#1
|
||||
|
||||
ข้อสอบโหดๆครับ
1.(เลขคณิต) ถ้าสามารถเขียน $\sqrt{2009}$ ในรูปของ $$a+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{...}}}}}$$
โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุดและ $\frac{c}{a}=2$ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด 2.(เรขาคณิต) รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ มี $AB//CD$ และ $AD//BC$ จุด $E$ เป็นจุดบน $BC$ ที่ทำให้ $\frac{BE}{BC}=\frac{1}{4}$ และจุด $F$ เป็นจุดบน $CD$ ที่ทำให้ $\frac{FD}{CD}=\frac{5}{13}$ ลาก $AE$ และ $AF$ ตัด $BD$ ที่จุด $G$ และ $H$ ตามลำดับ จงหาอัตราส่วนของ $GH:BD$ 3.(พีชคณิต) กำหนด $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงใดๆ ซึ่ง $z(x+y)=(x+y+z)(x-y+z)$ ให้ $$S_n=\left( \frac{x+y+z}{5^{\frac{1}{2n}}z}-\frac{1}{5^\frac{1}{2n}} \right)^n-\left( \frac{-z}{5^{\frac{1}{2n}}(x+y)}\right)^n$$ ถ้า $S_{2553}=S_{2551}+S_{2549}+S_{2547}+S_{2545}+...+S_3+S_1+k$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด 08 เมษายน 2009 17:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Ne[S]zA |
#2
|
||||
|
||||
$a+b+c$ เป็นจำนวนอะไรครับ จริง เต็ม หรือ เต็มบวก? มีเงื่อนไขอื่นไหม?
|
#3
|
||||
|
||||
ผมว่าจำนวนเต็มบวกนะครับ แต่เงื่อนไขบอกแค่นั้นอ่ะครับ
|
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 1.ถ้าจำนวนเต็มบวกผมคิดได้ 44 ชุด
ข้อ 2. ได้ $GH:BD =\frac{47}{90} $ ข้อ 3. ให้คนอื่นเค้าเล่นบ้างนะครับ (ยังไม่ได้คิดครับ) |
#5
|
||||
|
||||
ขอโทษครับคุณหยินหยาง พอดีลืมอีกเงื่อนไขของข้อแรกอ่ะครับ
ส่วนข้อ2 รบกวนขอวิธีทำได้มั้ยครับ ขอบคุณครับ |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ส่วนข้อ 2 ก็ใช้แค่ สามเหลี่ยมคล้ายก็ออกแล้วครับ โดยพิจารณาจาก $\Delta DHF \cong \Delta ABH$ กับ $\Delta BGE \cong \Delta AGD$ |
#7
|
||||
|
||||
ขอเพิ่มอีกเงื่อนไขนะครับว่า ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุด
08 เมษายน 2009 17:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Ne[S]zA |
#8
|
||||
|
||||
จะเป็นไปได้ยังไงที่ $a$ จะมีค่ามากที่สุดในบรรดา $a,b,c$ เพราะจากเงื่อนไข $\frac{c}{a} =2$
|
#9
|
||||
|
||||
เปลี่ยนอ่ะครับ ขอโทษด้วยครับ
|
#10
|
||||
|
||||
รบกวนวิธีทำข้อหนึ่งหน่อยคับ
__________________
To Thales the primary question was not what do we know, but how do we know it. Aristotle (384-322 BCE) "คณิตศาสตร์บริสุทธิ์"
|
#11
|
||||
|
||||
ข้อ1. ถ้าตามเงื่อนไขที่ว่าละก็ $a+b+c=205$
|
#12
|
||||
|
||||
แล้ววิธีทำล่ะคับขอรอ้งคับงง
__________________
To Thales the primary question was not what do we know, but how do we know it. Aristotle (384-322 BCE) "คณิตศาสตร์บริสุทธิ์"
|
#13
|
||||
|
||||
ไม่ได้เข้ามานานแล้วแฮะ... ลองทำดูดีกว่า...
1.ให้ $\displaystyle k=\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{...}}}}}$ ได้ว่า $\displaystyle k=\frac{b}{2a+k}$ ($\because c=2a$) จัดรูปได้ว่า $k^2+2ak-b=0$ $\therefore k=-a\pm\sqrt{a^2+b}$ แต่เห็นได้ชัดว่า $k>0$ $\therefore k=-a+\sqrt{a^2+b}$ จาก $\sqrt{2009}=a+k=\sqrt{a^2+b}$ เราต้องการหา $a$ ที่มีค่ามากที่สุด จาก $44^2=1936<2009<2025=45^2$ $\therefore a$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้คือ $a=44$ ส่งผลให้ $c=88$ จาก $\sqrt{2009}=\sqrt{a^2+b}$ จึงได้ว่า $b=2009-1936=73$ $\therefore a+b+c=44+73+88=205$ 2.ตามที่คุณ หยินหยางบอก จาก $\Delta DHF\sim\Delta ABH$ ได้ว่า $\displaystyle\frac{DH}{HB}=\frac{5}{13}$ จาก $\Delta BGE\sim\Delta AGD$ ได้ว่า $\displaystyle\frac{ฺBG}{GD}=\frac{1}{4}$ ให้ $a=DH,b=HG,c=GB$ ได้ว่า $\displaystyle\frac{a}{b+c}=\frac{5}{13}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{18}{13}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{13}{18}$ และ $\displaystyle\frac{c}{a+b}=\frac{1}{4}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{a+b+c}{a+b}=\frac{5}{4}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{4}{5}$ $\displaystyle\therefore\frac{a+2b+c}{a+b+c}=\frac{137}{90}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{b}{a+b+c}=\frac{47}{90}$ ดังนั้น $\displaystyle\frac{GH}{BD}=\frac{47}{90}$ 3.โจทย์มันแปลกๆนะครับ ช่วยลองเช็คโจทย์ได้ไหมครับ |
#14
|
||||
|
||||
แม้ไม่ได้เข้ามานาน แต่ฝีมือก็ไม่เคยตกเลยครับ
|
|
|