\times19} \) \( \displaystyle{2716 = 2^2\times7\times97} \) \( \displaystyle{2715 = 3\times5\times181} \) สังเกตดูก็จะได้ 13--14--15 ก็คือโจรกลุ่มนี้มี 15 คนครับ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 19 มีนาคม 2005 11:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
#4
|
||||
|
||||
น้อง Gools ไปสอบมาหรือครับ. เคยได้ยินมาเหมือนกันว่ามีสอบ แต่เพิ่งเคยเห็นข้อสอบนี่ล่ะ โจทย์ยากดีเลยครับ.
ข้อ 3 ไม่รู้จะอธิบายยังไง ใครมีความสามารถอธิบายได้ง่าย ๆ รบกวนช่วยอธิบายด้วยครับ. ผมเอาดินสอนั่งขีด ๆ ๆ แต่นึกไม่ออกว่าจะอธิบายยังไง สรุปว่าข้อสอบมีทั้งหมด 6 ข้อ 9 คนแรกทำได้คนละ 4 ข้อ อีกคนที่เหลือ ทำได้ 6 ข้อ คิดว่างั้นนะครับ. |
#5
|
||||
|
||||
ก็เพิ่งสอบมาไม่นานนี้ครับ ยากจริงๆ ผมทำไปได้ครึ่งนึงเอง
ขอย้ายไปถามข้อยากนะครับ 9. \(AE=6,BF=13,CD=23\) \(\frac{ED}{6}=\frac{FD}{13}+1\) จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD |
#6
|
||||
|
||||
ข้อ 1. อัตนัยครับ
1. จงหารากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ \[13x^{5}-78x^{4}-39x^{3}+507x^{2}-130x-580=5\] 2. กำหนดให้ \(A_0 A_1 A_2...A_9\) เป็นรูป 10 เหลี่ยมด่านเท่ามุมเท่า จงหาขนาดของมุม \(A_0 A_3 A_7\) 3.ให้ A,B และ C เป็นรากทั้ง 3 ของสมการ \(3x^{3}-6x^{2}+17x+11=0\) จงหาค่าของ \(A^{3}+B^{3}+C^{3}\) 4. กำหนดให้ \(n!=1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n\) จงหาจำนวนเต็มบวก \(K\) ที่มากที่สุดที่ทำให้ \((2004!)!\) หารด้วย \(((K!)!)!\) ลงตัว 5. ให้ \(a+b+c=1\) จงหาค่าของ \[a^{3}b+bc^{3}-a^{2}b+b^{2}c^{2}+2abc^{2}-bc^{2}+ab^{2}c+2a^{2}bc-abc+a^{2}b^{2} \] 6. \(P\) เป็นจุดภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า \(ABCD\) ถ้า \(PA=5, PB=\sqrt{2},PC=11\) จงหาความยาวของ \(PD\) |
#7
|
|||
|
|||
ข้อ 9.
จาก ED = EF + FD และ ED/6 = FD/13 + 1 เราจะได้ว่า 13EF + 7FD = 78 พื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD = พื้นที่สามเหลี่ยม ACE + พื้นที่สี่เหลี่ยม ABFE + พื้นที่สามเหลี่ยม BDF = 3CE + 9.5EF + 6.5FD = 3(CE + EF + FD) + (6.5EF + 3.5FD) = 3*23 + 78/2 = 108 |
#8
|
|||
|
|||
ข้อ 3
หากใช้วิธีพิจารณาค่าที่เป็นไปได้แบบเร็วๆ ก็ตอบ 6 ครับ คือสมมติให้ มีจำนวนข้อ x ข้อ และนักเรียนคนที่ 10 ทำได้ y ข้อ หากทำถูกคือได้ 1 คะแนน และทำผิดคือไม่ได้คะแนน (เอาศูนย์ไปกิน) เมื่อพิจารณาถึงคะแนนรวมของการสอบทั้งหมดจะพบว่า 7x = 9(4) + y โดยที่ y <= x จึงเหลือเพียงกรณีเดียวที่เป็นไปได้คือ x = y = 6 ส่วนเหตุผลจริงๆนั้น รอคนข้างล่างมาตอบครับ |
#9
|
||||
|
||||
สุดยอดครับคุณ warut คิดข้อ 9 ได้เร็วมากๆ
ข้อนี้ผมใช้เลาเป็นชั่วโมงนะเนี่ย |
#10
|
|||
|
|||
ข้อ 1 อัตนัยครับ .ย้าย 5 ไปลบ แล้วเอา 13 ทอน
\(\displaystyle{\begin{array}{lrcl}&x^5-6x^4-3x^3+36x^2-10x+45&=&0 \\&x(x^4-3x^2-10)-3(2x^4-13x^2+15)&=&0\\&x(x^2-5)(x^2+2)-3(2x^2-3)(x^2-5)&=&0\\&(x^2-5)(x^3-6x^2+2x+9)&=&0\\บังเอิญว่าเห็น สัมประสิทธิ์\\วงเล็บหลังหลักคี่ = หลักคู่พอดี\\&(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})(x+1)(x^2-7x+9)&=&0\\วงเล็บสุดท้ายมีคำตอบคือ&x&=&\frac{7\ \ \pm\sqrt{13}}{2}\\ดังนั้นคำตอบทั้งหมดคือ&x\quad=\quad\pm\sqrt{5},\quad-1,\quad\frac{7\ \ \pm\sqrt{13}}{2}\end{array}} \)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ |
#11
|
|||
|
|||
ข้อ 6 อัตนัยครับ
จากรูปที่แนบมา รูปซ้าย พลิกเส้นให้เป็นรูปขวา ให้ PE ยาว x จะได้ PF ยาว \( \displaystyle{\sqrt{25-x^2}} \) จะได้ PG ยาว \( \displaystyle{\sqrt{-23+x^2}} \) จะได้ PH ยาว \( \displaystyle{\sqrt{144-x^2}} \) ดังนั้น PD ยาว \( \displaystyle{(\sqrt{144-x^2})^2+x^2\quad=\quad\sqrt{144}\quad=\quad12} \) กรณีทั่วไป คือ ถ้ายาว x,y และ z (y เป็นด้านตรงข้ามกับด้านที่ราต้องการหา) จะได้ด้านที่ต้องการหายาว \(\displaystyle{\sqrt{x^2+z^2-y^2}} \)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 19 มีนาคม 2005 13:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
#12
|
||||
|
||||
ถ้า \( \; A,B,C \; \)เป็นรากของสมการ \( 3x^3-6x^2+17x+11 =0 \;\) แล้ว จงหา \( A^3+B^3+C^3 \)
เนื่องจาก \( \; A,B,C \; \)เป็นรากของสมการ \( x^3-2x^2+\frac{17}{3}x+\frac{11}{3} =0 \;\)โดยทฤษฏีบทรากของพหุนาม เราจะได้ว่า \[ A+B+C = 2 \] \[ AB+AC+BC=\frac{17}{3} \] \[ ABC=-\frac{11}{3} \] และจะได้ด้วยว่า \[ A^3-2A^2+\frac{17}{3}A+\frac{11}{3} =0 \] \[ B^3-2B^2+\frac{17}{3}B+\frac{11}{3} =0 \] \[ C^3-2C^2+\frac{17}{3}C+\frac{11}{3} =0 \] จับสามสมการบวกกัน จะได้ \[ (A^3+B^3+C^3)-2(A^2+B^2+C^2)+\frac{17}{3}(A+B+C)+11 =0 \] เนื่องจาก \[ (A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2 +2AB+2AC+2BC \] ดังนั้น \[ A^2+B^2+C^2 = 2^2 - 2(\frac{17}{3}) \] เราก็สามารถหาค่าของ \( A^3+B^3+C^3 \) ได้ ตามต้องการ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#13
|
||||
|
||||
ข้อ 2 ครับ. จากรูป
หามุม x เนื่องจาก \(A_3OA_7 = 4(\frac{\pi}{5}) = 144 \, \) องศา ดังนั้น x = (1/2)(180 - 144) = 18 องศา หามุม y เนื่องจาก \(A_3OA_0 = 3(\frac{\pi}{5}) = 108 \, \)องศา ดังนั้น y = (1/2)(180 - 108) = 36 องศา ดังนั้น \(A_0A_3A_7 = 18 + 36 = 54\) องศา |
#14
|
|||
|
|||
ข้อ 2 คิดแบบนี้ก็ได้ครับ
เนื่องจากเราวาดรูปเหลี่ยมด้านเท่า มุมเท่าใดๆ ลงบนวงกลมได้เสมอ ดังนั้นจุดมุมต่างๆจึงอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม จะได้ มุม A0 A3 A7 = (1/2) * มุม A0 O A7 = (1/2) * (3* 360/10) = 54 องศา |
#15
|
||||
|
||||
ข้อ 2 นี่ลืมมองแบบง่าย ๆ จริง ๆ ครับ.
ข้อ 4 เนื่องจาก A! | B! ก็ต่อเมื่อ A ฃ B ดังนั้น (((k)!)!)! | (2004!)! ก็ต่อเมื่อ (k!)! ฃ 2004! ก็ต่อเมื่อ k! ฃ 2004 แต่ 6! = 720 และ 7! = 5040 > 2004 ดังนั้น k ที่มากสุด k = 6 น่าจะใช่นะ |
|
|