#16
|
|||
|
|||
ข้อ 8 ครับ
\( \displaystyle{\frac{4002001}{5002001}} \)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ |
#17
|
||||
|
||||
เย่ มีโจทย์แคลคูลัสด้วย ข้อ 9 คร้าบ
\[ \int _{0} ^{\infty} \int _{0} ^{y} e^{-(x^{2}+y^{2})} dxdy \] โดยการพิจารณาบริเวณการอินทิเกรต ทำการเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้วจะได้ \[ \int _{0} ^{\infty} \int _{0} ^{y} e^{-(x^{2}+y^{2})} dxdy = \int _{0}^{\frac{\pi}{4}} \int _{0} ^{\infty} e^{-r^{2}} rdrd \theta\] เราก็สามารถอินทิเกรตได้ตามปกติ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#18
|
|||
|
|||
ผมมีข้อสอบ final วิชา Calculus 2 มาฝากครับ
จงหาปริมาตรของส่วนของทรงกลมตัน x2 + y2 + z2 ฃ 4 ชิ้นที่เล็กกว่าที่ถูกตัดโดยระนาบ z = 1
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง |
#19
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
\[g(x)=x^{2005}+x^{2004}+\dots+x+1\]ดังนั้น \[g'(x)=2005x^{2004}+2004x^{2003}+\dots+2x+1\]และ \[\frac{g'(x)}{x^{2004}}=2005+\frac{2004}{x}+\dots+\frac{2}{x^{2003}}+\frac{1}{x^{2004}}\]ดังนั้นค่าที่เราต้องการคือ \[\frac{g'(2)}{2^{2004}}\]แต่เรารู้ว่า \[g(x)=\frac{x^{2006}-1}{x-1}\]ดังนั้น \[g'(x)=\frac{2006x^{2005}-x^{2006}+1}{(x-1)^2}\]สรุปว่าค่าที่เราต้องการคือ \[\frac{g'(2)}{2^{2004}}=4008+\frac{1}{2^{2004}}\] ป.ล. ขอบคุณคุณ gon และคุณ R-Tummykung de Lamar ที่มาแสดงวิธีทำ ข้อ 2. และ/หรือ ข้อ 4. ให้ดูครับ สำหรับข้อ 2. ผมใช้เอกลักษณ์ที่ผมจำไว้ว่า \[a^4+b^4+(a+b)^4=2(a^2+ab+b^2)^2\] |
#20
|
|||
|
|||
เยี่ยมไปเลยครับ คุณ warut
ผมก็เดาๆไว้ว่ามันน่าจะเป็นรูปแบบ (xn - 1) / (x - 1) หรือไม่ก็หาลูกเล่นเกี่ยวกับ reciprocal มาใช้ แต่ยังนึกวิธีให้มันไปดำเนินไปสู่รูปแบบนี้ไม่ออก |
#21
|
|||
|
|||
ลืมบอกไปครับว่า โจทย์ข้อหนึ่งคือปัญหาเรียนพีชคณิตจากโจทย์ระดับยากที่อยู่ในชุดที่สองนั่นเองครับ แต่ปรากฎว่าลืมวิธีคิดไปแล้วครับ เหอเหอ เลยมานั่งคิดใหม่แล้วก็ได้ออกมายาวยืดเลย ตอนเริ่มเขียนบทความผมคิดได้สั้นกว่านี้นะ แต่ตอนนี้ลืมวิธีคิดแบบนั้นไปแล้วเลยมาลองดูว่ามีใครคิดแบบสั้นๆได้บ้างน่ะครับ แต่ยากจริงๆครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#22
|
|||
|
|||
ลืมบอกคุณ warut ว่า g'(x) = (2005 x2006 - 2006 x2005 + 1) / (x - 1)2
ดังนั้น g'(2)/22004 = 2005(4) - 2006(2) + 1/22004 = 4008 + 1/22004 เอ่อแล้วมันได้ค่าตรงกันได้ไง หรือผมคิดผิดหว่า |
#23
|
|||
|
|||
อ๋อ...ผม diff ผิดเองครับ จริงๆแล้วจะต้องได้
\[g'(x)=\frac{2006x^{2005}(x-1)-x^{2006}+1}{(x-1)^2}\] ซึ่งก็คืออันเดียวกับของคุณคิดด้วยคน แต่ว่าเขียนแบบของผมนี่จะมองออกได้ง่ายว่า ทำไมผมทำผิดแล้วคำตอบก็ยังออกมาถูกได้อีก ขอบคุณมากครับที่ช่วยตรวจทานให้ |
#24
|
|||
|
|||
10. จงหาพหุนามทั้งหมดซึ่งสอดคล้องเงื่อนไข P(x+y) = P(x) + P(y) + 2005 ทุกจำนวนจริง x,y
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#25
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เพราะผมไม่มีความรู้เกี่ยวกับเรื่องอสมการดีพอ แต่ถ้าเป็นแบบ free style ก็คงพอถูไถไปได้ดังนี้ครับ ให้\[f(x,y)=2+\sin(x+y)-\sin x-\sin y-\cos x-\cos y\] ให้สังเกตว่า f เป็น periodic function ดังนั้นไม่ว่าเราจะพิจารณาโดเมนเป็น \(\mathbb R\times\mathbb R\) หรือ \([0,2\pi)\times[0,2\pi)\) ก็ไม่ได้ทำให้เสียนัยแต่ประการใด หา partial derivatives ของ f ได้คือ\[f_x(x,y)=\cos(x+y)-\cos x+\sin x\] \[f_y(x,y)=\cos(x+y)-\cos y+\sin y\] เพื่อหาจุดวิกฤตเราให้ \(f_x=f_y=0\) จะได้ \[\sin x -\cos x=\sin y-\cos y\]ดังนั้น \[\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(y-\frac{\pi}{4}\right)\] นั่นคือ \(y=x\) หรือ \(y=\frac{3\pi}{2}-x\) แทนค่า \(y=x\) ลงในสมการ \(f_x=0\) จะได้ \[\cos2x-\cos x+\sin x=0\] \[\cos^22x=(\cos x-\sin x)^2=1-2\sin x\cos x\] \[1-\sin^22x=1-\sin2x\] ดังนั้น \(\sin2x=0,1\) นั่นคือ \(x=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\) แต่ x ที่เป็นคำตอบของสมการ จริงๆมีเพียง \(x=0,\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\) ดังนั้นจุดวิกฤตที่ได้จากกรณีนี้คือ \((0,0),(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}),(\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4})\) แทนค่า \(y=\frac{3\pi}{2}-x\) ลงในสมการ \(f_x=0\) จะได้ \(\sin x=\cos x\) ดังนั้น \(x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\) เราจึงได้จุดวิกฤตจากกรณีนี้คือ \((\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}),(\frac{5\pi}{4},\frac{\pi}{4})\) แทนค่าจุดวิกฤตทั้งหมดลงใน f(x, y) จะพบว่า \(f(0,0)=f(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})=0\) เป็นค่าต่ำสุดสมบูรณ์ ดังนั้น \((x,y)=(0,0),(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) จึงเป็นคำตอบทั้งหมดของโจทย์ข้อ 1. ครับ |
#26
|
||||
|
||||
โจทย์ของคุณ alonkorn นะคร้าบ
เผื่อว่าบางคนอาจจะสับสน พิกัดทรงกลมที่ผมใช้คือ \( (R,\phi,\theta) \) สมการของพื้นผิวทรงกลมคือ \[ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \] ทำการเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรุแบบพิกัดทรงกลมจะได้ \[สมการทรงกลมคือ R=2 \] สมการเส้นโค้งที่ตัดทรงกลม เมื่อ \( z=1 \) คือ \[ x^{2} +y^{2} = 3 \rightarrow R = \sqrt{3} \csc \theta\] ทำการอินทิเกรตจะได้ปริมาตร \[ V= \int _{0} ^{2\pi} \int _{0} ^{\frac{\pi}{3}} \int ^{2} _{\sqrt{3}\csc \theta}R^{2}sin \theta dRd \theta d \phi \]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#27
|
|||
|
|||
คุณ warut นี่สุดยอดจริงๆครับ เดี๋ยวค่อยมาเฉลยข้อ 1 ให้ดูครับ เอาโจทย์ง่ายๆแต่คิดยากไปอีกข้อนึงครับ เพิ่งคิดได้สดๆร้อนๆ
11. จงเขียน \[ \large{ \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}} } \] ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย(เขียนเป็นผลบวกของจำนวนในเครื่องหมายกรณฑ์โดยที่มีสัมประสิทธิ์หน้าเครื่องหมายกรณฑ์เป็นจำนวนตรรกยะ)
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 13 มีนาคม 2005 11:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#28
|
|||
|
|||
หวังว่าคำว่า "สุดยอด" ของคุณ nooonuii นี่เป็นคำชมนะครับ ไม่ใช่ว่าพอคุณ nooonuii
เอาเฉลยมาให้ดูแล้วถึงได้รู้ว่าวิธีของผมเป็นสุดยอดแห่งการอ้อมโลก สำหรับข้อ 11. นี่มีวิธีที่ดีกว่าการทำตรงๆมั้ยครับ ยังไงก็แล้วแต่ผมก็ทำตรงๆไปแล้ว ด้วยการกำจัดรากที่สามออกไปจากส่วนก่อน แล้วตามด้วยการกำจัดรากที่สองออกจากส่วน ได้ผลลัพธ์คือ \[\frac{7+3\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}+9\sqrt[3]{4}-10\sqrt[6]{2}-4\sqrt[6]{32}}{31}\] ตอนแรกจำโจทย์มาผิดด้วย นึกว่าคุณ nooonuii ให้หาว่าเป็นรากของสมการอะไร ไหนๆก็เสียแรงทำไปแล้วก็ขอเอามาแปะไว้หน่อยนะครับ \[31x^6-42x^5+3x^4+9x^2-6x+1=0\] |
#29
|
||||
|
||||
ข้อ 2 นะคร้าบ เนื่องจากว่า
\[ (x-2)^2 = (2-x)^2 \] แทนค่าตัวแปรเราจะได้โจทย์ใหม่เป็น \[ x^4 + (x-2)^4 = 34 \] ต่อไป สมมติให้ \( y= \frac{1}{2} (x + x - 2) = x - 1 \) จะได้สมการใหม่เป็น \[ (y+1)^4 + (y-1)^4 = 34 \] กระจายออกมา จะเหลือเทอมเป็น \[ y^4 +6y^2 - 16 = 0 \] \[ (y^2 + 8 )(y^2 -6) = 0 \] กรณี \( y^2 + 8 = 0 \) แทนค่า \( y=x-1\) กลับลงไป จะได้ สมการเป็น \[ (x-1)^2 +8 =0 \] กระจายออกมา \[ x^2- 2x +9 = 0 \] สามารถหาคำตอบได้ เป็น \[ x= 1+2\sqrt{2}i , 1-2\sqrt{2}i \] กรณี \( y^2 +6 =0 \) แทนค่า \( y=x-1\) กลับลงไป จะได้ สมการเป็น \[ (x-1)^2 -2 =0 \] กระจายออกมา \[ x^2- 2x -1 = 0 \] สามารถหาคำตอบได้ เป็น \[ x= 1+\sqrt{2} , 1-\sqrt{2} \] เท่ากับที่คุณ R-Tummykung de Lamar หาไว้แหละครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#30
|
||||
|
||||
ข้อ 11 คงต้องพึ่งเอกลักษณ์นี้ช่วยในการทำล่ะคับ ไม่งั้นเหนื่อยแน่เลย
\[ (a+b+c)(a^2 +b^2+c^2 -ab -ac -bc ) = a^3+b^3+c^3 -3abc\]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
|
|